1. Определить главные моменты инерции для молекул, рассматриваемых «ак системы частиц, находящихся на неизменных расстояниях друг от дру­га, в следующих случаях:

а) Молекулы из атомов, расположенных на одной прямой.

Ответ:

^Il ^{= I}2 ⁼ -jrY_J^ma^mb^llb> ^/з⁼⁼⁰>

афЬ

где nta — массы атомов, 1_аъ — расстояние между атомами а и Ь; суммирова­ние производится по всем парам атомов в молекуле (причем каждая пара значений а, Ъ входит в сумму по одному разу).

Для двухатомной молекулы сумма сводится к одному члену, давая зара­нее очевидный результат — произведение приведенной массы обоих атомов на квадрат расстояния между ними:

mi/n₂ ,,

б) Трехатомная молекула в виде равнобедренного треугольника (рис. 36). Ответ: Центр инерции лежит на высоте треугольника на расстоянии Хз = niihl]), от его основания. Моменты инерции:

в) Четырехатомная молекула с атомами, расположенными в вершинах, правильной трехугольной пирамиды (рис. 37).

Ответ: Центр инерции лежит на высоте пирамиды на расстоянии Х₃ = /пгй/ц от ее основания. Моменты инерции:

/, = /₂ = !—Л² Ч ^—, 1₃ = т,а².

При т,=/п₂, Л = а V²/3 мы получаем тетраэдрическую молекулу с момен­тами инерции

Л = h= h = mia².

2. Определить главные моменты инерции сплошных однородных тел.

а) Тонкий стержень длиной I.

Ответ: /, = /₂ = -pj-ц./², /₃=0 (толщиной стержня пренебрегаем).

б) Шар радиуса R. Ответ:

/₁₌,/₂=/₃ = |-цЯ²

^{^вычислять следует сумму Л + h + h = 2р ^ г2 dV^.}

в) Круговой цилиндр радиуса R и высотой h. Ответ:

л-/,-* («■+»). /.-**.

|[(*з — ось цилиндра).

г) Прямоугольный параллелепипед с длинами ребер а, Ь, с. Ответ:

^Л = 12 ^(Ь2 + °²⁾' ⁷* = "ТТ ^(с* ^{+ а2)}' ^{/з =} 12 ⁽°² + ^Ь%) |Joch ati, лг₂, Хз параллельны ребрам а, 6, с).

д) Круговой конус с высотой А н радиусом основания R.

Решение. Вычисляем сначала тензор 1ц, по отношению к осям с на-чалом в вершине конуса (рис. 38). Вычисление легко производится в цилин-дрических координатах и дает:

ю

?2 _N .3

цЯ²

Центр тяжести находится, как показывает простое вычисление, на оси ко­нуса на расстоянии а — Зй/4 от вершины. По формуле (32,12) находим окон­чательно

Л-'.-^-««"-я-!. («• + -?■). 'з = 'з = -к^²-

е) Трехосный эллипсоид с полуосями а, Ь, с.

Решение. Центр инерции совпадает с центром эллипсоида, а главные оси инерции — с его осями. Интегрирование по объему эллипсоида может быть сведено к интегрированию по объему сферы путем преобразования ко­ординат х = а|, у — Ьц, z = с£, превращающего уравнение поверхности эллипсоида

„2 ,2

Ил.М-4- — — 1

„2 ~ U2 ~ «2 ¹

ь²

в уравнение поверхности единичной сферы |² + т)² + £²=1.

Так, для момента инерции относительно оси х получаем:

^{Л —Р JJJ (y2 + z2)dxdydz =}

^{= рабе ^ ^ ^ (ЬЧ? + с2&2) d£ rfTl d& =>}

= abc^I' (fe² + c²),

где /' — момент инерции шара единичного радиуса. Учитывая, что объем эллипсоида равен 4nabc/3, получим окончательно моменты инерции

/,=|-(&² +

-|(а²+с²)>

/з=£ (а²+ б²).