§ 35. Эйлеровы углы

Как уже указывалось, для описания движения твердого тела можно пользоваться тремя координатами его центра инер­ции и какими-либо тремя углами, определяющими ориентацию осей xi, х₂, Хз движущейся системы координат относительно не­подвижной системы X, Y, Z.

В качестве этих углов часто оказываются удобными так на­зываемые эйлеровы углы.

Так как нас сейчас интере­суют только углы между ося­ми координат, мы выберем на­чала обеих систем в одной точ­ке (рис. 47). Подвижная пло­скость xix₂ пересекает непо­движную XY по некоторой пря­мой (ON на рис. 47), которую называют линией узлов. Эта линия, очевидно, перпендику­лярна как к оси Z, так и к оси

Хз; ее положительное направ- Рис. 47

ление выберем так, чтобы оно

соответствовало направлению векторного произведения [гхз| (где z, хз — орты в направлении осей Z и х₃).

В качестве величин, определяющих положение осей х\, х₂, х% относительно осей X, Y, Z, примем следующие углы: угол 9 между осями Z и х₃, угол ср между осями X и N, угол гр между осями N и xi. Углы ф и ip отсчитываются в направлениях, опре­деляемых правилом винта, соответственно вокруг осей Z и хг.

Угол 9 пробегает значения от нуля до п, а углы ср и ф — от нуля до 2л.

Выразим теперь компоненты вектора угловой скорости Q по подвижным осям х\, х₂, х_ъ через эйлеровы углы и их про­изводные. Для этого надо спроектировать на эти оси угловые скорости 9, ф, -ф. Угловая скорость 9 направлена по линии узлов ON и ее составляющие по осям х\, х₂, Хз равны:

6, = 8 cos t, 9₂ = — 8 sin ф, 8₃ = 0.

Угловая скорость ф направлена вдоль оси Z; ее проекция на ось х₃ равна фз=фсоз9, а проекция на плоскость х\Х₂ равна ф sin 9. Разлагая последнюю на составляющие по осям х\ и х₂, получим:

ф_х = ф sin в sin 'ф, ф₂ = ф sin 9cos ф.

Наконец, угловая скорость ф направлена по оси х₃.

Собирая все эти составляющие по каждой из осей, полу­чим окончательно:

Q[ = ф sin 9 sin ф + 9 cos ф,

Я₂ = ф sin 9 cos ф — 9 sin ф, (35,1)

Q₃ = ф cos 9 + ф.

Если оси Х\, х₂, xs выбраны по главным осям инерции твер­дого тела, то вращательную кинетическую энергию, выражен­ную через эйлеровы углы, мы получим подстановкой (35,1) в (32,8).

Для симметрического волчка, у которого h = 1₂ф h, най­дем после простого приведения:

^г_В^{р=4(*2 sin2 9+¥)+4" № cos э+^)2- (35,2)}

Заметим, что это выражение можно получить и проще, вос­пользовавшись произвольностью выбора направлений главных осей инерции Х\, х₂ у симметрического волчка. Считая, что ось х\ совпадает с осью узлов ON, т. е. что ф = 0, будем иметь для составляющих угловой скорости более простые выражения

Q, =8, О₂ = ф51П0, Я₃ = фсоз8 + ф. (35,3)

В качестве простого примера применения эйлеровых углов определим с их помощью известное уже нам свободное движе­ние симметрического волчка.

') Углы 9 и ф — я/2 представляют собой соответственно полярный угол и азимут направления хз по отношению к осям X, Y, Z. В то же время 9 и л/2 — ip являются соответственно полярным углом и азимутом направления Z по отношению к осям x_lt х₂, *а.

Выберем ось Z неподвижной системы координат в направле­нии постоянного момента волчка М. Ось х_г подвижной системы направлена по оси волчка, а ось х\ пусть совпадает в данный момент времени с осью узлов. Тогда для компонент вектора М находим с помощью формул (35,3):

Mi = / А = Л9, М₂ = /₂Q₂ = /₂ф sin 9, М₃ = / А = h (Ф cos 9 + 4>).

С другой стороны, поскольку ось Xi (линия узлов) перпенди­кулярна к оси Z, имеем:

Mi = 0, Af₂ = Afsin9, M₃ = Mcos9.

Приравнивая друг другу эти выражения, получим следующие уравнения:

0 = 0, 1₁ф = М, /₃^cos9 + ap) = Mcos9. (35,4)

П ервое из этих уравнений дает 9 = const, т. е. постоянство угла наклона оси волчка к направлению М. Второе определяет (в согласии с (33,5)) угловую скорость прецессии ф =М/1\. Наконец, третье определяет угловую скорость вращения волч­ка вокруг собственной оси Q₃ = = М cos 9//₃.

Задачи