§ 27. Параметрический резонанс

Существуют такие незамкнутые колебательные системы, в которых внешнее воздействие сводится к изменению со време­нем ее параметров').

Параметрами одномерной системы являются коэффициен­ты т и k в функции Лагранжа (21,3); если они зависят от времени, то уравнение движения гласит:

-j_r(mx) + kx = 0. (27,1)

Путем введения вместо t новой независимой переменной т со­гласно dx = dt/m(t) это уравнение приводится к виду

-^р- -4- mkx = 0.

Поэтому фактически, без всякого ограничения общности, до­статочно рассмотреть уравнение движения вида

^{-g--f-co2(0* = 0, (27,2)}

которое получилось бы из (27,1) при т = const.

') Простым примером такого рода является маятник, точка подвеса ко­торого совершает заданное периодическое движение в вертикальном направ­лении (см. задачу 3).

Вид функции со(0 задается условиями задачи; предполо­жим, что эта функция периодическая с некоторой частотой v (и периодом Т — 2п/у). Это значит, что

©</ +Г) = «»</),

а потому и все уравнение (27,2) инвариантно по отношению к преобразованию t-*~t-{-T. Отсюда следует, что если x(t) есть решение уравнения, то и функция x(t-\-T) тоже есть решение. Другими словами, если x\(t) и x₂(t)—два независимых инте­грала уравнения (27,2), то при замене t-*-t-\-T они преобра­зуются линейным образом друг через друга. При этом мож­но¹) выбрать х\ и х₂ таким образом, чтобы их изменение при замене t на t + Т сводилось просто к умножению на постоян­ный множитель

+Г) *= ЦЛЮ. X₂(t+T) = \l₂X₂{t).

Наиболее общий вид функций, обладающих таким свойством, есть

= 11^11,(0, *₂(0 = |4^/ГП₂(0, (27,3)

где III (0 и U₂{t) — чисто периодические функции времени (с периодом Т).

Постоянные ui и ц₂ в этих функциях должны быть связаны друг с другом определенным соотношением. Действительно, умножив уравнения

х_х + ©²(/)*i = 0, x₂ + <i>²(t)x₂ = 0

соответственно на х₂ и х\ и вычтя их почленно одно из дру­гого, получим:

Х\Х₂ — Х₂Х\ = {х^х₂ — х_хх₂) = 0

или

х_гх₂ — х_хх₂ — const. (27,4)

Но при любых функциях x{(t) и x₂(t) вида (27,3) выражение в левой стороне этого равенства умножается на щц₂ при из­менении аргумента t на t + Т. Поэтому ясно, что соблюдение равенства (27,4) во всяком случае требует, чтобы было

l*il*2=l. (27,5)

Дальнейшие заключения о постоянных щ, р₂ можно сделать, исходя из факта вещественности коэффициентов уравнения (27,2). Если x(t) есть какой-либо интеграл такого уравнения, то

') Этот выбор эквивалентен приведению к диагональному виду матрицы линейных преобразований Xi(l) и *г(0, что требует решения соответствую­щего секулярного квадратного уравнения. Мы предполагаем, что корни этого уравнения не совпадают.

и комплексно сопряженная функция x*(t) должна удовлетворять тому же уравнению. Отсюда следует, что пара постоянных ц_и р,₂ должна совпадать с парой ц_и ц₂, т. е. должно быть либо ц, = и-2, либо Hi и ц₂ вещественны. В первом случае, учитывая (27,5), имеем n^l/nl, т. е. | ц, |² = | [х₂|² = 1; постоянные р., и ц₂ по модулю равны единице.

Во втором же случае два независимых интеграла уравне­ния (27,2) имеют вид

*, (0 = ^11,(0, *₂(/) = ц-"^гП₈(0 (27,6)

с отличным от единицы положительным или отрицательным вещественным числом р. Одна из этих функций (первая или вторая при |р|>1 или |р|<1) экспоненциально возрастает со временем. Это значит, что состояние покоя системы (в по­ложении равновесия х = 0) будет неустойчивым: достаточно сколь угодно слабого отклонения от этого состояния, чтобы по­явившееся смещение х стало быстро возрастать со временем. Это явление называется параметрическим резонансом.

