§ 36] Уравнения эйлера 14g.

где индексы 1, 2, 3 означают компоненты по осям х\, х₂, х$. При этом в первом уравнении заменяем Р на jxV и получаем:

^(•^Г + Q₃V_l-Q_lV₃)=F_a, (36,3)

i*(-^^L + Qi^-Q₂v«)=/⁷3.

Предполагая оси х\, х₂, х₃ выбранными по главным осям инер­ции, пишем во втором из уравнений (36,2) Mi = /А и т. д. и получаем:

/г	dt +(/з	— /2) ^2^3	= Ku
h	dt +		— K2,	(36,4)
/3	dt +(/2	- /1) QA

Уравнения (36,4) называют уравнениями Эйлера. При свободном вращении К = 0, так что уравнения Эйлера принимают вид:

i°l ₊ Wl_q2q_{3 = 0>}

-^ + ii^Q₃Q_l = 0, (36,5)

В качестве примера применим эти уравнения к уже рас­сматривавшемуся нами свободному вращению симметрического волчка. Положив 1\ = /₂, имеем из третьего уравнения А = О, т. е. А = const. После этого первые два уравнения напишем в виде

Qi = — coQ₂, Й₂ = coQ,, где введена постоянная величина

ю = Q₃ ^/з7⁷' . (36,6)

Умножив второе уравнение на / и сложив с первым, получим: А + А) = «» А + А),

.откуда

Qj + а = Ае^ш, где А — постоянная; последнюю можно считать вещественной (это сводится к надлежащему выбору начала отсчета времени), и тогда

Qx = A cos со/, Q,₂ = A sin со/. (36,7)

Этот результат показывает, что проекция угловой скорости на плоскость, перпендикулярную к оси волчка, вращается в этой плоскости с угловой скоростью и, оставаясь постоянной по величине (-\/й² + Щ = А). Поскольку проекция Я₃ на ось волч­ка тоже постоянна, то мы заключаем, что и весь вектор Я рав­номерно вращается с угловой скоростью со вокруг оси волчка, оставаясь неизменным по величине. Ввиду связи Mi = I\Qu М₂ = I₂Q₂, М₃ = /₃Я₃ между компонентами векторов Я и М такое же движение (по отношению к оси волчка) совершает, очевидно, и вектор момента М.

Полученная картина представляет собой, разумеется, лишь другой аспект того же движения волчка, которое уже было рассмотрено в §§ 33 и 35 по отношению к неподвижной системе координат. В частности, угловая скорость вращения вектора М (ось Z на рис. 48) вокруг направления х% совпадает, в терми­нах эйлеровых углов, с угловой скоростью — \р. С помощью уравнений (35,4) имеем:

; М cos 9 . _п .. _п ( 1

ip = —j ф cos 0 = М cos 8 f -j

или

-ф^Яз^А-

в согласии с (36,6).

§ 37. Асимметрический волчок

Применим уравнения Эйлера к более сложной задаче о свободном вращении асимметрического волчка, у которого все три момента инерции различны. Для определенности будем считать, что

h>h>h. (37,1)

Два интеграла уравнений Эйлера известны заранее. Они даются законами сохранения энергии и момента и выражаются равенствами

/₁Я² + /₂Я² + /₃Я² = 2£,

1\Щ + 1Р1 + 1\Щ = М\ ⁽³⁷'²⁾

где энергия Е и абсолютная величина момента М — задан­ные постоянные. Эти же два равенства, выраженные через

компоненты вектора М, имеют вид

Mi

Mi

Ml

■ +

Ml + Ml + Ml-

■■2E, ■ M².

(37,3) (37,4)

Уже отсюда можно сделать некоторые заключения о ха­рактере движения волчка. Для этого заметим, что уравнения ',(37,3) и _t(37,4) представляют собой, геометрически, в осях Mi, М2, М₃, уравнения соответственно поверхности эллипсоида с

полуосями

л/2~Щ, ^2~Щ

и сферы с радиусом М. При перемещении вектора М (относи­тельно осей инерции волчка) его конец движется вдоль линии пересечения указанных поверхностей (на рис. 51 изображен ряд

Рис, 51

таких линий пересечения эллипсоида со сферами различных радиусов). Самое наличие пересечения обеспечивается очевид­ными неравенствами

2£/i < М² < 2£/₃, (37,5)

геометрически означающими, что радиус сферы (37,4) лежит между наименьшей и наибольшей из полуосей эллипсоида L<37,3).

