1. Определить колебания системы с двумя степенями свободы, если ее функция Лагранжа

i = yU4j^J)-y (** + У²) + оху

(две одинаковые одномерные системы с собственной частотой еоо, связанные взаимодействием — аху).

Решение. Уравнения движения

х + со²,* = ау, у + ®1у = ах.

Подстановка (23,6) дает:

А_х («о² — со²) =» аА_у, А_и (о² — со²) = аА_х. (1)

Характеристическое уравнение (со² — со²)² = а², откуда

2 9 2 9 .

coy «= cOq — а, ©2 ⁼ Щ + ^а> При со = oil уравнения (1) дают А_х = Л», а при со = сог А, = —Поэтому

(коэффициенты 1/V2 соответствуют указанной в тексте нормировке нормаль­ных координат).

При а "С ©Q (слабая связь) имеем:

Изменение лиг/ представляет собой в этом случае наложение двух колебаний с близкими частотами, т. е. имеет характер биений с частотой соа — on = a/coo (см. § 22). При этом в момент, когда амплитуда координаты х проходит че­рез максимум, амплитуда у проходит через минимум и наоборот.

2. Определить малые колебания двойного плоского маятника (рис, 1),

Решение. Для малых колебаний (q>t < 1, фа •С 1} найденная з зада­че 1 § 5 функция Лагранжа принимает вид

L = lh±Zl l\$ + Л± /|ф|. + - ^+^- glrf - ₈l_2V%

Уравнения движения:

(От| + т₂) + /п₂/₂ф₂ + (nti + w₂) g<f_t = О, /1Ф1 + /₂ф₂ + g<t2 = 0.

После подстановки (23,6):

Ai (nti + т₂) (g — hm²) — А₂т²т₂1_г — 0, — Л,/,»² + A₂(g— l₂a²) = 0.

Корни характеристического уравнения:

^{± л/(nil + m}₂^{) [(nil + т}₂^{) (li + l}₂^{)* — 4m,Wi]}.}

При mi -> 00 частоты стремятся к пределам -y/gjl7 и , соответствую-

щим независимым колебаниям двух маятников.

3. Найти траекторию движения частицы в центральном поле U = kr²/2 (так называемый пространственный осциллятор).

Решение. Как и во всяком центральном поле, движение происходит в одной плоскости, которую выбираем в качестве плоскости х, у. Изменение каждой из координат х, у — простое колебание с одинаковыми частотами <а = Yfe/m:

х — a cos (at + а), у = b cos (at -f- р)

или

х = a cos ф, у = Ь cos (ф + б) = Ь cos б cos ф — b sin 5 sin ф,

где введены обозначения ф = «г -{- а, б = р" — а. Определив отсюда cos ср и sin ф и составив сумму их квадратов, получим уравнение траектории

^J/i_^JL_{coso = sin2o}.

а² ' Ъ² аЪ

Это — эллипс с центром в начале координат'). При 6 = 0 или я траектория вырождается в отрезки прямой.

§ 24. Колебания молекул

Если мы имеем дело с системой частиц, взаимодействующих друг с другом, но не находящихся во внешнем поле, то не все ее степени свободы имеют колебательный характер. Типичным примером таких систем являются молекулы. Помимо движений, представляющих собой колебания атомов около их положения равновесия внутри молекулы, молекула как целое может со­вершать поступательное и вращательное движения.

') Тот факт, что в поле с потенциальной энергией U = kr²/2 движение происходит по замкнутой кривой, был уже упомянут в § 14,

Поступательному перемещению соответствуют три. степени свободы. Столько же имеется в общем случае вращательных степеней свободы, так что из Зп степеней свободы л-атомной молекулы всего Зп — б отвечают колебательному движению. Исключение представляют молекулы, в которых все атомы рас­положены вдоль одной прямой. Поскольку говорить о враще­нии вокруг этой прямой не имеет смысла, то вращательных степеней свободы в этом случае всего две, так что колебатель­ных имеется Зп — 5.

При решении механической задачи о колебаниях молекулы целесообразно с самого начала исключить из рассмотрения по­ступательные и вращательные степени свободы.

Чтобы исключить поступательное движение, надо считать равным нулю полный импульс молекулы. Поскольку это усло­вие означает неподвижность центра инерции молекулы, то его можно выразить в виде постоянства трех координат послед­него. Положив г_а = Гао + ид (где г_ао — радиус-вектор непо­движного положения равновесия а-го атома, а и_а — его откло­нение от этого положения), представим условие

Л Mate = Const s= 2 tn_aT_aQ

в виде

E"tA = 0. (24,1)

Чтобы исключить вращение молекулы, следует положить равным нулю ее полный момент импульса. Так как момент не является полной производной по времени от какой-либо функ­ции координат, то условие его исчезновения не может быть, во­обще говоря, выражено в виде равенства нулю такой функции. Однако случай малых колебаний как раз представляет исклю­чение. В самом деле, снова положив г_а = Гоо + и_а и пренебре­гая малыми величинами второго порядка по смещениям а_а, представим момент импульса молекулы в виде

^М — Tj^т« [^ГаУ<Л ~Ти^Ша 1^Га0"^а1⁼ "ЗГ Z ^m« tao"*]-

Условие его исчезновения в этом приближении можно, следо­вательно, представить в виде

2>_a[r_aoti_a] = 0 (24,2)

(начало координат может быть при этом выбрано произволь­ным образом).

