2. Проинтегрировать уравнения движения материальной точки, движущей­ся по поверхности конуса (с углом 2а при вершине), расположенного верти­кально, вершиной вниз, в поле тяжести.

Решение. В сферических координатах с началом в вершине конуса и полярной осью, направленной вертикально, вверх, функция Лагранжа

L =-~ (г² + г² sin² а • ф²) — mgr cos а.

Координата Ф — циклическая, так что снова сохраняется

Mg = тг^г sin² а • ф.

Энергия

тг* ^м1

Тем же способом, что и в задаче 1, находим:

dr

M_z Г dr

sin²a^2m J r²^E — U,

ФФ (r)

Ml

^'^r)°-2_W»_Sin'. + mgr cos a.

Условие £ = и_Яфф(г) представляет собой (при М_г Ф 0) кубическое урав­нение для г, имеющее два положительных Корня; ими определяется положе­ние двух горизонтальных окружностей на поверхности конуса, между кото­рыми заключена траектория.

3 Проинтегрировать уравнения движения плоского маятника, точка под­веса которого (с массой mt в ней) способна совершать движение в горизон­тальном направлении (см. Рис. 2).

Решение. В найденной в задаче 2 § 5 функции Лагранжа координа­та х — циклическая. Поэтому сохраняется обобщенный импульс Р_х, совпа­дающий с горизонтальной компонентой полного импульса системы:

Рх = (nil + ^тг) * + «1з'Ф cos ф =■» const. (1)

Всегда можно считать систему, как целое, покоящейся; тогда const = 0, и интегрирование уравнения (1) дает соотношение

(m_t + nti) х + т_г1 sin ф = const, (2)

выражающее собой неподвижность центра инерции системы в горизонтальном направлении. Используя (1), получим энергию в виде

Отсюда

('- т!+т_г ^С°⁵' ^ф) ~^т>^{81 C0S ф}- ⁽³⁾

V 2(m_l + m_!) J V E + ntigl cos ф

Выразив координаты х% =я= х + / sin ф, уг — l cos ф частицы т% о по­мощью (2) через ф, найдем, что траектория этой частицы представляет еобой отрезок эллипса с горизонтальной полуосью tai/(mi + т₂) и вертикальной /. При ту -*• оо мы возвращаемся к обычному математическому маятнику, ка­чающемуся по дуге окружности.

§ 15. Кеплерова задача

Важнейшим случаем центральных полей являются поля, в которых потенциальная энергия обратно пропорциональна г и соответственно силы обратно пропорциональны г². Сюда отно­сятся ньютоновские поля тяготения и кулоновские электроста­тические поля; первые, как известно, имеют характер притяже­ния, а вторые могут быть как полями притяжения, так и от­талкивания.

Рассмотрим сначала поле притяжения, в котором

U = -f (15,1)

с положительной постоянной а. График «эффективной» потен­циальной энергии

^{U^^-^y + ^t (15,2)}

имеет вид, изображенный на рис. 10. При г-»-0 она обращает­ся в -{-оо, а при г-»-со стремится к нулю со стороны отрица­тельных значений; при г — М²/ат она имеет минимум, равный

(^эфф)тт = -а²т/2Ж (15,3)

Из этого графика сразу очевидно, что при Е > О движение ча­стицы будет инфинитным, а при Е < 0 — финитным.

Форма траектории получается с помощью общей формулы (14,7). Подставляя в нее U = —а/г и производя элементарное интегрирование, получим:

М та

Ф = arccos ■ . „ „ » + const.

2ЕМ²

_V

1 +

Выбирая начало отсчета угла ф так, чтобы const = 0, и вводя обозначения

_ м²

(15,4)

перепишем формулу для траектории в виде

р/г = 1 + £ cos ф. (15,5)

Это есть уравнение конического сечения с фокусом в начале координат; р и е — так называемые параметр и эксцентриситет орбиты. Сделанный нами выбор начала отсчета ф заключается,

как видно из (15,5), в том, что точка с ф = 0 является ближай­шей к центру (так называемый перигелий орбиты).

