§ 22. Вынужденные колебания

Перейдем к рассмотрению колебаний в системе, на которую действует некоторое переменное внешнее поле; такие колеба­ния называют вынужденными в отличие от рассмотренных в предыдущем параграфе так называемых свободных колебаний. Поскольку колебания предполагаются по-прежнему малыми, то тем самым подразумевается, что внешнее поле достаточно сла­бое, в противном случае оно могло бы вызвать слишком боль­шое смещение х.

В этом случае наряду с собственной потенциальной энергией ^llikx² система обладает еще потенциальной энергией U_e (х, t), связанной с действием внешнего поля. Разлагая этот дополни­тельный член в ряд по степеням малой величины х, получим:

U_e(x,0^U_e{O,t) + x^-\_x__o.

Первый член является функцией только от времени и потому может быть опущен в лагранжевой функции (как полная про­изводная по / от некоторой другой функции времени). Во втором члене —dUe/дх есть внешняя «сила», действующая на систему в положении равновесия и являющаяся заданной функцией времени; обозначим ее как F(t). Таким образом, в потенциаль­ной энергии появляется член — xF(t), так что функция Лагран­жа системы будет:

L = ?f--£f + xF(t). (22,1)

§22}

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

83

Соответствующее уравнение движения есть тх -f kx = F(t),

или

x + a*x=±F(f), (22,2)

где мы снова ввели частоту со свободных колебаний.

Как известно, общее решение неоднородного линейного диф­ференциального уравнения с постоянными коэффициентами по­лучается в виде суммы двух выражений: х = х₀ + Хи где Хо — общее решение однородного уравнения, а х\ — частный интеграл неоднородного уравнения. В данном случае х_й представляет со­бой рассмотренные в предыдущем параграфе свободные коле­бания.

Рассмотрим представляющий особый интерес случай, когда вынуждающая сила тоже является простой периодической функ­цией времени с некоторой частотой у:

F(t) = fcos(yt + ®. (22,3)

Частный интеграл уравнения (22,2) ищем в виде х\ = = Ъ cos (yt -f- В) с тем же периодическим множителем. Подста­новка в уравнение дает: Ъ = }/т(а²— у²); прибавляя решение однородного уравнения, получим общий интеграл в виде

х = a cos (at + а) + _{т {}J_ _у1) cos (yt + В). (22,4)

Произвольные постоянные а и а определяются из начальных условий.

Таким образом, под действием периодической вынуждающей силы система совершает движение, представляющее собой со­вокупность двух колебаний — с собственной частотой системы вис частотой вынуждающей силы у.

Решение (22,4) неприменимо в случае так называемого ре­зонанса, когда частота вынуждающей силы совпадает с соб­ственной частотой системы. Для нахождения общего решения уравнения движения в этом случае перепишем выражение ,(22,4) с соответствующим переобозначением постоянных в виде

^{х = a cos (at + а)+} _{т {}^j_ _у2) ^{[cos (yt + В) — cos (at -f В)].}

При у -у а второй член дает неопределенность вида 0/0. Рас­крывая ее по правилу Лопиталя, получим:

х = а cos (at + а) + -^1 sin (at +6). (22,5)

Таким образом, в случае резонанса амплитуда колебаний растет линейно со временем (до тех пор, пока колебания не перестанут быть малыми и вся излагаемая теория перестанет быть применимой).

Выясним еще, как выглядят малые колебания вблизи резо­нанса, когда у — со + е, где е — малая величина. Представим общее решение в комплексном виде, как

х = Ае^ш + Бе¹ <^в>+е)' = (Л + Ве^ш) е^ш. (22,6)

Так как величина Л + Ве^ш мало меняется в течение периода 2л/со множителя е^ш, то движение вблизи резонанса можно рас­сматривать как малые колебания, но с переменной амплиту­дой ').

Обозначив последнюю через С, имеем: С = | А + Ве^ш |.

Представив Л и В соответственно в виде ae^ia и be®, по­лучим:

& = а² + Ь² + 2аЬ cos (et + р - а). (22,7)

Таким образом, амплитуда колеблется периодически с часто­той е, меняясь между двумя пределами

|а-6|<С<а + &.

Это явление носит название биений.

