1. Определить свободное вращение волчка вокруг оси, близкой к оси инерции хз (или XI).

Решение. Пусть к направлению М близка ось хз. Тогда компоненты Mj и М₂ являются малыми величинами, а компонента М₃ <w М (с точностью до величин первого порядка малости). С этой же точностью первые два из уравнений Эйлера (36,5) напишутся в виде

dt

где мы ввели постоянную Яо = М/1₃. Следуя общим правилам,- ищем решение для Mi, Мг в виде, пропорциональном е^ш, и для частоты со получаем зна­чение

co = _QoA/(A-l)(A-l). (1)

Для самих же величин Afj и М₂ получим

М, = Ма /\J- 1 cos cor, М₂ = tlta д/-р - 1 sin at, (2)

где а — произвольная малая постоянная. Этими формулами определяется дви­жение вектора М относительно волчка; в построении на рис. 51 конец векто­ра М описывает (с частотой со) малый эллипс вокруг полюса на оси хз-

Для определения абсолютного движения волчка в пространстве опреде­ляем его эйлеровы углы. В данном случае угол наклона 0 оси Хз к оси 2 (направлению М) мал, и согласно формулам (37,14)

tg ф == Af _t/M₂, 6²«2(1 -cosB) = 2( l-^Jw ^Х _М2 ²; подставляя (2), получаем:

G2 = a²[^- l) cos²co/+ (A- l) sin²cor]. (3)

Для вычисления угла ср замечаем, что согласно третьей из формул (35,1) при 9 < 1

Q₀ « Q₃ л* ф + ф.

Поэтому

ф = Q₀t - ф (4)

(произвольную постоянную интегрирования опускаем),

Более наглядное представление о характере движения волчка получается, если проследить непосредственно за изменением направления его трех осей инерции (единичные векторы вдоль этих осей обозначим посредством ni, пг, пз). Векторы п₍ и па равномерно вращаются в плоскости XY с частотой Но, одновременно испытывая малые колебания с частотой со в поперечном на­правлении; эти колебания определяются Z-компонентами указанных векторов, для которых имеем:

a /\J -j- — 1 cos cor,

12 ~ м

М_г /7₃ , . .

"₂г**ж = ^а V77~^,sm

Для вектора пз имеем с той же точностью:

п_зх « 9 sin ср, п_зу я* — 6 cos ср, л₃₂ « 1

(полярный угол и азимут направления пз по отношению к осям X, Y, Z рав-

ны 9 иф 2~!^см' примечание на стр. 144). Далее пишем (используя при

этом формулы (37,13)):

^{Пзх = 9 sin (Qot — ip) = G sin Q}₀^{t cos ф — 9 cos Q}₀^{t sin ф =}

= ,. sin bint гг~ cos U₀* =

M M

^а д/"77 ^{sin sin &t} ~~^а д/~f~ ~ ^{1 coscosffl}''

или окончательно:

изх = --_т(д/-^-- 1 +лу^- l)cos(^.o+co)r-r + т (- V^F⁷)^{cos (Q}° —> *-

Аналогичным образом

"з_1/ = --|-(лУ4 ^{_ 1} +Л/ТГ~ l)sin(Q₀ + w)/ +

^{+ т ( VtF7* - л/тг -1)sin (йа - to)}

Отсюда видно, что движение вектора п₃ представляет собой наложение двух вращений вокруг оси Z с частотами (Qo ± со).

2. Определить свободное вращение волчка при Л1² = 2Е1_г.

Решение. Этот случай отвечает в построении на рис. 51 перемещению конца вектора М по кривой, проходящей через полюс на оси Хг.

Уравнение (37,7) принимает вид

о где введено обозначение fio = M/h = 2Е/М. Интегрируя это уравнение, а затем воспользовавшись формулами (37,6), получим:

О -О </h(h-h) 1

^Ql-^QoV /.(/з-Л) chT'

т

Q₂ = Q₀ th x,

Q.

• о , lh(h-h) 1

Для описания абсолютного движения волчка вводим эйлеровы углы, опре­делив 8 как угол между осью Z (направлением М) и осью инерции волчка х% '(я не хз, как в тексте). В формулах (37,14), (37,16), связывающих компо­ненты вектора Q с эйлеровыми углами, надо при этом сделать циклическую перестановку индексов 123-»-312. Подставив затем в эти формулы выраже­ния (1), получим:

cos 9 = th т, су = £V + const, tg ф =

Из полученных формул видно, что вектор О асимптотически (при t -*■ ooj приближается к оси х₂, которая одновременно асимптотически приближается к неподвижной оси Z.