2. То же для молекулы aba треугольной формы (рис. 29),

Решение. В силу (24,1), (24,2) составляющие смещений и атомов по направлениям X и Y (рис. 29) связаны соотношениями

^/ил(*1 + *з) + ^тЛ = ⁰'

^тА(У1 + У₃) + ^твУ2 = ⁰'

sin а (#, — уз) — cos а (л:, + х₃) = 0.

Изменения 67i и б/₂ расстояний А — В и В —А получаются путем проектиро-вания векторов Ui — u₂ и u₃ — u₂ на направления линий АВ к В А:

б/, = (*, — х₂) sin а + (yi — у₂) cos а,

б/₂ = — (х₃ — х₂) sin а + (уз — у₂) cos а.

Изменение же угла ABA получается проектированием тех же векторов на направления, перпендикулярные к отрезкам АВ и В А:

о = у [(*, — х₂) cos а — (ух — у₂) sin а] + у [— (х₃ — х₂) cos а—(у₃—у₂) sin о]. Функция Лагранжа молекулы

L - ^ ( ij + и²) + ^ и² - ^ (6/? + о/²) - 61

Вводим новые координаты

Qa = ж 1 + «з. <7si = *i — х₃, q_si = yi+ у₃.

Компоненты векторов и выражаются через них согласно 1

Xi = -j (Qa — <7si).

*i=-2-(Qa + <bi). 1

Уз = у (<7s2 — Qa ctg a), =

' ?S2,

Ух =y(<7ss+ QaC'g a), а для функции Лагранжа получим после вычисления:

^L 4 \ т_в ⁺ sin² a J ^У" ⁺ 4 ⁺ 4m_e

о² и²

— (A. sin² a + 2k₂ cos² a) — q]₂ —— (k_x cos² a + 2k₂ sin² a) +

4 4/Лд

+ qsiq_Si-£— (2^2 — &i) sin a cos a.

Отсюда видно, что координата Q_a отвечает нормальному колебанию с ча­стотой

^а "Л ^тв J антисимметричному относительно оси Y[xt = x_s, y_t = ~-#₃; рис, 29, а).

ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ

99

Координаты же q_si, q$i совместно соответствуют двум колебаниям (сим­метричным относительно оси У: Xi = —*s, yi = у*; рис. 29,6 и в), частоты которых о)ц, о>*2 определяются как корни квадратного (по со²) характеристи­ческого уравнения

о'-©²(1 +-^-cos²a^ + -^²-f 1 + sin²a^l + \_tn_A\ m_B J m_A\ m_B J\

B^rnA

m_Rm

При 2a = n все эти частоты совпадают с найденными в задаче 1. 3. То же для линейной несимметричной молекулы ABC (рис. 30). Решение. Продольные (х) и поперечные (у) смещения атомов связаны соотношениями

т_Ах_{ + т_вх₂ + т_сх₃ = 0, 3 1_г 2 7j 1

m_Ay_{+т_ву₂ +т_су₃ = 0, С В А

^тА¹\У\⁼"^псЧ^уъ- Рис 30

Потенциальную энергию растяжения и изгиба пишем в виде

к. k\ kJ-

-_T-(6/i)²+^-(6/₂)²+ -|-6²

'{21 = h + h). Вычисления, аналогичные произведенным в задаче 1, приводят к значению

" ' ' i

1щ \т_с т_А т_в для частоты поперечного колебания и к квадратному (по со²) уравнению 4 2 1, I ■ , - I , _t'i - , • II, ^^fei^fei

₂ kf ( i\ l\ 4i«\

^ш^ ⁼ -^7г1 + + I

Hli \ m_c m_A m_B /

= 0

для частот сои, со;г двух продольных колебаний. § 25. Затухающие колебания

До сих пор мы всегда подразумевали, что движение тел происходит в пустоте или что влиянием среды на движение можно пренебречь. В действительности при движении тела в Среде последняя оказывает сопротивление, стремящееся замед­лить движение. Энергия движущегося тела при этом в конце концов переходит в тепло или, как говорят, диссипируется.

Процесс движения в этих условиях уже не является чисто механическим процессом, а его рассмотрение требует учета движения самой среды и внутреннего теплового состояния как среды, так и тела. В частности, уже нельзя утверждать в об­щем случае, что ускорение движущегося тела является функ­цией лишь от его координат и скорости в данный момент вре­мени, т. е. не существует уравнений движения в том смысле, какой они имеют в механике. Таким образом, задача о дви­жении тела в среде уже не является задачей механики.

Существует, однако, определенная категория явлений, когда движение в среде может быть приближенно описано с помощью механических уравнений движения путем введения в них некоторых дополнительных членов. Сюда относятся колеба­ния с частотами, малыми по сравнению с частотами, характер­ными для внутренних диссипативных процессов в среде. При выполнении этого условия можно считать, что на тело дей­ствует сила трения, зависящая (для заданной однородной сре­ды) только от его скорости.

Если к тому же эта скорость достаточно мала, то можно разложить силу трения по ее степеням. Нулевой член разло­жения равен нулю, поскольку на неподвижное тело не дей­ствует никакой силы трения, и первый неисчезающий член пропорционален скорости. Таким образом, обобщенную силу трения f_Tp, действующую на систему, совершающую одномер­ные малые колебания с обобщенной координатой х, можно на­писать в виде

/т_Р = — ах,

где а — положительный коэффициент, а знак ' минус показы­вает, что вила действует в сторону, противоположную скоро­сти. Добавляя эту силу в правую сторону уравнения движения, получим (ср. (21,4)):

mx — — kx — ах. (25,1)

Разделим его на m и введем обозначения

kjtn = со², ct/m = 2Х. (25,2)

too есть частота свободных колебаний системы в отсутствие трения. Величина К называется коэффициентом затухания¹). Таким образом, имеем уравнение

х + 2Ы + а²х = 0. (25,3)

Следуя общим правилам решения линейных уравнений с по­стоянными коэффициентами, полагаем х — e^rt и находим для q характеристическое уравнение

г² + 2Хг + в>1 = 0. Общее решение уравнения (25,3) есть

х = eft + ctf'J, г_иг = — Х ±л/х² — <£>Ъ. Здесь следует различать два случая.

