. Бяаут2 бяу

Глава IV

СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ

§ 16. Распад частиц

Уже сами по себе законы сохранения импульса и энергии позволяют сделать во многих случаях ряд важных заключений о свойствах различных механических процессов. При этом осо­бенно существенно то обстоятельство, что эти свойства совер­шенно не зависят от конкретного рода взаимодействия между участвующими в процессе чаетицамтг.

Начнем с процесса, представляющего собой «самопроизволь­ный» (т. е. без воздействия внешних сил) распад частицы на две «составные части», т. е. на две другие частицы, движущиеся после распада независимо друг от друга.

Наиболее просто этот процесс выглядит при рассмотрении его в системе отсчета, в которой частица (до распада) покои­лась. В силу закона сохранения импульса сумма импульсов обеих образовавшихся в результате распада частиц тоже равна нулю, т. е. частицы разлетаются с равными и противоположно направленными импульсами. Их общее абсолютное значение (обозначим его ро) определяется законом сохранения энергии

2 2

с _р ■ ^р0 г р ■ ^ро ■Свк ^ШТ _2mi "1" ^п2вн Т _2гп₂ '

где т\ и т₂— массы частиц, Ei_BH и Е_2вя— их внутренние энер­гии, а Е_вн — внутренняя энергия первоначальной (распадаю­щейся) частицы. Обозначим посредством е «энергию распада», т. е. разность

^ = Е_ва —Е_1ва~ Е_2вн (16,1)

(очевидно, что эта величина должна быть положительной для того, чтобы распад был вообще возможен). Тогда имеем:

_е=:А(±.₊ЛЛ^А (ад

^е 2 V mi ' т₂ ) 2т '

чем и определяется р₀ (т — приведенная масса обеих частиц); скорости же частиц V\o = Ра/т\, v₂₀ — ро/т₂.

Перейдем теперь к системе отсчета, в которой первичная частица движется до распада со скоростью V. Эту систему от­счета обычно называют лабораторной (или л-системой) в про­тйвоположность «системе центра инерции» (или ц-системе), в которой полный импульс равен нулю. Рассмотрим одну из рас-падных частиц и пусть v и v₀ — ее скорости соответственно в л-и ^-системе. Ив очевидного равенства v = V -f- Vo, или v — V = = Vo, имеем:

v² -\-V²~ 2oV cos В = oj,' < 16,3)

где 0—угол вылета частицы по отношению к направлению ско­рости V. Этим уравнением определяется зависимость скорости распад ной частицы от направления ее вылета в л-системе. Она может быть представлена графически с помощью диаграммы,

a v<d₀ 5 ' v>v₀

Рис. 14

изображенной на рис. 14. Скорость v дается вектором, прове­денным в какую-либо точку окружности радиуса щ ') из точки А, отстоящей на расстояние V от центра окружности. Случаям V < v₀ и V > v₀ отвечают соответственно рис. 14, а и б. В пер­вом случае частица может вылететь под любым углом в. Во втором же случае частица может вылететь только вперед, под углом в, не превышающим значения 9тах, даваемого равенством

stae^^Ce/V (16,4)

(направление касательной к окружности, проведенной из точ­ки Л).

Связь между углами вылета 0 и ва в л- н ^-системах оче­видна из той же диаграммы и дается формулой

_t Cosine. ₍₁₆₅

^& cos 8₀ + V ⁴ > '

') Точнее —любую точку сферы радиуса но, диаметральным сечением которой является изображенная на рис. 14 окружность.

Если решить это уравнение относительно cos во, то после эле­ментарных преобразований получим:

cos 9₀ = —— sin²8± cos9 _л 1\ - -!— sir;² 9. (16,6) v₀ V ^vo

При v₀ > V связь между 0_О и 0 однозначна, как это видно из рис. 14, а. В формуле (16,6) надо при этом выбрать знак + перед корнем (так, чтобы было 0о = О при 0 = 0). Если же vo < V, то связь между 0_О и 0 неоднозначна: каждому значе­нию 0 отвечают два значения 0о, соответствующие (на рис. 14,6) векторам v₀, проведенным из центра окружности в точки В или С; им отвечают два знака перед корнем в (16,6).

В физических применениях приходится обычно иметь дело с распадом не одной, а многих одинаковых частиц, в связи с чем возникают вопросы о распределении распадных частиц по направлениям, энергиям и т. п. При этом мы будем предпола­гать, что первичные частицы ориентированы в пространстве хао­тическим, т. е. в среднем изотропным образом. ,

В ц-системе ответ на эти вопросы тривиален: все распадные частицы (одинакового рода) имеют одинаковую энергию, а их распределение по направлениям вылета изотропно. Последнее утверждение связано со сделанным предположением о хаотич­ности ориентации первичных частиц. Оно означает, что доля числа частиц, летящих в элементе телесного угла doo, пропор­циональна величине этого элемента, т. е. равна doo/in. Распре­деление по углам 0о получим отсюда, подставим doo = = 2л sin 0о d%, т. е.

