§ 13. Приведенная масса

Полное решение в общем виде допускает чрезвычайно важ­ная задача о движении системы, состоящей всего из двух взаи­модействующих частиц (задача двух тел).

В качестве предварительного шага к решению этой задачи покажем, каким образом она может быть существенно упро­щена путем разложения движения системы на< движение центра инерции и движения точек относительно последнего.

Потенциальная энергия взаимодействия двух частиц зависит лишь от расстояния между ними, т. е. от абсолютной величины разности их радиус-векторов. Поэтому лагранжева функция та­кой системы

/и,г? m₀tl = —^-^L Н — (I r_x — г₂1). (13,1)

Введем вектор взаимного расстояния обеих точек

г = п — г₂

и поместим начало координат в центре инерции, что дает:

ш₁г₁ + m₂r₂ = 0. Из двух последних равенств находим:

Подставляя эти выражения в (13,1), получим:

L = ^--U(r), (13,3)

где введено обозначение '

nil + m₂

^m= m.4.1.-' (¹³.⁴)

величина m называется приведенной массой. Функция (13,3) формально совпадает с функцией Лагранжа одной материаль­ной точки с массой т, движущейся во внешнем поле UXr), сим­метричном относительно неподвижного начала координат.

Таким образом, задача о движении двух взаимодействую­щих материальных точек сводится к решению задачи о движе­нии одной точки в заданном внешнем поле U{r). По решению r = r(t) этой задачи траектории ri=r-(/) и г₂ = г₂(г¹) каждой из частиц mi и т₂ в отдельности (по отношению к их общему центру инерции) получаются по формулам (13,2),

Задача

Система состоит из одной частицы с массой Мил частиц с одинаковыми массами т. Исключить движение центра инерции и- свести задачу к задаче о движении л частиц,

Решение. Пусть R — радиус-вектор частицы М, a R„ (а = 1, 2, ... п)—радиус-векторы частиц с массами т. Введем расстояния от части­цы М до частиц т

Г _а — R_a — R

и поместим начало координат в центре инерции:

MR + m £ R_a = 0. a

Из этих равенств находим:

_{R =} _±X^r* Ra = R + r_a, И а

где u, = М + пт. Подставив эти выражения в функцию Лагранжа получим:

где т_азг'_в.

Потенциальная энергия зависит лишь от расстояний между частицали и потому может быть представлена как функция от векторов г„.

§ 14. Движение в центральном поле

Сведя задачу о движении двух тел к задаче о движении одного тела, мы пришли к вопросу об определении движения частицы во внешнем поле, в котором ее потенциальная энергия зависит только от расстояния г до определенной неподвижной точки; такое поле называют центральным. "Сила

Р dU(r) _ dU г

дг - dr г '

действующая на частицу, по абсолютной величине зависит при этом тоже только от г и направлена в каждой точке вдоль ра­диус-вектора.

Как было уже показано в § 9, при движении в центральном поле сохраняется момент системы относительно центра поля. Для одной частицы момент

М = [гр].

Поскольку векторы М иг взаимно перпендикулярны, по­стоянство М означает, что при движении частицы ее радиус-вектор все время остается в одной плоскости — плоскости, пер­пендикулярной к М.

Таким образом, траектория движения частицы в централь-Ном поле лежит целиком в одной плоскости, Введя в ней полярные координаты г, q>, напишем функцию Лагранжа в виде (ср. .(4,5))

L==-f-(r² + rV)-^W. (14,1)

Эта функция не содержит в явном виде координату <р. Вся­кую обобщенную координату qi, не входящую явным образом в лагранжеву функцию, называют циклической, В силу урав­нения Лагранжа имеем для такой координаты:

d dL dL __Q dt dq_t dq_t '

т. е. соответствующий ей обобщенный импульс р,- = dL/dqi яв­ляется интегралом движения. Это обстоятельство приводит к существенному упрощению задачи интегрирования уравнений движения при наличии циклических координат. В данном случае обобщенный импульс

р_ф = тг²ф

совпадает с моментом М_Х=*М (см. (9,6)), так"что мы возвра­щаемся к известному уже нам закону сохранения момента

М => mr²<$ = const. (14,2)

Заметим, что для плоского движения одной частицы в цент­ральном поле этот закон допускает простую геометрическую ин­терпретацию. Выражение yr'rdcp

представляет собой площадь сектора, образованного двумя бесконечно близ­кими радиус-векторами и элементом дуги траектории (рис. 8). Обозначив ее. как df, напишем момент частицы в

Рие. 8 ^ВИДе .

M = 2mf, (14,3)

где производную / называют векториальной скоростью. Поэтому сохранение момента означает постоянство секториальной ско­рости— за равные промежутки времени радиус-вектор движу­щейся точки описывает равные площади (так называемый вто­рой закон Кеплера¹)).

Полное решение задачи о движении частицы в центральном поле проще всего получить, исходя из законов сохранения энер­гии И. момента, не выписывая при этом самих уравнений дви-

') Закон сохранения момента для частицы, движущейся в центральном иоле, иногда называют интегралом площадей.

жения. Выражая ф через М из (14,2) и подставляя в выраже­ние для энергии, получим:

Е = f (г² + г²ф²) + U(r)=-?£- + -££_r + U (г). <14,4)

Отсюда

или, разделяя переменные И интегрируя:

^{л I — \E — U (г)] -3-5-}

Далее, написав (14,2) в виде

# м ..

подставив сюда dt из. (14,5) и интегрируя, находим:

—я- "Г

д^2т [£ _ (г)] - if.