Проследим за изменением характера этих «траекторий» конца вектора М') по мере изменения величины М (при

') Аналогичные кривые, описываемые концом вектора Q, называются по­лодиями.

заданной энергии Е). Когда М² лишь немногим превышает 2Е1_и сфера пересекает эллипсоид по двум замкнутым маленьким кривым, окружающим ось х\ вблизи соответствующих двух по­люсов эллипсоида (при М²-*-2Е1\ эти кривые стягиваются в точки — полюсы). По. мере увеличения М² кривые расширяются, а при М² = 2Е1₂ превращаются в две плоские кривые (эллип­сы), пересекающиеся друг с другом в полюсах эллипсоида на оси х₂. При дальнейшем увеличении М² вновь возникают две раздельные замкнутые траектории, но окружающие уже по­люсы на оси Хг, при M²-*-2Eh они стягиваются в эти две точки.

Отметим, прежде всего, что замкнутость траекторий озна­чает периодичность перемещения вектора М по отношению к телу волчка; за время периода вектор М описывает некоторую коническую поверхность, возвращаясь в прежнее положение.

Далее отметим существенно различный характер траекто­рий, близких к различным полюсам эллипсоида. Вблизи осей Х\ и Xz траектории расположены целиком в окрестности полю­сов, а траектории, проходящие вблизи полюсов на оси х₂, в своем дальнейшем ходе удаляются на большие расстояния от этих точек. Такое различие соответствует разному характеру устойчивости вращения волчка вокруг его трех осей инерции. Вращение вокруг осей Х\ и х₃ (отвечающих наибольшему, и наименьшему из трех моментов инерции волчка) устойчиво в том смысле, что при малом отклонении от этих состояний вол­чок будет продолжать совершать движение, близкое к перво­начальному. Вращение же вокруг оси х₂ неустойчиво; доста­точно малого отклонения, чтобы возникло движение, уводящее волчок в положения, далекие от первоначального.

Для определения зависимости компонент Й (или пропор­циональных им компонент М) от времени обратимся к уравне­ниям Эйлера (36,5). Выразим Q, и Й₃ через Q₂ из двух урав­нений (37,2), (37,3)

°? =77(77=70 ((^2£/з ~ ^М2) ~ h (/, ~ /,) Щ ■

(37,6)

'3

Q²

и подставив во второе из уравнений (36,5), найдем:

dQ,2 h — Л по

⁼ Т17Т < К²*'. ~ ~ ^h V* ~ ⁷») ^ № ~ ^2£/') "

Разделяя в этом уравнении переменные и интегрируя, получим функцию t(Q₂)_ в виде эллиптического интеграла, При приве­дении его к стандартному виду будем считать для определен­ности, что

М² > 2Е1₂

(в обратном случае во всех следующих нижч формулах надо переставить индексы 1 и 3). Вводим вместо t и Я₂ новые пе­ременные

^Л - (/₃-/₂)(Л1²-2£/,) • ^''^

и положительный параметр k² < 1 согласно Тогда получим:

_{5 V(l}

V(l -s^a)(l -£²s²)

(начало отсчета времени условно выбираем в момент, когда й2 = 0). При обращении этого интеграла возникает, как из­вестно, одна из эллиптических функций Якоби

5 = Sn Т,

чем и определяется зависимость Q₂ от времени. Функции Q\(t) и Йз(0 выражаются алгебраически через Q₂(t) согласно равен­ствам (37,6). Учитывая определение двух других эллиптиче­ских функций

спт= УТ — sn²T, dn т = V1 — k² sn² т, получим окончательно следующие формулы:

„ / 2£7₃ - Л1²

_°»~Vmw1) ^snT_{' <}³⁷_'¹⁰_>

„ / ЛЯ — 2EI, ,

^Q3 = V МЛ-/,) ^dnT>

Функции (37,10) —периодические, причем их период по пе­ременной т равен, как известно, величине АК, где К есть пол­ный эллиптический интеграл первого рода:

1 л/2

_{VO" — s}²_{) (1 — A}²_s²₎ ⁼_{S Vl-fe}² _{sin* «Г* (}³⁷_'^П₎

Период же по времени дается, следовательно, выражением

(/»-1₂) \w- 2Eh) ' (³⁷>¹²*

По истечении этого времени вектор Q возвращается в свое начальное положение относительно осей волчка. (Самый же волчок при этом отнюдь не возвращается в свое прежнее поло­жение относительно неподвижной системы координат — см. ниже.)

При h = h формулы (37,10), разумеется, приводятся к фор­мулам, полученным в предыдущем параграфе для симметри­ческого волчка. Действительно, при 1\-*-1₂ параметр £²->-0, эллиптические функции вырождаются в круговые:

snr->sinT, cnt->cosT, dnr->I,

и мы возвращаемся к формулам (36,7).

При М² = 2£7₃ имеем: Q,j=Q₂ = 0, Я₃ = const, т. е. век­тор Я постоянно направлен вдоль оси инерции jc₃; этот случай соответствует равномерному вращению волчка вокруг оси лг₃. Аналогичным образом при М^г = 2Е1_Х (при этом т г= 0) имеем равномерное вращение вокруг оси х\.

Перейдем к определению абсолютного (по отношению к не­подвижной системе координат X, У, Z) движения волчка в про­странстве как функции времени. Для этого вводим эйлеровы углы ф, ф, 6 между осями волчка х\, х₂, х₃ и осями X, У, Z, выбрав при этом неподвижную ось Z вдоль направления по­стоянного вектора М. Поскольку полярный угол и азимут на­правления Z по отношению к осям х\, х₂, х₃ равны соответствен­но 0 и -у — Ф (см. примечание на стр. 144), то, проектируя вектор М на оси х\, х₂, х₃, получим:

М sin 9 sin ф = M_t — I_XQ_X, М sin 0 cos ф == M₂ = I₂Q₂, (37,13)

М cos0 = M₃ = /₃Q₃.

Отсюда

cos0 = /A/M, tgi|> = /₁Q^/A, (37,14)

и, используя формулы (37,10), найдем:

i) sn х '

^{cos9=V мм/з-л) dnT'}

Л/ /₂(/з —/х)

(37,15)

чем и определяется зависимость углов 8 и ф от времени; вме­сте с компонентами вектора Я они являются периодическими функциями с периодом (37,12),

Угол ф в формулы (37,13) не входит, и для его вычисления надо обратиться к формулам (35,1), выражающим компонен-ты Q через производные по времени эйлеровых углов, Исклю-чая 8 из равенств

Qi = ф sin 8 sin яр -f 8 cos яр, Q₂ = ф sin 9 cos ip — 8 sin яр,

получим:

fii sin ip + Q₂ cos ip

sin 0

после чего, используя формулы (37,13), найдем:)

_{«=МЩЩ. (37,16)}

. dt /²Q² + /²Q|

Отсюда функция ф'(/) определяется квадратурой, но подынте­гральное выражение содержит сложным образом эллиптические функции. Путем ряда довольно сложных преобразований этот интеграл может быть выражен через так называемые тэта-функции; не приводя вычислений¹), укажем лишь их оконча­тельный результат.

Функция ф(г) может быть представлена (с точностью до произвольной аддитивной постоянной) в виде суммы двух членов

<p'W = <Pi(0 + <fc(0. (37 Л 7)

один из которых дается формулой

_{*oi (Щг — ia)}

^е2гф,(0==—т4 (³⁷'¹⁸>

«о. (у- + '«)

где f>oi ■— тэта-функция, а а — вещественная постоянная, опре­деляющаяся равенством

'(К и Г —из (37,11), (37,12)). Функция в правой стороне (37,18)—периодическая с периодом Т/2, так что <pi(t) изме­няется на 2я за время Т. Второе слагаемое в (37,17) дается формулой

t 1 М l Ъ'_п, (ia)

Ф,«-2_Ятг. —(37,20)

') Их можно найти в книге Е. Т. Уиттекер, Аналитическая динамика.-М.: ОНТИ, 1937,

Эта функция испытывает приращение 2л за время Т. Таким, образом, движение по углу ср представляет собой совокупность двух периодических изменений, причем один из периодов (Т) совпадает с периодом изменения углов ip и 0, а другой (Т') — несоизмерим с первым. Последнее обстоятельство приводит к тому, что при своем движении волчок никогда не возвращается, строго говоря, в свое первоначальное положение.

Задачи