7₂sinO_od0o. (16,7)

Распределения в л-системе получаются путем соответствую­щего преобразования этого выражения. Определим, например, распределение по кинетической энергии в л-системе. Возводя в квадрат равенство v = Vo -f- V, находим:

и⁸ =05+ V² + 2v₀Vcos%,

откуда

dcos% = d(v²)J2v₀V.

Вводя сюда кинетическую энергию Т = mv²/2' (где m есть т\ или т₂, смотря по тому, какого рода распадные частицы мы рассматриваем) и подставляя в (16,7), получим искомое рас­пределение

dT/2mv₀V. (16,8)

Кинетическая энергия может пробегать значения от наименьше­го Tata = y («о - V)² до наибольшего Г_тах = -у^о + V)². В этом Интервале частицы распределены согласно (16,8) однородно,

При распаде частицы на более чем две части законы сохра­нения импульса и энергии оставляют, естественно, значительно больший произвол в скоростях и направлениях"распадных ча­стиц, чем при распаде на две части. В частности, энергии разлетающихся частиц в ц-системе отнюдь не имеют одного определенного значения. Существует, однако, верхний предел кинетической энергии, которую может при этом унести с собой каждая из распадных частиц.

Для определения этого предела будем рассматривать сово­купность всех распадных частиц за исключением одной задан­ной (с массой mi) как одну систему, ее «внутреннюю» энергию обозначим посредством £вн- Тогда кинетическая энергия ча­стицы mi будет согласно (16,1), (16,2):

р² М — т,

^1° ~ ~2тТ ~ М (^вн ~~ ^1вн ^{— £}_вн)

(М— масса первичной частицы). Очевидно, что T_iQ будет иметь наибольшее возможное значение, когда Е'_вн минимальна. Для этого надо, чтобы все распадные частицы за исключением ча­стицы mi двигались с одной и той же скоростью; тогда Е'_я сводится просто к сумме их внутренних энергий, а разность Е_вп — Е_1вя — Е'_ш есть энергия распада е. Таким образом,

. (Г,о)_тах = ^4т^-е. (16,9)

Задачи

1. Найти связь между углами вылета 01, 82 (в л-системе) распадных ча- стиц при распаде на две частицы.

Решен, и е. В ц-системе углы вылета обеих частиц связаны посредством е,₀ = я —иго. Обозначая 6io просто как во и применяя формулу (16,5) к каждой из двух частиц, пишем:

V + v,_a cos 6₀ = о₁₀ sin 8₀ ctg 8,,

^{V — О20 cos в}₀ ^{== v}₂₀ ^{sin в}₀ ^{ctg в}₂^.

Из этих двух равенств надо исключить во. Для этого определяем сначала из них cos во и sin во, после чего составляем сумму cos² во + sin² во = 1. Учиты­вая также, что fio/fao = тг\т^ и используя (16,2), найдем в результате следующее уравнение:

— sin² в₂ + -^±- sin² Ъх - 2 sin 8, sin 6₂ cos (8, + 6₂) =

Ш\ till

⁼ I ,^2g ч ,₇₂ sin² (81 + 8₂).

(т, + т₂) V^{2 v} "

2. Найти распределение распадных частиц по направлениям вылета в л-системе.

Решение. При vо > V подставляем (16,6) со знаком плюс перед кор­нем в (16,7) и получаем искомое распределение в виде

V²

1 + -Г-cos 29

sin 0 dB

2 — cos 9 +

(о < e < я).

5- sin² 9

При vo < V надо учитывать обе возможные связи 0_О с 9. Поскольку при увеличении 9 одно из соответствующих ему значений 9_в растет, а другое убывает, то надо взять разность (а не сумму) выражений d cos 9» с двумя знаками перед корнем в (16,6). В результате получим:

V²

1 + cos 2«

. в cf9

(0<9<9_max).

л/¹ —Г ^sm

V ^vo

3. Определить интервал значений, которые может иметь угол 8 между направлениями вылета обеих ^аспадных частиц в л-системе.

Р е ш еав е. Угод 8 есть сумма 9i + углов, определяющихся формулой (16,5). (см. задачу 1); проще всего вычисляется тангенс этого угла. Исследо­вание экстремумов получающегося выражения приводит к следующим интер­валам возможных значений § в зависимости от относительной величины V и Щч, »jo (для определенности полагаем всегда v_zo > «io):

Я — 8m < 0 < Я, 0<9<&_m,

причем значение 9_т дается формулой

О<0<я, если v_i0<V <v_m; если V < Oi₀; если; V > v₂₀,

sin 9m =

V ("ю + »2о) V²-\-v_iuv₂₀