3. То же в случае постоянной силы Ро, действующей в течение ограни-ченного времени т (рис. 25).

Решение можно яайтя как в задаче 2, но еще проще воспользоваться формулой (22,10). При t > Т имеем свободные колебания вокруг положения х = 0; при этом

Т

m

[ <tf = -A- (1 - е-^шт) е^ш\

J 1ШП

квадрат же модуля | дает амплитуду согласно формуле [II^s = сРв>\ В ре­зультате находим;

а — г sin

2 '

4, То же в случае силы, действующей в течение времени от нуля до Г] по закону F = F_utjT (рис. 26).

Тпга³

Ую²Г² — 2(оГ sin а>Т + 2 (1 — cos соГ).

5. То же в случае силы, меняющейся в течение времени от нуля до Т = 2я/е> по закону F — F₀ sin mt (рис. 27). Решение. Подставив в (22,10)

F (*) «. F* sin mt = А (е^ш - е~^ш)

и проинтегрировав от нуля до Г, получим:

а — F₀n/m®*.

§ 23. Колебания систем со многими степенями свободы

Теория свободных колебаний систем с несколькими (s) сте­пенями свободы строится аналогично тому, как были рассмот­рены в § 21 одномерные колебания.

Пусть потенциальная энергия системы U как функция обоб­щенных координат qi (i = 1, 2, .... s) имеет минимум при <Ь — Яш- Вводя малые смещения

Xi = 4i — Яю

(23,1)

и разлагая по ним U с точностью до членов второго порядка, получим потенциальную энергию в виде положительно опреде­ленной квадратичной формы

ы=т ^(23>2)

>, к

где мы снова отсчитываем потенциальную энергию от ее мини­мального значения. Поскольку коэффициенты kik и ku входят в (23,2) умноженными на одну и ту же величину xiXk, то ясно, что их можно всегда считать симметричными по своим ин­дексам

В кинетической же энергии, которая имеет в общем случае вид

i, k

(см. (5,5)J, полагаем в коэффициентах <7< = ?,о и, обозначая постоянные а«(<7о) посредством т**, получаем ее в виде поло­жительно определенной квадратичной формы

ft

Коэффициенты т_1к тоже можно всегда считать симметричными по индексам

m_ik = m_ki.

Таким образом, лагранжева функция системы, совершающей свободные малые колебания:

^{L = у Yj {mikXiX}_k ^{— k,}_k^x_{^x_k^{). (23,4)}

i, к

Составим теперь уравнения движения. Для определения входящих в них производных напишем полный дифференциал функции Лагранжа

dL — у £ (m_ikXi dx_h + m_lkx_k dx_t — k_lkx_t dx_k — k_ihx_k dx_t).

i. к

Поскольку величина суммы не зависит, разумеется, от обозна­чения индексов суммирования, меняем в первом и третьем чле­нах в скобках i на k, a k на /; учитывая при этом симметрич­ность коэффициентов т_л и ki_k, получим:

dL = Yj (^mikXk dx_i — k_ikx_k dx_t).

i. к

Отсюда видно, что

Поэтому уравнения Лагранжа

£ tn_ikx_k + Ц k_ikx_k = 0. (23,5)

к к

Они представляют собой систему s\i = l, 2, ,,,, sj линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными ко­эффициентами.

По общим правилам решения таких уравнений ищем s не­известных функций Xk{t) в виде

х_к = А_кё™, (23,6)

где At, — некоторые, пока неопределенные, постоянные. Под­ставляя ,'(23,6) в систему (23,5), получаем по сокращении на _enat _систёму линейных однородных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять постоянные Л*:

Ц(-со²т_г* + ^)Л_А = 0. (23,7)

к

Для того чтобы эта система имела отличные от нуля ре­шения, должен обращаться в нуль ее определитель

|£,*-co²m,_ft| = 0. (23,8)

Уравнение (23,8)—так называемое характеристическое урав­нение— представляет собой уравнение степени s относительно «о². Оно имеет в общем случае s различных вещественных по­ложительных корней со², а= 1, 2, s (в частных случаях не-' которые из этих корней могут совпадать). Определенные таким образом величины со_а называются собственными частотами си­стемы.

Вещественность и положительность корней уравнения (23,8) заранее очевидны уже из физических соображений. Действи­тельно, наличие у со мнимой части означало бы наличие во вре­менной зависимости координат x_k (23,6) (а с ними и скоро­стей x_k) экспоненциально убывающего или экспоненциально возрастающего множителя. Но наличие такого множителя в данном случае недопустимо, так как оно привело бы к измене­нию со временем полной энергии Е= t7+. Т системы в проти­воречии с законом ее сохранения.

В том же самом можно убедиться и чисто математическим путем. Умножив уравнение (23,7) на А] и просуммировав затем по получим: откуда