4) Если функция р'(х) многозначна, то надо, очевидно, взять сумму таких выражений по всем ветвям этой функции,

Подставляя в (18,7) или (18,8), получим;

. па' , . а' . da = —sin %а% — — do,

(1)

т. е. в ц-системе рассеяние изотропно. Интегрируя da по всем углам, найдем, что полное сечение а = псР в соответствий с тем, что прицельная площадь, в которую должна попасть частица для того, чтобы вообще рассеяться, есть площадь сечения шарика.

Для перехода к л-системе надо выразить х через 6ч согласно (17,4). Вычисления полностью аналогичны произведенным в задаче 2 § 16 (ввиду формального сходства формул (17,4) и (16,5)). При mi < m₂ (mi — масса частиц, m₂ — масса шариков) получим:

„2

1 + cos 29_t

dai =-

2—cosOi + ■ m₂

_V--4

V mi

sin² 6,

do i

(dot = 2я sin Q_{dQi). Если же /п₂ < m_it то

1 +-4 cos 29,

da i —­

doi.

sin² 9,

При mi = m₂ имеем:

dai = a²1 cos 9, | doi.

что можно получить и прямой подстановкой х = 261 (согласно (17,9)) в (1), Для первоначально покоившихся шариков имеем всегда % = л — 29г, и подстановка в (1) дает:

da₂ = a²1 cos 9₂1 do₂.

2. Для того же случая выразить эффективное сечение как функцию энер­гии е, теряемой рассеиваемыми частицами.

Решение. Энергия, теряемая частицей mi, совпадает с энергией, при Обретаемой частицей /п₂. Согласно (17,5) и (17,7) имеем:

е = е;

2т²т₂

(mi +т₂)² -°°^Sta2 2

^!8ma_x^slI1'-|-

откуда

rfe = V2e_maxsin х d%,

и, подставляя в формулу (1) задачи 1, получим:

.„ ₂ de da = па* .

Распределение рассеянных частиц по значениям е оказывается однородным во всем интервале е от нуля до е_Шах.

3. Как зависит эффективное сечение от скорости w«. Частиц при рассея­нии в поле u оо /—п?

Решение. Согласно (10,3), если потенциальная энергия есть однород-ная функция порядка k = —п, то для подобных траекторий р <» v~²^ⁿ или

Р = »-²"7(_Х)

(углы отклонения % для подобных траекторий одинаковы). Подставляя в (18,6), найдем, что

Do°ovZmdo.

4. Определить эффективное сечение для «падения» частиц на центр поля U = —а/г».

Решение, «Падают» на центр те частицы, для которых выполняется условие 2а > тр²^ (см. (14,11)), т.е. у которых прицельное расстояние не

превышает значения р_шах = '\/2a/mv²_a. Поэтому искомое эффективное се­чение

о 2яа

5. То же в поле V = —a/rⁿ {п > 2, а > 0).

1

Решение. Зависимость эффектив­ной потенциальной энергии

U

эфф ^:

9 9

2г^а

от т имеет вид, изображенный на рис. 20 с максимальным значением

(^эфф)п

_в._£=й£(-!*)~.

2 \ an J

«Падают» на центр те частицы, у которых Ue < Е. Определяя ра,_м из усло­вия Uo — Е, получим:

2-п ²

/ а \ ^п

г = я«<« — 2) " ( —S- J

6. Определить эффективное сечение для падения частиц (с массами ш\) на поверхность сферического тела (с массой шг и радиусом R), к которой они притягиваются по закону Ньютона.

Решение. Условие падения заключается в неравенстве Гшт < R, где Гтм — ближайшая к центру сферы точка траектории частицы. Наибольшее допустимое значение р определяется условием /Ып = R, что сводится к ре­шению уравнения U₃^{R) = Е или

2R² R 2 '

причем а = ymitnz \у — гравитационная постоянная), и мы положила т « m_t, считая, что т₂ » m_v Находя отсюда р²_тах, получим:

При о» оо эффективное сечение стремится, естественно, к геометрической площади сечения сферы.

7. Восстановить вид рассеивающего поля U(r) по заданной зависимости эффективного сечения от угла рассеяния при заданной энергии Е; предпола­гается, что U(г) — монотонно убывающая функция г (поле⁴ отталкивания), причем U(Q) > Е, U(°o) = 0. (О. Б. Фирсов, 1953.)

Решение. Интегрирование da по углу рассеяния определяет согласно формуле

п х

квадрат прицельного расстояния, так что функцию р(х) (а с ней и х(р)) тоже можно считать заданной. Вводим обозначения:

s = l//-, х=1/р², w = Vl - UIE- ⁽²⁾

Тогда формулы (18,1), (18,2) запишутся в виде

2 J л/хтв*

о ^¥

Д-ХМ [ ds 5

где So(x) — корень уравнения

(3)

xw² (s₀) - s²_a = 0.

Уравнение (3) — интегральное уравнение для функции w(s); его можно решить методом, аналогичным использованному в § 12. Разделив обе сто­роны (3) на Va —* и проинтегрировав по dx в пределах от нуля до а, найдем:

а «о(ж)

ds dx

Va —* J J *J(xw^z — s²) (a — *)

С " - X (х) dx f f J 2 Va — x J J

So (a) a so (a)

J V(*a>² - s²) (a - *) ^{_ Я} J "й" 0 x (so) ^{v v} '^v '

я Va — ^ Va — * dx — л ^

или, интегрируя по частям в левой стороне равенства:

«о (a)

ds w

о о

Полученное соотношение дифференцируем по а, после чего вместо So(a) пи­шем просто 5, соответственно чему заменяем а на в²/ш²; написав равенство в дифференциалах, получим:

s'/w"

\wj 2 \w*J J /_s2 u>

⁰ Л/1^-^х

или

Это уравнение интегрируется непосредственно, причем в правой стороне еле* дует изменить порядок интегрирования по dx и d(s/w). Учитывая, что при s = О (т.е. г->-оо) должно быть w = 1 (т.е. £/ = 0), и возвращаясь к ис­ходным переменным г и р, получим окончательный результат (в двух экви­валентных формах):

w

= ехр { ± [ Arch -Р- • *L dp ) = exp ( —L f * <P> ^rfP ). ₍₄)

Этой формулой определяется в неявном виде зависимость w(r) (а тем самым и U(г)) при всех г > r_min, т.е. в той области значений г, которая фактиче­ски проходится рассеиваемой частицей с заданной энергией Е.