1. Как относятся времена движения по одинаковым траекториям точек с различными массами при одинаковой потенциальной энергии?

Ответ:

2. Как изменяются времена движения по одинаковым траекториям при изменении потенциальной энергии на постоянный множитель?

Ответ;

Глава III

ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

§11. Одномерное движение

Одномерным называют движение системы с одной степенью свободы. Наиболее общий вид лагранжевой функции такой си­стемы, находящейся в постоянных внешних условиях, есть

L = ±a(q)q*-U(q), (11,1)

где a(q)—некоторая функция обобщенной координаты q. В частности, если q есть декартова координата (назовем ее х),

h^^-Uix), (11,2)

Соответствующие этим лагранжевым функциям уравнения движения интегрируются в общем виде. При этом нет даже необходимости выписывать самое уравнение движения, а сле­дует исходить сразу из его первого интеграла — уравнения, вы­ражающего закон сохранения энергии. Так, для функции Ла­гранжа (11,2) имеем:

~ + U(x)=^E.

Это есть дифференциальное уравнение первого порядка, инте­грирующееся путем разделения переменных. Имеем:

откуда

Роль двух произвольных постоянных в решении уравнения движения играют здесь полная энергия Е и постоянная инте­грирования const.

Поскольку кинетическая энергия — величина существенно положительная, то при движении полная энергия всегда больше потенциальной, т. е. движение может происходить только в тех областях пространства, где £/(*)<£.

Пусть, например, зависимость U{x) имеет вид, изображен* ный на рис. 6. Проведя на этом же графике горизонтальную прямую, соответствующую заданному значению полной энер­гии, мы сразу же выясним возможные области движения. Тан в изображенном на рис. 6 случае движение может происходить лишь в области АВ или в области справа от С.

и
—	1			U=E

Рис. 6

Точки, в которых потенциальная энергия равна полной

V(x)*=E, (11,4)

определяют границы движения. Они являются точками оста' ноеки, поскольку в них скорость обращается в нуль. Если об­ласть движения ограничена двумя такими точками, то движе­ние происходит в ограниченной области пространства; оно яв­ляется, как говорят, финитным. Если же область движения не ограничена или ограничена лишь с одной стороны, — движение инфинитно, частица уходит на бесконечность.

Одномерное финитное движение является колебательным — частица совершает периодически повторяющееся движение ме­жду двумя границами (на рис. 6 в потенциальной яме АВ ме­жду точками х\ и х₂). При этом согласно общему свойству об­ратимости (стр. 18) время движения от х_х до Хч равно времени обратного движения от х₂ до х\. Поэтому период колебаний 7", т. е. время, за которое точка пройдет от Х\ до х₂ и обратно, равен удвоенному времени прохождения отрезка х\х₂ или со­гласно (11,3)

Xi(E)

причем пределы х\ и х₂ являются корнями уравнения (11,4J при данном значении Е. Эта формула определяет период дви­жения в зависимости от полной энергии частицы,

Задачи

1. Определить период колебаний плоского математического маятника (точка т на конце нити длиной / в поле тяжести) в зависимости от их ампли­туды.

Решение Энергия маятника

Е = —^- mgl cos ф - — mgl cos ф₀,

где ф — угол отклонения нити от вертикали; фо — максимальный угол откло­нения. Вычисляя период как учетверенное время прохождения интервала уг­лов от нуля до фо, находим:

• = 4 /~ [ ^d(p 2 CL[.

V 2g J Vcos <р — cos фл " Л/Т)

*\/COS Ф — COS фо У В J I . , фо . , ф

о ^v ^ ⁴⁰ о л/ sin²-^ — sin²-^-

, sin '/г Ф • + Подстановкой —_:—, = sin Е этот интеграл приводится к виду sin Va Фо

где

я/2

кт=\

Vl ~k² sin^a£

— так называемый полный эллиптический интеграл первого рода. При sin ~- «■—■ < 1 (малые колебания) разложение функции K(k) дает:

Первый член этого разложения отвечает известной элементарной формуле.

2, Определить период колебаний в зависимости от энергии при движении частицы массы т в полях с потенциальной энергией:

a) U = A\x\ⁿ.

Ответ:

' = 2 V'2/и ^

dx 2 V?m Е ^{п 2} Г

л/Е-Ах^п A^xln J Vl

о

Подстановкой у" = и интеграл приводится к так называемому В-интегралу Эйлера; который? выражается через-П»фувкции

_Т_ 2л/21шТ(\/п) яЛ^1/ЛГ(1/п + 1/2)

Зависимость Т от Е соответствует закону механического подоДйя» (102Т 410,3).

б) U = -l/o/ch³ cu:, -£/„ < £ < 0.

Ответ:

в) U^UoWax, О i вет: r=»oVWaVl-£l-