Обратим внимание на то, что при строго равных нулю на­чальных значениях х и х они оставались бы равными нулю и в дальнейшем в отличие от обычного резонанса (§ 22), в ко­тором возрастание смещения со временем (пропорциональное t) происходит и от равного нулю начального значения.

Выясним условия возникновения параметрического резо­нанса в важном случае, когда функция ©(/) мало отличается от некоторой постоянной величины соо и является простой пе­риодической функцией

со² (/) _{= Ю}2 (1 _|_ _{п cos yt})_t

где постоянная Л «С 1 (мы будем считать h положительной, чего всегда можно добиться надлежащим выбором», начала отсчета времени). Как мы увидим ниже, наиболее интенсивным образом параметрический резонанс возникает, если частота функции со (г) близка к удвоенной частоте ©₀. Поэтому положим;

у = 2со₀ + е,

где е «С ©о-

Решение уравнения движения')

х + щ[\ -frtcos(2©₀ + e)f]Jt = 0 (27,8)

будем искать в виде

х = a (t) cos (©о + -§-) ¹ + ^b W ^sin ("о + -f) (27,9)

») Уравнение такого вида (с произвольными у и h) называются в мате-\ матической физике уравнением Матьё, где a(t) и b(t)—медленно (по сравнению с множителями cos и sin) меняющиеся функции времени. Такой вид решения, разу­меется, не является точным. В действительности функция д:(/) содержит также члены с частотами, отличающимися от со₀+е/2 на целое кратное от (2со₀ + е); эти члены, однако, высшего по­рядка малости по А, и в первом приближении ими можно пре­небречь (см. задачу 1).

Подставим (27,9) в (27,8) и произведем вычисления, со­храняя лишь члены первого порядка по е. При этом предполо­жим, что й ~ еа, b ~ eb (правильность этого предположения в условиях резонанса подтвердится результатом). Произведе­ния тригонометрических множителей разложим в суммы

cos (со₀ + у) t • cos (2со₀ + в) / =

= }cos(3co₀ + -|-)/ + lcos (со₀ + !);

и т. п. и в соответствии со сказанным выше опустить члены с частотами 3(соо.+ е/2). В результате получим:

- (2а+Ьг + Ь) со₀ sin (со₀ + -J-) / +

+ (2&-ae+-^-a)co₀cos («й + / = 0.

Выполнение этого равенства требует одновременного обраще­ния в нуль коэффициентов при каждом из множителей sin и cos. Отсюда получаем систему двух линейных дифферен­циальных уравнений для функций a(t) и b{t). Следуя общим правилам, ищем решение, пропорциональное e^st, Тогда

4(.-*2!)в-_в*-0.

и условие совместности этих двух алгебраических уравнений дает:

^{*2 = -f[(^)2-4 (27,10)}

¹ Условие возникновения параметрического резонанса заклю­чается в вещественности s (т. ё. s²>0)¹). Таким образом, он имеет место в интервале

-=Лсо₀/2 < 8 < Лсоо/2 (27,4)

') Постоянная р, в (27,6) связана с s посредством Ц = — e^sn^ (при за», мене t на t + 2я/2соо cos и sin в (27,9) меняют знак).

вокруг частоты 2«>о¹) - Ширина этого интервала пропорциональ­на А, и такого же порядка осуществляющиеся в нем значения показателя усиления колебаний s.

Параметрический резонанс имеет место также при частотах у изменения параметра системы, близких к значениям вида 2©о/п, где п — любое целое число. Однако ширина резонансных областей (областей неустойчивости) с увеличением п быстро уменьшается — как h" (см. задачу 2). Так же уменьшаются и значения показателя усиления колебаний в них.

Явление параметрического резонанса существует и при на­личии слабого трения в системе, но область неустойчивости при этом несколько сужается. Как мы видели в § 25, трение приводит к затуханию амплитуды колебаний по закону е~^и. Поэтому усиление колебаний при параметрическом резонансе происходит, как е<*-*>' (с положительным s, даваемым реше­нием задачи без трения), а граница области неустойчивости определяется равенством s —- А =0. Так, используя s из (27,10), получим для резонансной области вместо (27,11) неравенства

^{- V(nr)2 -4Л2 <8 < л/(нг)2 -41К <27>12>}

Обратим внимание на то, что при этом резонанс оказы­вается возможным не при сколь угодно малой амплитуде Л, а лишь начиная с определенного «порога» я*, равного в слу­чае (27,12)

Л_А = 4л./<Во.