Уравнение движения (22,2) может быть проинтегрировано и в общем виде при произвольной вынуждающей силе F{t), Это легко сделать, переписав его предварительно в виде

-jf(x + ш*) — «о {х + шх) = -i- F (/)

или

§--i<»x = ±F(t), (22,8)

где введена комплексная величина

6 = х + тх. (22,9)

Уравнение (22,8) уже не второго, а первого порядка. Без пра­вой части его решением было бы % = Ае^ш с постоянной Л. Сле­дуя общему правилу, ищем решение неоднородного уравнения в виде | = Л (/) е^ш и для функции Л (t) получаем уравнение

A(t) = ±F(t)e-™.

Интегрируя его, получим решение уравнения '(22,8) в виде

l = e^^-^F(t)e-^ d/ + lo|, (22,10)

') Меняется также «постоянный» член в фазе колебаний.

i 22J

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

85

где постоянная интегрирования %₀ представляет собой значе­ние | в момент времени / — 0. Это и есть искомое общее реше­ние; функция x(t) дается мнимой частью выражения _L(22,10) [(деленной на в)¹).

Энергия системы, совершающей вынужденные колебания, разумеется, не сохраняется; система приобретает энергию за счет источника внешней силы. Определим полную энергию, пе­редаваемую системе за все время действия силы (от —со до -т-оо), предполагая начальную энергию равной нулю. Согласно формуле (22,10) (с нижним пределом интегрирования —со вме­сто нуля и с g(—со) = 0) имеем при t-*-oo:

I6M

|2 = .

^{J F(t)e-iatdt}

(22,11)

С другой стороны, энергия системы как таковой дается выра­жением

£ = -f(*² + a>V) = f III².

Подставив сюда ||(оо)|², получим искомую передачу энергии в виде

г

^с 2т

^{J F{t)e-l<s,tdt}

(22,12)

она определяется квадратом модуля компоненты Фурье силы F{t) с частотой, равной собственной частоте системы.

В частности, если внешняя сила действует лишь в течение короткого промежутка времени (малого по сравнению с 1/ш), то можно положить ег^ш да 1. Тогда

^—оо '

Этот результат заранее очевиден: он выражает собой тот факт, что кратковременная сила сообщает системе импульс ^ F dt, не успев за это время произвести заметного смещения.

Задачи

1. Определить вынужденные колебания системы под влиянием силы F(t), если в начальный момент t = 0 система покоится в положении равновесия (х = 0, х = 0) для случаев

а) F = coast = F₀.

') При этом, разумеется, сила F[l). должна быть написана в веществен­ном виде.

Ответ: х=-

(1 — cos at); действие постоянной силы приводит к

смещению положения равновесия, вокруг которого происходят колебания.

б) F = at,

Ответ: х =—{®t — sinvat).

в) F = F_ee~^at.

/я («в²

г) /'==F₀e-^a/cosfi/.

Ответ: х

г) F-

Ответ

«__ (_е-«* _ _cos fflf + -1 _Si_n «А.

+ a²) Ч © У

^{J — (со2 + a2 — В2) cos at +}

m [(со² + a² - В²)² + 4a²B²]

+ ^ (ю² + a² + B²) sin at + e~^at [(со² + a² - B²) cos fit — 2aB sin 6/] }

(при решении удобно писать силу в комплексном виде F = F₀e^!'~^a+^ⁱ).

2. Определить конечную амплитуду колебаний системы после действия внешней силы, меняющейся по закону F = 0 при t < О, F = Fot/T при

О < t <Т, F — F₀ при f > Т (рис. 24); до момента / = О система покоится в положении равновесия.

Т

Рис 25

Решение. В интервале времени 0 < I < Г колебания, удовлетворяю­щие начальному условию, имеют вид

х — ■

га?'»³

При t> Т ищем решение в виде

{at — sin at).

х = Ci cos со {< — Г) -4- c_s sin ra (i — Г) -4- _m(jp ■ sin co7\ c₂ = —^г-г (I — cos cof)-

Из условий непрерывности ui при f = Г находим

^Ci-~lW^sm(uT'

При этом амплитуда колебаний

2F₀ . шГ

=т—г Sin —=—»

тГш³ 2

Отметим, что она тем меньше, чем медленнее «включается» сила F₀ (т. е. чем больше 7").