Если л- < соо, то мы имеем два комплексно сопряженных значения г. Общее решение уравнения движения может быть

') Безразмерное произведение XT (где Т = 2л/ш — период) называют логарифмическим декрементом затухания, представлено в этом случае, как

x = Re{A ехр(— Я/ + it V»o — Я²)},

где А — произвольная комплексная постоянная. Иначе можно написать;

* = ae-^wcos(cu/ + a), © = д/ш² — Я², (25,4)

где а и a — вещественные постоянные. Выражаемое этими фор­мулами движение представляет собой так называемые зату­хающие колебания. Его можно рассматривать как гармониче­ские колебания с экспоненциально убывающей амплитудой. Скорость убывания амплитуды определяется показателем Я, а «частота» © колебаний меньше частоты свободных колебаний в отсутствие трения; при Я-С со₀ разница между © и ©₀— вто­рого порядка малости. Уменьшение частоты при трении следо­вало ожидать заранее, поскольку трение вообще задерживает движение.

Если Я -С соо, то за время одного периода 2л/со амплитуда затухающего колебания почти не меняется. В этом случае имеет смысл рассматривать средние (за период) значения квадратов координаты и скорости, пренебрегая при усредне­нии изменением множителя е~^и. Эти средние квадраты, оче­видно, пропорциональны е~^2и. Поэтому и энергия системы в среднем убывает по закону

Ё = Е₀е-™, (25,5)

где Ео — начальное значение энергии.

Пусть теперь Я > соо. Тогда оба значения г вещественны, причем оба отрицательны. Общий вид решения

х = с_х ехр [- (Я - V*² ~ *>о)'] + ^с2 ^ехР [~ (*■ + V^я"²-^юо)

(25,6)

Мы видим, что в этом случае, возникающем при достаточно большом трении, движение состоит в убывании |лс|, т. е. в асимптотическом (при г-»-со) приближении к положению рав­новесия. Этот тип движения называют апериодическим зату­ханием.

Наконец, в особом случае, когда Я = ©о, характеристиче­ское уравнение имеет всего один (двойной) корень г — —Я. Как известно, общее решение дифференциального уравнения имеет в этом случае вид

х = (с, + с₂/) е-». (25,7)

Это — особый случай апериодического затухания, Оно тоже не имеет колебательного характера,

Для системы со многими степенями свободы обобщенные силы трения, соответствующие координатам x_lt являются ли­нейными функциями скоростей вида

fi тр = — £ <*tk*k- (25,8)

к

Из чисто механических соображений нельзя сделать никаких заключений о свойствах симметрии коэффициентов а/* по ин­дексам i и k. Методами же статистической физики можно по­казать '), что всегда

a_lk = a_kl. (25,9)

Поэтому выражения (25.8) могут быть написаны в виде про- изводных

от квадратичной формы

F = у£а„А*_ъ (25,11)

I, к

называемой диссипативной функцией.

Силы (25,10) должны быть добавлены к правой стороне уравнений Лагранжа

AJL₌JL-*L /95 121

dt дх, dx_t дх_{ ■ * ' '

Диссипативная функция имеет сама по себе важный физи­ческий смысл — ею определяется интенсивность диссипации энергии в системе. В этом легко убедиться, вычислив произ­водную по времени от механической энергии системы. Имеем;

dE _ d / v-» . <^_Л—-V - (^{d dL dL}\— V • ^dF It ~iryL^Xl dx_t ^LJ~L^Xi\dtdx_t dxj— L^Xl'b4J'

Поскольку F— квадратичная функция скоростей, то в силу теоремы Эйлера об однородных функциях сумма в правой сто­роне равенства равна 2F. Таким образом,

4f=-2/⁷, (25,13)

*) См. «Статистическая физика», 3-е изд., § 121,

т е. скорость изменения энергии системы дается удвоенной диссипативной функцией. Так как диссипативные процессы приводят к уменьшению энергии, то должно быть всегда F > 0, т. е. квадратичная форма (25,11) существенно положительна.

Уравнения малых колебаний при наличии трения получают­ся добавлением сил (25,8) в правую сторону уравнений (23,5);

S ЩкЧ + S k_ikx_k = — X а_[кх_к. (25,14)

к k k

Положив в этих уравнениях

x_k = A_ke^rt,

получим по сокращении на e^rt систему линейных алгебраиче­ских уравнений для постоянных А_к

£ (m_ikr* + a_ikr + k_lk) A_k == 0. (25,15)

к

Приравняв нулю определитель этой системы, найдем характе­ристическое уравнение, определяющее значения г,

\m_ikr² + a_{kr + k_ik\ = 0. (25,16)

Это — уравнение степени 2s относительно г. Поскольку все его коэффициенты вещественны, то его корни либо веществен­ны, либо попарно комплексно сопряжены. При этом веще­ственные корни непременно отрицательны, а комплексные имеют отрицательную вещественную часть. В противном слу­чае координаты и скорости, а с ними и энергия системы экспо­ненциально возрастали бы со временем, между тем как нали­чие диссипативных сил должно приводить к уменьшению энергии,