Нормальные колебания молекулы могут быть классифици­рованы по характеру движения атомов в них на основании со­ображений, связанных с симметрией расположения атомов ,,(в положениях равновесия) в молекуле. Для этой цели суще­ствует общий метод, основанный на использовании теории групп; он изложен в другом томе этого курса¹). Здесь же мы рассмотрим лишь некоторые элементарные примеры.

Если все п атомов молекулы лежат в одной плоскости, то можно различать нормальные колебания, оставляющие атомы в этой плоскости, и нормальные колебания, при которых атомы выводятся из плоскости. Легко определить число тех и других. Так как всего для плоского движения имеется 2п степеней сво­боды, из которых две поступательные и одна вращательная, то число нормальных колебаний, не выводящих атомы из пло­скости, равно 2п — 3. Остальные же (Зп— 6) — (2п — 3) = = п — 3 колебательных степеней свободы отвечают колеба­ниям, выводящим атомы из плоскости.

В случае линейной молекулы можно различать продоль-, ные колебания, сохраняющие ее прямолинейную форму, и ко­лебания, выводящие атомы с прямой. Так как всего движению п частиц по линии отвечает п степеней свободы, из которых одна поступательная, то число колебаний, не выводящих атомы с прямой, равно п — 1. Поскольку же полное число колеба­тельных степеней свободы линейной молекулы есть Зп — 5, то имеется 2п — 4 колебаний, выводящих атомы с прямой. Этим колебаниям, однако, отвечают всего п — 2 различные частоты, так как каждое из таких колебаний может осуществляться двумя независимыми способами — в двух взаимно перпендику­лярных плоскостях (проходящих через ось молекулы); из со­ображений симметрии очевидно, что каждая такая пара нор­мальных колебаний имеет одинаковые частоты.

Задачи ²)

1. Определить частоты колебаний линейной трехатомной симметричной молекулы ABA (рис. 28). Предполагается, что потенциальная энергия моле­кулы зависит только от расстояний А — В и В — А и от угла ABA.

Решение. Продольные смещения атомов х_ь Хг, х$ связаны в силу (24,1) соотношением

^тл(^х1 +*з) + ^тв*2 ^{= 0}-

С его помощью исключаем х_г из функции Лагранжа продольного движения молекулы

^{l - ^ {х\+4)+^- х% - h.} _[{Xl ^_ ₄^f+_{н ^{- ;}_2П

после чего вводим новые координаты

') См. «Квантовая механика», 3-е изд., § 100.

²) Расчеты колебаний более сложных молекул можно найти в книгах: М. В. Волькенштейн, М. А. Ельяшевич, Б. И. Степанов. Коле­бания молекул.—-М.: Гостехиздат, 1949; Г. Герцберг, Колебательные и вра­щательные спектры многоатомных молекул. — М.: ИЛ, 1949.

Qa — ^х\ + ^x3i Qs — ^Xi—^хъ-

В результате получим:

4т'

¹

4т_в

-О² - -i-O² 2 ^va •

((г = 2тд-|-тв — масса молекулы). Отсюда видно, что Q_a и Q_s являются (с точностью до нормировки) нормальными координатами. Координата Q_a

2

-о-

В

а 5

Рис. 28

отвечает антисимметричному относительно середины молекулы колебанию (*! = хз\ рис. 28, а) с частотой

V ^тл^тв

Координата Q_s соответствует симметричному (xi

нию с частотой

Юл = yV^m4-

Поперечные смещения атомов у и у%, у_ъ в силу (24,1) и (24,2) связаны соотношениями

^т_А{Ух + Уг) + ^твУ2⁼'⁽⁾' ^1 = ^3

(симметричное колебание изгиба; рис. 28, е). Потенциальную энергию изгиба молекулы пишем в виде Ы²6²/2, где б — отклонение угла ABA от значения я; оно выражается через смещения согласно

б = -J [(У 1 — У 2) + (Уз — У2)]-

Выражая все смещения у\, у₂, у_ъ через б, получим функцию Лагранжа попе­речного колебания в виде

-*з, рис. 28, б) колеба-

т

откуда частота

l=^- {у\+yi) + ^ у\ - б²=а^л. ж

2 " 4ц ' * " ~Т

C0_s2=V^2fe2^/^m4^mB-