§12. Определение потенциальной энергии по периоду колебаний

Рассмотрим вопрос о том, в какой степени можно восстано­вить вид потенциальной энергии U(x) поля, в котором частица совершает колебательное движение, по известной зависимости перкода этого движения Т от энергии Е. С математической точ­ки зренчя речь идет о решении интегрального уравнения (11,5), в котором V(x) рассматривается как неизвестная, а Т(Е) — как известная функции.

	и
		J tl-E
|\ |\ i\ t >		*/\
1 1 1 1		У 1
		Рис. 7

При этом мы будем заранее предполагать, что искомая функция U(x) имеет в рассматриваемой области пространства

лишь один минимум, оставляя в стороне вопрос о возможности существования решений инте­грального уравнения, не удовле­творяющих этому условию. Для удобства выберем начало коорди­нат в положении минимума по­тенциальной энергии, а значение последней в этой точке положим равным нулю (рис. 7).

Преобразуем интеграл (11,5), рассматривая в нем координату х как функцию U. Функция *(£/)[' двузначна — каждое значение потенциальной энергии осущест-ляется при двух различных значениях х. Соответственно этому

интеграл (11,5), в котором мы заменяем йх на -jjj-dU, перейдет

в сумму двух интегралов: от х = х\ до х = 0 и от х — 0 до x = x₂; будем писать зависимость х от U в этих двух 'областях соответственно как x = Xi(U) и х = *2 (£/).•

Пределами интегрирования по dU будут, очевидно, Я и О, так что получаем:

dx, (U) dU dU л/E-U

^v JL dU dU J л/E — U

Разделим обе стороны этого равенства на Уа — Е, где а — параметр, и проинтегрируем по Е от нуля до а:

Й £

dUdE

J Va—£ J_fH dU dU J

0' oo- " ^{11 M} '

или, меняя порядок интегрирования:

V«-£ J L rfi/ <Ш J J V(« - E) (E -

Интеграл no d£ вычисляется элементарно и оказывается равным п. После этого интегрирование по dU становится три­виальным и дает:

(при этом учтено, что лг₂ (0) = Jfi (0) = 0), Заменив теперь бук­ву а на II, находим окончательно:

*M-*'M-iJBrlffir- <¹²'"

Таким образом, по известной функции Т(Е) определяется разность x₂(U) — Xi{U). Сами же функции x₂(U) и Xi(U) остаются неопределенными. Это значит, что существует не одна, а бесчисленное множество кривых I) = V (х), приводящих к за­данной зависимости периода от энергии и отличающихся друг от друга такими деформациями, которые не меняют разности двух значений х, соответствующих одному и тому же значе­нию U.

Многозначность решения исчезает, если потребовать, чтобы кривая U = U(x) была симметрична относительно оси ординат, т. е. чтобы было:

x_i(U) = — x_l (U) = x(U).

В таком случае формула (12,1) дает для x(U) однозначное выражение

и