§ 26. Вынужденные колебания при наличии трения

Исследование вынужденных колебаний при наличии трения вполне аналогично произведенному в § 22 рассмотрению коле­баний без трения. Мы остановимся здесь подробно на пред­ставляющем самостоятельный интерес случае периодической вынуждающей силы.

Прибавив в правой стороне уравнения (25,1) внешнюю силу fcosyt и разделив на т, получим уравнение движения в виде

х + 2Хх + ©о* = ~У cos \t. (26,1)

Решение этого уравнения удобно находить в комплексной форме, для чего пишем в правой части е¹"** вместо cos yt:

x + 2Xx + a>U = -£- e^lyt. Яастный интеграл ищем в виде х = Be'"" и находим для В: В = —7-0 1 TV- (²⁶.2)

Представив В в виде be'⁶, имеем для b и б:

_{6 = ' -, tge ^Ц-. (26,3)}

«VK-v) ² + 4Я²у² Г-»о

Наконец, отделив вещественную часть от выражения Be^iyt = = be'^iyt+6), получим частный интеграл уравнения (26,1), а при­бавив к нему общее решение уравнения без правой части (ко­торое мы напишем для определенности для случая «о > Я,), получим окончательно:

х = ае~~^и cos (со/ + a) + b cos (у/ + б). (26,4)

Первое слагаемое экспоненциально убывает со временем, так что через достаточно большой промежуток времени остает­ся только второй член:

х — b cos (yt + б). (26,5)

Выражение '(26,3) для амплитуды Ъ вынужденного колеба­ния хотя и возрастает при приближении частоты у к со₀, но не обращается в бесконечность, как это было при резонансе в от­сутствие трения. При заданной амплитуде силы f амплитуда

колебания максимальна при частоте у = л/а>1 — 2А²; при Я, <С ■С о>о это значение отличается от щ лишь на величину второго порядка малости.

Рассмотрим область вблизи резонанса. Положим у = со₀ -+- 8, где е — малая величина; будем также считать, что к -С со₀. То­гда в (26,2) можно приближенно заменить:

Y² — со², = (у + ©о) (у — со₀) *» 2со₀е, 2iXy » 2/Яо>₀,

так что

ИЛИ

b = \ tgd = —. (26,7)

Отметим характерную особенность хода изменения разно­сти фаз б между колебанием и вынуждающей силой при изме­нении частоты последней. Эта разность всегда отрицательна, т. е. колебание «запаздывает» относительно внешней силы. Вдали от резонанса, со стороны у < ш₀, б стремится к нулю, а со стороны у>соо—к значению —я. Изменение б от нуля до —л происходит в узкой (ширины ~Х) области частот, близ­ких к too", через значение -л/2 разность фаз проходит при у = соо. Отметим в этой связи, что в отсутствие трения изме­нение фазы вынужденного колебания на величину я происхо-

дит скачком при у = со₀ (второй член в (22,4) меняет знак); учет трения «размазывает» этот скачок.

При установившемся движении, когда система совершает вынужденные колебания (26,5), ее энергия остается неизмен­ной. В то же время система непрерывно поглощает (от источ­ника внешней силы) энергию, которая диссипируется благо­даря наличию трения. Обозначим посредством 1(у) количество энергии, поглощаемой в среднем в единицу времени, как функцию частоты внешней силы. Согласно (25,13) имеем:

/(Y) = 2F,

где F — среднее (по периоду колебания) значение диссипатив-ной функции. Для одномерного движения выражение (25,11) диссипативной функции сводится к F = ах²/2 = Хтх². Подста­вив сюда (26,5), получим:

F = Xmb²y² sin² (у/+ б).

Среднее по времени значение квадрата синуса равно у₂, по­этому

I(y) = Xmb²y². (26,8)

Вблизи резонанса, подставляя амплитуду колебания из (26,7), имеем:

'«-^гтгтх»-- <²⁶'⁹>

Такой вид зависимости поглощения от частоты называется дисперсионным. Полушириной резонансной кривой (рис. 31) называют значение |е|, при ко- тором величина /(е) уменьшает- ся вдвое по сравнению с ее мак- у симальным значением при е = 0. /

Из формулы (26,9) видно, что в >_

данном случае эта полуширина

совпадает с показателем затуха- |

ния X. Высота же максимума -л

/(0) = /²/4тл. Рис.31

обратно пропорциональна X. Таким образом, при уменьшении показателя затухания резонансная кривая становится уже и выше, т. е. ее максимум становится более острым. Площадь же под резонансной кривой остается при этом неизменной. Последняя дается интегралом

00 оо

^{[l(y)dy = 5 /(e)<te.}

О -и.

Поскольку 7(e) быстро убывает при увеличении |е|, так что область больших |е| все равно не существенна, можно при интегрировании писать 7(e) в виде (26,9), а нижний предел заменить на —оо. Тогда

_{■5 j^fp-S- сад}

—оо —со

Задача

Определить вынужденные колебания при наличии трения под действием внешней силы / = ft,e^at cos yt.

Решение. Решаем уравнение движения в комплексном виде

* + 2А* + а>о*=— ^и т

после чего отделяем вещественную часть решения. В результате получаем вы­нужденное колебание в виде

х = be^at cos (yt + б),

где

^т + а² - Y² + 2аХ)² + 4у² (а + X)²

t_g6= ^{2у {а + Х)}

со², - у² + а² + 2сЛ