Рис. 11

В эквивалентной задаче двух тел, взаимодействующих по закону (15,1), орбита каждой из частиц тоже представляет со­бой коническое сечение с фокусом в их общем центре инерции.

Из (15,4) видно, что при Е < 0 эксцентриситет е < 1, т. е, орбита является эллипсом (рис. 11) и движение финитно в со­ответствии со сказанным в начале параграфа. Согласно извест­ным формулам аналитической геометрии большая и малая по­луоси эллипса

Р а . р М пс с\

Наименьшее допустимое значение энергии совпадает с (15,3), при этом е — 0, т. е. эллипс обращается в окружность. Отме­тим, что большая полуось эллипса зависит только от энергии (но не от момента) частицы. Наименьшее и наибольшее рас­стояния до центра поля (фокуса эллипса) равны

rmin = iTp7 = a(l — е),

= а(1+е). (15,7)

Эти выражения (с а и е из (15,6) и (15,4)) можно было бы, конечно, получить и непосредственно как корни уравнения и_}фф(г) = Е.

Время обращения по эллиптической орбите, т. е. период дви­жения Т, удобно определить с помощью закона сохранения мо­мента в форме «интеграла площадей» (14,3), Интегрируя это равенство по времени от нуля до Т, получим:

2tnf = TM,

где f — площадь орбиты. Для эллипса f = nab, и с помощью формул (15,6) находим:

Т = 2па^ш л/Тп/а = па д/т/2|£|³. (15,8)

Тот факт, что квадрат периода должен быть пропорционален Кубу линейных размеров орбиты, был указан уже в § 10. От­метим также, что период зависит только от энергии частицы.

_т = а(е-1), (15,9)

При Е ^ 0 движение инфинитно. Ес­ли Е > 0, то эксцентриситет е > 1, т. е. траектория является гиперболой, огибаю­щей центр поля (фокус), как показано на рис. 12. Расстояние перигелия от центра

^rrain ^:

где

р .

2Е

—- «полуось» гиперболы.

В случае же Е = 0 эксцентриситет е = 1, т. е. частица дви­жется по параболе, с расстоянием перигелия r_min = р/2. Этот случай осуществляется, если частица начинает свое движение из состояния покоя на бесконечности.

Зависимость координат частицы от времени при движении по орбите может быть найдена с помощью общей формулы :[(14,6). Она может быть представлена в удобной параметриче­ском виде следующим образом.

Рассмотрим сначала эллиптические орбиты. Вводя а и е со­гласно (15,4), (15,6), напишем интеграл (14,6), определяющий время, в виде

rdr

t =±± л J ^т f - ^rdr , . . ^ _л /Е£ Г „

V 2[£| J . / __а , а „ М¹ V _а J Уа%² — (г — а)²*

С помощью естественной подстановки

г — а = — ае cos 1 этот интеграл приводится к виду

^{/ = J (1 - е cos g) ='д/-^г ^ ~ е sin g) + const}

Выбирая начало отсчета времени так, чтобы обратить const в нуль, получим окончательно следующее параметрическое представление зависимости г от t:

r = a(l-ecos£), V"^~^(l~^{еsin l) (I5}'^I0)

(в момент / = 0 частица находится в перигелии). Через тот же параметр % можно выразить и декартовы координаты частицы x = rcos(p, y — rs'mq> (оси х и у направлены соответственно по большой и малой полуосям эллипса). Из < 15.5) н (15.10) "имеем:

ех=*р — r = a(l— е²) — а{\ — ecos|) = ae(cos| — е),

а у найдем, как Уг² —г². Окончательно:

х = а(cos 1-е), z/ а У1 — е² sin |. <1б, 11)

Полному обороту по эллипсу соответствует изменение парамет­ра g от нуля до 2п.