Можно показать, что для резонансов вблизи частот 2щ/п ве­личина порога Лй пропорциональна %^1/я, т. е. возрастает с уве­личением п.

Задачи

1. Определить границы области неустойчивости при резонансе вблизи у = 2соо с точностью до величин порядка №.

Решение. Ищем решение уравнения (27,8) в виде

^{X — а}₀ ^{cos (со}₀ ^{+ у) t Ч- *о sin (со}₀ ^{+ /. +}

+ Oi cos 3 (coo + y) ^{ + ⁶i ^{sin 3} (^ю° + -f") *>

учитывая в нем (по сравнению с (27,9)) также в члены следующего порядка по ft. Интересуясь лишь границами области неустойчивости, предполагаем коэффициенты яо, £>о, flt, 61 постоянными (в соответствии с замечанием, еде-

') Если интересоваться лишь границами области резонанса (не интере. суясь выражением для s внутри нее), то можно упростить вычисления, заме­тив, что на этих границах s = 0, т. е. коэффициенты а и Ъ в (27,9) постоян­ны; при этом мы сразу получим значения е=.±Асоо/2, отвечающие границам области (27,11), данным в сноске на стр. ПО). При подстановке в уравнение (27,8) произве­дения тригонометрических функций разлагаем в суммы, опуская при этом члены с частотами 5 (©о + е/2), которые нужны были бы лишь в еще более высоком приближении. Получаем:

Г / е²\ Асе² Л©², "1 ( е\

I — а₀^Юое+—) + ~2~^ао + —2— <J| J cos(©₀ + yj * +

[/ _е2\ А©² Аю². 1 ( е\

-Ь₀[щг + -^-)--^ b₀ + -^-b₁jsin (©o + yJ'+]

+ [-^r- % - всо^а,] cos 3 (©„ + -i) t +

+ \_^р-^ьо ~ ⁸°>o⁶i] sin 3 (со₀ + -1) t = 0.

В членах с частотами соо + е/2 сохранены величины первого и второго по­рядка малости, а в членах с частотами 3 (ю₀ + — члены первого по­рядка. Каждое из выражений в квадратных скобках должно обращаться в нуль в отдельности. Из двух последних имеем:

Л и ^h и

а> — -jQ- a_Q, Si = -jg- о₀,

после чего из двух первых находим:

А©² ё² А²©² со₀е±^-+ — -~й-=0.

Решая это уравнение с точностью до членов порядка А², получим иско­мые граничные значения е:

е=±НГ-^Л²ш₀.

2. Определить границы области неустойчивости при резонансе вблизи у = «с

Решение. Написав у = ©о + в, получаем уравнение движения х + со² [1 + A cos (©₀ + е) t] х = 0.

Имея в виду, что искомые граничные значения е ~ А², ищем решение в виде х = а₀ cos (©о + е) t + bo sin (©<> + е) t + a_t cos 2 (©₀ + e) t +

+ bi sin 2 («o + 8) t + c_b,

учитывая в нем сразу члены двух первых порядков. Для определения границ неустойчивости снова предполагаем коэффициенты постоянными и получаем:

Г Ч ₂ 1

^- 2©₀еа₀ + —у—а_{ + Acofo Jcos (©_Q + е) t +

Г Ли² I Г , A©² I

+ [- 2©₀е6₀ + -^- b_l J sin (©₀ + е) t + L_3©²a,+-^-a₀J _{cos 2} (ш₀ + e) * +

+ [- 3cd|6, + 6₀] sin 2 (©_fl + e) t + [_Cl©² + «₀] = 0.

Отсюда находим:

н затем две границы области неустойчивости:

3. Найти условия параметрического резонанса для малых колебаний пло­ского маятника с колеблющейся в вертикальном направлении точкой подвеса.

Решение. По найденной в задаче 3, в) § 5 функции Лагранжа найдем для малых (ф < 1) колебаний уравнение движения