7. Найти кинетическую энергию однородного конуса, катящегося по пло- скости.

Решение. Обозначим посредством 9 угол между линией OA соприкос­новения конуса с плоскостью и каким-либо неподвижным направлением в этой плоскости (рис. 42). Центр инерции находится на оси конуса и его ско­рость V = a cos а - 6, где 2а — угол раствора конуса, а а — расстояние центра инерции от вершины. Угловую скорость вращения вычисляем, как скорость чистого вращения вокруг мгновенной оси OA:

V А

Q = —_: = 9 ctg а.

а sin а ^ь

Одна из главных осей инерции (ось х₃) совпадает с осью конуса, а другую (ось хг) выбираем перпендикулярно к оси конуса и линии OA. Тогда проек­ции вектора Q (направленного параллельно OA) на главные оси инерции будут Q sin а, О, Й cos а. В результате находим для искомой кинетической энергии:

_r = i^cos²a.9² + A_cos2a.e₂ + A^^_Q2₌Mle_2(1+5co32a)

(h—высота конуса, Л. h, а — из задачи 2, д)).

8. Найти кинетическую энергию однородного конуса, основание которого катится по плоскости, а вершина постоянно находится в точке над плоскостью на высоте, равной радиусу основания (так что ось конуса параллельна пло- скости).

Решение. Вводим угол 9 между заданным направлением в плоскости и проекцией на нее оси конуса (рис. 43). Тогда скорость центра инерции

V = а в (обозначения те же, что в задаче 7). Мгновенной осью вращения является образующая конуса OA, проведенная в точку его соприкосновения с плоскостью. Центр инерции находится на расстоянии a sin а от этой оси и потому

п₌ у ₌ ё

a sin a sin а

Проекции вектора Q на главные оси инерции (ось х₂ выбираем перпендику-

\£

1 ~

А

лярной к оси конуса и линии OA): Q sin а = в, О, Q cos а = 6 ctg а. Поэтому кинетическая энергия

9. Найти кинетическую энергию однородного трехосного эллипсоида, вра­щающегося вокруг одной из своих осей (АВ, рис. 44), причем последняя сама вращается вокруг направления CD, пер­пендикулярного к ней и проходящего через центр эллипсоида.

Решение. Угол поворота вокруг оси CD обозначим посредством 8, а угол поворота вокруг оси АВ (угол между CD и осью инерции Х\, перпен­дикулярной к АВ) —через ср. Тогда про­екции Q на оси инерции будут:

6 cos ср, в sin ср, ф

{причем ось *₃совпадает с АВ). По­скольку центр инерции, совпадающий с центром эллипсоида, неподвижен, то кинетическая энергия

Т = i. (/, COS² ф + /, sin² ф) ё² + у/₃ф².

10. То же, если ось ав наклонена, а эллипсоид симметричен относительно этой оси (рис. 45).

Решение. Проекции Q на ось АВ и на перпендикулярные к ней две другие главные оси инерции (которые можно выбрать произвольно):

6 cos a cos ф, G cos а sin ф, ф + В sin а.

Кинетическая энергия

Т = A- cos² а • 0² + Ц- (ф + 6 sin а)^а.

§ 33. Момент импульса твердого тела

Величина момента импульса системы зависит, как мы знаем, от выбора точки, относительно которой он определен. В меха­нике твердого тела наиболее рационален выбор в качестве этой точки начала подвижной системы координат, т. е. центра инер­ции тела. Ниже мы будем понимать под М момент, определен­ный именно таким образом.

Согласно формуле (9,6) при выборе начала координат в центре инерции тела его момент М совпадает с «собственным моментом», связанным лишь с движением точек тела относи­тельно центра инерции. Другими словами, в определении М = = 2] m [rv] надо заменить v на [йг]:

М = Х> [г [Йг]] = Z m {г²Й _ г (гй)}/

или в тензорных обозначениях:

Mt — 2 m {x²Qt — x_tx_kQ_k) = Q_ft £ m {x]b_ik — x_tx_k).

Наконец, учитывая определение (32,2) тензора инерции, полу­чаем окончательно:

Mi = I_tkQ_k. (33,1)

Если оси х\, х₂, хг направлены вдоль главных осей инерции тела, то эта формула дает:

M, = /,Q„ M₂ = /₂Q₂, M₃ = I_ZQ₃. (33,2)

В частности, для шарового волчка, когда все три главных момента инерции совпадают, имеем просто:

М = /Й, (33,3)

т. е. вектор момента пропорционален вектору угловой скорости и имеет одинаковое с ним направление.

В общем же случае произвольного тела вектор М, вообще говоря, не совпадает по своему направлению с вектором Й, и лишь при вращении тела вокруг какой-либо из его главных осей инерции М и Й имеют одинаковое направление.

Рассмотрим свободное движение твердого тела, не подвер­женного действию каких-либо внешних сил. Не представляю­щее интереса равномерное поступательное движение будем предполагать исключенным, так что речь идет о свободном вра­щении тела,

момент импульса твердого тела

139

Как и у всякой замкнутой системы, момент импульса сво­бодно вращающегося тела постоянен. Для шарового волчка условие М = const приводит просто к Я = const. Это значит, что общим случаем свободного вращения шарового волчка яв­ляется просто равномерное вращение вокруг постоянной оси.

Столь же прост случай ротатора. Здесь тоже М = IQ, при­чем вектор Я перпендикулярен к оси ротатора. Поэтому сво­бодное вращение ротатора есть равномерное вращение в од­ной плоскости вокруг направле­ния, перпендикулярного к этой плоскости.

Закон сохранения момента достаточен и для определения более сложного свободного вра- \_ч щения симметрического волчка.

Воспользовавшись произволь­ностью выбора направлений главных осей инерции х\, х₂ (пер­пендикулярных к оси симметрии волчка х₃), выберем ось х₂ пер­пендикулярной к плоскости, опре­деляемой постоянным вектором М и мгновенным положением оси х₃. Тогда М₂ = 0, а из формул (33,2) видно, что и Яг = 0. Это значит, что направления М, Q и оси волчка в каждый момент времени лежат в одной плоскости (рис. 46). Но отсюда в свою очередь следует, что скорости v = [Яг] всех точек на оси волч­ка в каждый момент времени перпендикулярны к указанной плоскости; другими словами, ось волчка равномерно (см. ниже) вращается вокруг направления М, описывая круговой конус (так называемая регулярная прецессия волчка). Одновременно С прецессией сам волчок равномерно вращается вокруг соб­ственной оси.

Угловые скорости обоих этих вращений легко выразить че­рез заданную величину момента М и угол наклона 9 оси волч­ка к направлению М. Угловая скорость вращения волчка во­круг своей оси есть просто проекция Я₃ вектора Q на эту ось:

Р-,=

М₃

м

cos 9.

(33,4)

Для определения же скорости прецессии Я_пр надо разложить вектор Я по правилу параллелограмма на составляющие вдоль х₃ и вдоль М. Из них первая не приводит ни к какому пере­мещению самой оси волчка, а потому вторая и дает искомую угловую скорость прецессии, Из построения на рис, 46 ясно, что Q_np sin 8 = Qi, а поскольку Qi = Mi/h = М sin 9/Л', то по­лучаем:

О_ор = ад. (33,5)