Совершенно аналогичные вычисления для гиперболических траекторий приводят к результату

r = fl(echg-l), t=\P^r(e shg-S),

V « (15,12)

х = а (е — ch I), у = а Уе² — 1 sh g,

где параметр £ пробегает значения от —оо до +°°-

Обратимся к движению в поле отталкивания, в котором

U = a/r (15,13)

(а > 0). В этом случае эффективная потенциальная энергия

II « | №

монотонно убывает от -f-oo до нуля при изменении г от нуля до о». Энергия частицы может быть только положительной в

движение всегда инфинитно. Все вычисления для этого случая в точности аналогичны произведенным выше. Траектория яв­ляется гиперболой

£ = --1+есозФ (15,14)

£--=а(е+1). (15,15)

(р и е определяются прежними формулами (15,4)). Она про­ходит мимо центра поля, как пока­зано на рис. 13. Расстояние пери­гелия

^rmln '

Зависимость от времени дается па­раметрическими уравнениями

г — а{есЫ + 1),

'=V^T^(esh^' (15,16) х = a (ch Е + е), у— а л/в³ — 1 sh £.

В заключение параграфа укажем, что при движении в поле V = а/г (с любым знаком «) имеется интеграл движения, спе­цифический именно для этого поля. Легко проверить непосред­ственным вычислением, что величина

[vMJ + ат/г = const. (15,17)

ar (vr)

av г

Действительно, ее полная производная по времени равна [vM]+-

или, подставив М = m [rv]:

mr (vv) — my (rv) -f —

положив здесь согласно уравнениям движения mv = ar/r³, мы найдем, что это выражение обращается в нуль.

Сохраняющийся вектор (15,17). направлен вдоль большой оси от фокуса к перигелию, а по величине равен ае. В этом проще всего можно убедиться, рассмотрев его значение в пери­гелии.

Подчеркнем, что интеграл движения (15,17), как и инте­гралы М и Е, является однозначной, функцией состояния (поло­жения и скорости) частицы. Мы увидим в § 50, что появление такого дополнительного однозначного интеграла связано с так называемым вырождением движения.

Задачи

1. Найти зависимость координат частицы от времени при движении в поле U — —а/г с энергией Е = 0 (по параболе). Решение. В интеграле

_{- V-'-4}

V т т?

делаем подстановку

-^о + п²)=4-о+п^г)

2та ⁴ ' ' ' 2

и в результате получаем следующее параметрическое представление искомой зависимости:

*=-|-(1 -п²), У*=рГ[.

Параметр г) пробегает значения от —оо до +оо.

2. Проинтегрировать уравнения движения материальной точки в централь- ном поле U = —а/г², а > 0.

Решение. По формулам (14,6), (14,7) с соответствующим выбором на­чала отсчета ф в / находим:

_Рчп 1 _л I 2т~Ё Г _ж Г. 2п1а~\

а)п_Ри£>0, —>« -°А/_М,__2м соз[_Ф д/1—^J,

с ^ _п М² ^ 1 _ I 2тЕ . Г / ~2та 71

б) при Е>0, ^ <а — = Д/_2та__м2 sh [_Ф д/_^-_ lj,

в) при Е < 0, _ш < а — = д/ch [ф д/- 1J. Во всех трех случаях

В случаях б) и в) частица «падает» на центр по траектории, приближаю­щейся к началу координат при ф -»■ °°. Падение с заданного расстояния г происходит за конечное время, равное

3. При добавлении к потенциальной энергии U — —а/г малой добавки бЩг) траектории финитного движения перестают быть замкнутыми и при каждом обороте перигелий орбиты смещается на малую угловую величину бф. Определить бф для случаев a) 6U .= В//-², б) 6U = у/г³.

Решение. При изменении г от r_mi_n до г_тгх и снова до r_min угол бф меняется на величину, даваемую формулой (14,10), которую представим в виде

шал

Дф

'mln

(с целью избежать ниже фиктивно расходящихся интегралов]. Положим U = —а/г 4 St/ и разложим подынтегральное значение по степеням SU; ну­левой члеь разложения дает 2я, а член первого порядка — искомое смеше­ние б<р:

^rmax / ^п ч

где от интегрирования по dr мы перешли к интегрированию по dy вдоль траектории «невозмущенного» движения.

В случае а) интегрирование в (1) тривиалььо и дает:

^ 2яРт 2яР

Л4² ар

Jp — параметр невозмущенного эллипса из (15,4)). В случае б) г^Ы) = у/г, и, взяв \\г из (15,5), получим: