3. Определить движение волчка в случае, когда кинетическая энергия его собственного вращения велика по сравнению с энергией в поле тяжести (так называемый «быстрый» волчок).

(1)

Решение. В первом приближении, если пренебречь полем тяжести, про­исходит свободная прецессия оси волчка вокруг направления момента М (от­вечающая в данном случае нутации волчка); она происходит согласно (33,5) о угловой скоростью

М

нут ■

'1

В следующем приближении появляется медленная прецессия момента М вокруг на­правления вертикали (рис. 50). Для опреде­ления скорости этой прецессии усредним точ­ное уравнение движения (34,3)

^Ш „ ~dT ^К

по периоду нутации. Момент сил тяжести, действующих на волчок, равен К = P-/[n₃g], где пз — единичный вектор в направлении оси волчка. Из соображений симметрии очевид­но, что результат усреднения К по «конусу нутации» сводится к замене вектора п₃ его проекцией cosa-M/M на направление М (а —угол между М и осью волчка). Таким образом, получим уравнение

dt

M

^ — cos а -хг [gmj.

Оно означает, что вектор М прецессирует вокруг направления g (вертикали) со средней угловой скоростью

— ul cos а ...

"^ПР" ~ М ^{8 (2)}

{малой по сравнению с йвут).

В рассматриваемом приближении входящие в формулы (1) и (2) вели­чины М и cos а постоянны (хотя и не являются, строго говоря, интегралами движения). Они связаны, с той же точностью, со строго сохраняющимися величинами Е и ЛЬ соотношениями

М;

Mcosa, ₊i!S^LV

² \ h А )

§ 36. Уравнения Эйлера

Написанные в § 34 уравнения движения относятся к непо­движной системе координат: производные dP/dt и dfA/dt в уравнениях (34,1) и (34,3) представляют собой изменения век­торов Р и М по отношению к этой системе. Между тем, наи­более простая связь между компонентами вращательного мо­мента М твердого тела и компонентами угловой скорости имеет место в подвижной системе координат с осями, направленными по главным осям инерции. Для того чтобы воспользоваться этой связью, необходимо предварительно преобразовать урав­нения движения к подвижным координатам х_и х₂, х₃.

Пусть dA/dt — скорость изменения какого-либо вектора А по отношению к неподвижной системе координат. Если по от­ношению к вращающейся системе вектор А не изменяется, то его изменение относительно неподвижной системы обусловлено только вращением, и тогда

(см. § 9, где было указано, что такие формулы, как (9,1), (9,2), справедливы для любого вектора). В общем случае к правой части этого равенства надо добавить скорость изменения век­тора А по отношению к подвижной системе; обозначив эту ско­рость, как d'A/dt, получим:

С помощью этой общей формулы мы можем сразу перепи­сать уравнения (34,1) и (34,3) в виде

*£- + [QP] = P, ^v__+[q_m]==k. (36,2)

Поскольку дифференцирование по времени производится здесь в подвижной системе координат, то мы можем непосредственно спроецировать уравнения на оси этой системы, написав

/ d'P \ _dl\_ ( d'M. \ _ dM_x

\ dt )i~ dt4 dt Л^- dt