3. Определить частоту малых колебаний физического маятника (твердое тело, качающееся в поле тяжести около неподвижной горизонтальной оси).

Решение. Пусть / — расстояние от центра инерции маятника до оси вращения, а а, в, у— углы между направлениями его главных осей инерции и осью вращения. В качестве переменной координаты вводим угол ср между вертикалью и перпендикуляром, опущенным из центра инерции на ось враще­ния. Скорость центра инерции V — /ф, а проекции угловой скорости на глав­ные оси инерции: фсоэа, ф cos В, фсоэу- Считая угол ср малым, находим по­тенциальную энергию в виде

U = p.g/ (1 — cos ср) « \igl<$².

Поэтому функция Лагранжа

L = -^1ф² + 1 (/, cos² a+I₂ cos² р + /, cos² _Y) ф²

со'

^{Отсюда для частоты колебаний имеем:}

^

]il² + /, cos² а + /₂ cos² р + /₃ cos² у '

4. Найти кинетическую энергию системы, изображенной на рис. 39; OA и АВ — тонкие однородные стержни длиной /, шарниро скрепленные в точке А. Стержень OA вращается (в плоскости рисун­ка) вокруг точки О, а конец В стержня АВ скользит вдоль оси Ох.

Решение. Скорость центра инерции стержня OA (находящегося на его середине) есть /ф/2, где <р — угол АОВ. Поэтому кинети­ческая энергия стержня OA

'(р. — масса одного стержня).

Декартовы координаты центра инерции

л _D v 3/ _v I . ..Рис. 39

стержня АВ: X = — cos ф, Y = — sin q>. Так

как угловая скорость вращения этого стержня тоже равна ф, то его кине­тическая энергия

г₂ = £ (i:² + к²) + i- Ф² = -йр-о + з sin² _Ф) ф² + if.

2

Полная кинетическая энергия системы

Г =

pi²

(1 + 3 sin² (р) ф²

([подставлено / = ц/²/12 согласно задаче 2, а)).

5. Найти кинетическую энергию цилиндра (радиуса R), катящегося по плоскости. Масса цилиндра распределена по его объему таким образом, что одна из главных осей инерции параллельна оси цилиндра и проходит на расстоянии а от нее; мо­мент инерции относительно этой главной оси есть /.

Решение. Вводим угол ф между верти­калью и перпендикуляром, опущенным из центра тяжести на ось цилиндра (рис. 40). Движение цилиндра в каждый момент времени можно рас­сматривать как чистое вращение вокруг мгновен­ной оси, совпадающей с линией его соприкоснове­ния с неподвижной плоскостью; угловая ско­рость этого вращения есть ф (угловая скорость вращения вокруг всех параллельных осей одина-кова). Центр инерции находится на расстоянии

^{Уа2 + R2 — 2aR cos ф от мгновенной оси и потому его скорость есть}

V = ф л/а² + R² — 2aR cos ф. Полная кинетическая энергия

• 2aR cos ф) ф² + — ф²

6. Найти кинетическую энергию однородного цилиндра радиуса а, катя­щегося по внутренней стороне цилиндрической поверхности радиуса R (рис. 41).

Решение. Вводим угол ср между линией, соединяющей центры обоих цилиндров, и вертикалью. Центр инерции катящегося цилиндра находится на оси и его скорость V =ф (R— а). Угловую скорость вычисляем, как скорость

Рис. 41 Рис. 42

чистого вращения вокруг мгновенной оси, совпадающей с линией соприкосно­вения цилиндров; она равна

_ V .R-a

и — — = да .

а а

Если h — момент инерции относительно оси цилиндра, то

T = ^(R-aYV + ± ^(R~^a? ф' = |ц(Д-а)*ф*

{h — из задачи 2, в)).