+ const. (14,7)

Формулы (14,6) и (14,7) решают в общем виде поставлен­ную задачу. Вторая из них определяет связь между г и ср, т. е. уравнение траектории. Формула же (14,6) определяет в веян­ном виде расстояние г движущейся точки от центра как функ­цию времени. Отметим, что угол ф всегда меняется со временем монотонным образом — из (14,2) видно, что ф никогда не ме­няет знака.

Выражение (14,4) показывает, что радиальную часть дви­жения можно рассматривать как одномерное движение в поле с «эффективной» потенциальной энергией

U^^Utf + M^tnr². (14,8)

Величину M^z/2mrⁱ называют центробежной энергией. Значе­ния г, при которых

£/(г) + М²/2тг² = Е, (14,9)

определяют границы области движения по расстоянию от цент­ра. При выполнении равенства (14,9) радиальная скорОеТь г обращается в нуль. Это не означает остановки частицы (как при истинном одномерном движении), так как утлоаая ско­рость ф не обращается в нуль. Равенство r=*Q означает «точку поворота» траектории, в которой функция г (г) переходит «т ут*. личения к уменьшению или наоборот.

Если область допустимого изменения г ограничена лишь одним условием г ^ Гщш, то движение частицы инфинитно — ее траектория приходит из бесконечности и уходит на бесконеч­ность.

Если область изменения г имеет две границы г_шш и л_тах, то движение является финитным и траектория целиком лежит внутри кольца, ограниченного окружностями г = r_max и г = r_min Это, однако, не означает, что траектория непременно является замкнутой кривой. За время, в течение которого г изменяется от /max до r_min и затем до г_тах, радиус-вектор повернется на угол Аф, равный согласно (14,7)

Условие замкнутости траектории заключается в том, чтобы этот угол был равен рациональной части от 2я, т. е. имел вид

Аф = 2лт/п, где т, п — целые числа. Тогда через п. повторений этого пе­риода времени радиус-вектор точкн, сделав т полных оборотов, совпа­дет со своим первона­чальным значением, т. е. траектория замкнется.

Однако такие случаи исключительны, и при произвольном виде U(г) угол Аф не является ра­циональной частью от 2я. Поэтому в общем случае траектория финитного движения не замкнута. Она бесчисленное число раз проходит через мини­мальное и максимальное расстояние (как, напри-

мер, на рис. 9) и за бесконечное время заполняет все кольцо между двумя граничными окружностями.

Существуют лишь два типа центральных полей, в которых все траектории финитных движений замкнуты. Это поля, в ко­торых потенциальная энергия частицы пропорциональна 1/г или г². Первый из этих случаев рассмотрен в следующем па­раграфе, а второй соответствует так называемому простран-ственному'осциллятору (см, задачу 3 § 23),

В точке поворота квадратный корень (14,5) (а вместе с ним и подынтегральные выражения в (14,6) и (14,7)) меняет знак. Если отсчитывать угол ф от направления радиус-вектора, про­веденного в точку поворота, то примыкающие с двух сторон к этой точке отрезки,траектории будут отличаться лишь зна­ком ф при каждых одинаковых значениях г; это значит, что траектория симметрична относительно указанного направления. Начав, скажем, от какой-либо из точек г — r_max, мы пройдем отрезок траектории до точки с г — r_min, затем будем иметь сим­метрично расположенный такой же отрезок до следующей точ­ки с г = rmax и т. д., т. е. вся траектория получается повторе­нием в прямом и обратном направлениях одинаковых отрезков. Это относится и к инфинитным траекториям, состоящим из двух симметричных ветвей, простирающихся от точки поворота г_т\а до бесконечности.

Наличие центробежной энергии (при движении с МФО), обращающейся при г-»-0 в бесконечность, как 1/г², приводит обычно к невозможности проникновения движущихся частиц к центру поля, даже если последнее само по себе имеет характер притяжения. «Падение» частицы в центр возможно лишь, если потенциальная энергия достаточно быстро стремится к — оо при г-»-0. Из неравенства

>0

или

L = (в² + sin² 9 • ф²) + mgl cos 9.

Координата <р — циклическая, поэтому сохраняется обобщенный импульс p_v, совпадающий с г-компонентой момента:

ml² sin² 9 • ф = М_г = const.

(1)

Энергия

тй • ml²Q² Ml

Е=-^- (в²+ sin² в • ф²) - mgl cos в - —g— + 2ml*tin4 ~ ^{ml 003 в}'

Определяя отсюда 6 а разделяя переменные, получим:

rf9

^{л/^[Я_с/эфф (9)]}

где введена «эффективная потенциальная энергия>

{/₉фф (в) — _{2mf2 sin}2₉ - cos е.

(2) (3)

Для угла (р, используя (1), найдем

м_г с <т

l V2m J Sin* в Vfi- У₅фф(в)

Интегралы (3) и (4) приводятся к эллиптическим интегралам соответственно первого и третьего рода.

Область движения но углу 9 определяется условием £ > 1/_яфф, а ее гра­ницы — уравнением Е ** {Дфф. Последнее представляет собой кубическое уравнение для cos в, имеющее в промежутке от —I до +1 два корня, опре­деляющих положение двух параллельных окружностей на сфере, между ко­торыми заключена вся траектория.