1. Привести к квадратурам задачу о движении тяжелого симметрического волч­ка с неподвижной нижней точкой (рис.48).

Решение. Совместное начало по­движной и неподвижной систем координат выбираем в неподвижной точке волчка О, а ось Z направляем по вертикали (рис. 48). Функция Лагранжа волчка в поле тяжести

, ... / +Ц/²

2

^{(o2 + (p2sin2e) + 1, .}

+ — (Ф + Ф cos б)² — ngt cos 9

{v^~ масса волчка, / — расстояние от ниж­ней точки до центра инерции).

Координаты if и ф — циклические. Поэтому имеем два интеграла дви­жения:

Ръ ⁼ —r = '3 0P + <pcos8) = const=Ai₃, (1)

* dip

(2)

р = -^-= (/j sin² 6 + /₃cos²9) ф + /₃ipcos8 = const = Af_z,

"ф дф

где введено обозначение l\ = l_x -f- р7² (величины и р_ф представляют собой составляющие вращательного момента, определенного относительно точки О, соответственно по осям лг₃ и Z). Кроме того, сохраняется энергия

Е =

(3)

1'

■ (0² + ф² sin² 9) + (ф + ф cos О)² + pgl cos 9.

Из уравнений (1)' и (2) находим!

М_г~ Af₃cos8 ...

/_; &т^г 9

(5)

; М_{3 а} М_г — Af₃cos8 чр = —- — cos 8 ———\

COS О —. 5

/₃ l\ sin² 9

Исключив с помощью этих равенств ф и 1риз энергии (3), получим:

£'=^-9²+(7_эфф (8),

где введены обозначения

„, „ Ml (М -Л*, cos в)²

Е'шшЕ -2. - _Щ1, 1/_эфф (9) = ^{V г} . \_п pgUl- cos 9). (6)

2/₃ 2/j sin 9

Определяя отсюда 9 и разделяя переменные, получим:

J 2 _{Ег_ у_{эфф (0))}

«-{ , ^ад V)

J I 2 „

(интеграл — эллиптический). После этого углы яр и ср выражаются как функ­ции от 9 в виде квадратур с помощью уравнений (4), (5).

Область изменения угла 6 при движении определяется условием Е' ^ & с7эфф(8). Функция £/_эфф(9) (при Мз ф М_г) стремится к +оо при значениях 8 = 0 и 9 = я, а в промежутке между ними проходит через минимум. По­этому уравнение Е' = £/_5фф(9) -имеет два корня, определяющих предельные углы 9i и 9э наклона оси волчка к вертикали.

При изменении угла 8 от 9i до вг знак производной ф остается неизмен­ным или меняется, смотря по тому, остается ли неизменным или меняется

а б в

Рис. 49

в этом интервале знак разности М_г — iW₃ cos 8. В первом случае ось волчка прецессирует вокруг вертикали монотонно, одновременно совершая колеба­ния (так называемую нутацию) вверх и вниз (рис. 49, а; линия изображает след, который ось волчка чертила бы на поверхности сферы с центром в не­подвижной точке волчка). Во втором случае направление прецессии противо­положно на двух граничных окружностях, так что ось волчка перемещается

вокруг вертикали, описывая петли (рис. 49,6). Наконец, если одно из значе­ний G₁₍ 6₂ совпадает с нулем, разности М_г — M₃cos8. на соответствующей предельной окружности ф и в одновременно обращаются в нуль, так что ось волчка описывает траекторию изображенного на рие. 49, в типа.

2. Найти условие, при котором вращение волчка вокруг вертикальной оси будет устойчивым.

Решение. При 9 = 0 оси х₃ и Z совпадают, так что М₃ = М_г, Е' = 0. Вращение вокруг этой оси будет устойчивым, если значение 8 = 0 отвечает минимуму функции £/_Эфф(8), При малых 0 имеем:

(М\ vgl\

откуда находим условие М\ > bfygl или

^з>^4/[^/4