§ 20. Рассеяние под малыми углами

Вычисление эффективного сечения значительно упрощается, если рассматривать лишь те столкновения, которые происходят на больших прицельных расстояниях, где поле U является сла­бым, так что углы отклонения соответственно малы. При этом вычисление можно производить сразу в лабораторной системе отсчета, не вводя систему центра инерции.

Выберем ось х по направлению первоначального импульса рассеиваемых частиц (частицы т{), а плоскость ху — в плоско­сти рассеяния. Обозначив посредством р{ импульс частицы поСле рассеяния, имеем очевидное равенство

sin 9,= p'Jp'r

Для малых отклонений можно приближенно заменить sin 81 на 0i, а в знаменателе — заменить р\ первоначальным импуль­сом р\ = tri\v_x\

0, ~ p'Jm^. (20,1)

Далее, поскольку р_д — F_p, то полное приращение импульса вдоль оси у

оо'

Р»= \ ^F*^dt' (20,2)

При этом сила:

р dU dU дг dU у _t

^tV ду dr <3# dr г '

Поскольку интеграл (20,2) уже содержит малую величину U, то при его вычислении можно в том же приближении счи­тать, что частица вовсе не отклоняется от своего первоначаль­ного пути, т. е. движется прямолинейно (вдоль прямой у = р) и равномерно (со скоростью в»), Соответственно этому пола­гаем в (20,2)

_ dU р ,^ dx

У dr г ' t)_M

и получаем:

оо

, р f dU dx

Наконец, от интегрирования no dx перейдем к интегриро­ванию по dr. Поскольку для прямолинейного пути г² = х² + р², то при изменении х от —оо до +оо г изменяется от оо до р и затем снова до со. Поэтому интеграл по dx перейдет в удвоен­ный интеграл по dr от р до со, причем dx заменяется на

. г dr

dx-

Окончательно получим для угла рассеяния (20,1) следую­щее выражение'):

m^i, J dr Vr²-P³

чем и определяется искомая зависимость 0i от р при слабом отклонении. Эффективное сечение рассеяния (в л-системе) по­лучается по такой же формуле, как (18,8) (с 0i вместо %), причем sin 0i можно и здесь заменить на 0i:

') Если произвести весь изложенный вывод в ц-системе, то мы получим для % такое же выражение с т вместо т₁ в соответствии с тем, что малые углы 01 и х должны быть связаны согласно (17,4) соотношением

Q -— 1 л/

mi + т%

Задачи

1. Получить формулу (20,3) из формулы (18,4).

Решение. С целью избежать ниже фиктивно расходящихся интегралов, представим формулу (18,4) в виде

до J V ' m*L

CP . ^rmln

причем в качестве верхнего предела пишем большую конечную величину R, имея в виду перейти затем к пределу Я -»- оо. Ввиду малости U разлагаем корень по степеням U, а г_т\п заменяем приближенно на р:

R

U (г) dr

Фо

Р г²

Первый интеграл после перехода к пределу R -*■ оо дает я/2. Второй же ин­теграл предварительно преобразуем по частям и получаем выражение

о д f У г² - P² dU , 2р f Х = я-2ф₀ = 2— \ — — dr = 1- \ — =

²-р²

эквивалентное формуле (20,3).

2. Определить эффективное сечение рассеяния на малые углы в полб U = а/г" (п > 0).

Решение. Согласно (20,3) имеем!

О 2pct/x f dr

Подстановкой а^г/г^г <= и интеграл приводится к В-интегралу Эйлера и выра­жается через Г-функции

Г fⁿ+M „ 2а Уя V 2 )

'"V-P' _Г(|) '

Выражая отсюда р через 6t и подставляя в (20,4), получим:

г

_■i

_(f) ^mi_°"