§ 19. Формула Резерфорда

Одно из важнейших применений полученных выше фор­мул— рассеяние заряженных частиц в кулоновском поле.

Положив в (18,4) U = а/г и производя элементарное ин­тегрирование, получим:

a/mv^p

Фо = arccos —■ ,

Vl + (a/mvlpf

откуда

или, вводя согласно (18,1) ф₀ = (я —

P* = 4rctg²-£. (19,1)

m'vl " 2

Дифференцируя это выражение по % и подставляя в (18 7) или в (18,8), получим:

или

cos ~г

rf<r = nf-VY \йг (19,2)

/ а \2 do

Это так называемая формула Резерфорда. Отметим, что эф­фективное сечение не зависит от знака а, так что полученный результат относится в равной степени к кулоновскому полю отталкивания и притяжения.

Формула (19,3) дает эффективное сечение в системе отсчета, в которой покоится центр инерции сталкивающихся частиц. Преобразование к лабораторной системе производится с по­мощью- формул (17,4). Для частиц, первоначально покоивших­ся, подставляя % = я—-28₂ в (19,2), получим:

\mvlj cos³e₂ Kmv^J cos³8₂

Для падающих же частиц преобразование приводит в общем случае к весьма громоздкой формуле. Отметим лишь два част­ных случая.

Если масса т₂ рассеивающей частицы велика по сравнению с массой mi рассеиваемой частицы, то % « 6i, а т « mi, так что

^s,n -jf"

где £j = «,«^/2 — энергия падающей частицы.

Если массы обеих частиц одинаковы (mi ='m₂, m = mi/2), то согласно (17,9) х = 28i, и подстановка в (19,2) дает:

Если не только массы обеих частиц равны, но эти частицы во­обще тождественны, то не имеет смысла различать после рас­сеяния первоначально двигавшиеся частицы от первоначально покоившихся. Общее эффективное сечение для всех частиц мы получим, складывая dai и da₂ и заменяя 0i и 0₂ общим значе­нием 6:

^-=(i)4lu^+7ok)^cos0do- <».7>

Вернемся снова к общей формуле (19,2) и определим с ее помощью распределение рассеянных частиц по отношению к теряемой ими в результате столкновения энергии. При произ­вольном соотношении между массами рассеиваемой (mi)' и рас­сеивающей (ш₂) частиц, приобретаемая последней скорость вы­ражается через угол рассеяния в ц-системе посредством

(см. (17,5)). Соответственно, приобретаемая этой частицей, а тем самым и теряемая частицей т\ энергия равна

m₂v₂ 2М* %

Выразив отсюда sin-|- через в и подставив в (19,2), получаем:

da = 2я-

(19,8)

Эта формула отвечает на поставленный вопрос, определяя эф­фективное сечение как функцию от потери энергии е; последняя пробегает при этом значения от нуля до e_max = гт²»^

Задачи

I. Найти эффективное сечение рассеяния в поле V = а/г' (а > 0). Решение. Угол отклонения:

Эффективное сечение

da =

л/1 + 2а/трЧ_х J 2я*а я — х do

tnvL х^я-х)² sinx'

2. Найти эффективное сечение рассеяния сферической «потенциальной ямой» радиуса а и «глубины» U_a (т. е. полем V == 0 при г > a, U = —С₀ при г < а).

Решение. Прямолинейная траектория частицы «преломляется» при входе в яму и при выходе из нее. Согласно задаче к § 7 углы падения а и преломления р (рис. 21) связаны соотношением

sm

a/sin f> = n, n = -\J\ -f гУо/шс^ .

^{Угол отклонения % — 2(a — В). Поэтому имеем:}

sln₍«-x/2)_=c(v__ct g^n^l, sin a 2 2 п-

Исключив а из этого равенства и очевидного из рисунка соотношения

a sin а = р,

получим связь между р и % в виде

п² sia²^-

р² = а²

п² + 1 — 2n cos ^Х

2

Наконец, дифференцируя это равенство, получим эффективное сечение

(„со, %-!)(/,-со. |.)

"О = -; «О.

4cos-|- И+я² —2«cos-|-J

Угол х меняется в пределах от нуля (при р = 0) до значения %_Шах (при р — а), определяемого из

„„„ Хтах 1

Полное эффективное сечение, получающееся интегрированием da по всем углам внутри конуса % < %в*х, равно, разумеется, площади геометрического сечения па².