Л. Д. ЛАНДАУ и Е. М. ЛИФШИЦ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

В ДЕСЯТИ ТОМАХ

москва «наука»

главная редакция

физико-математической литературы

ТОМ I

_{МЕХАНИКА}

ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ

Допущено Министерством еышеео и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов физических специальностей университетов

москва «наука»

главная редакция физико-математической литературы

1938

ББК 22.31 Л22

УДК 530.1(075.8)

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособие.— В 10-ти т. Т. I. Механика. — 4-е изд., испр. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.—216 с. ISBN 5-02-013850-9 (т. Г)

Настоящим томом начинается переиздание полного курса теоретической физики, заслужившего широкое признание в нашей стране и за рубежом.

Первый том посвящен изложению механики как части теоретической физики. Рассмотрены лагранжева и гамильтонова формулировки уравнений механики, законы сохранения в механике, теория столкновений частиц, теория колебаний и движение твердого тела. 3-е изд. «Механики» выходило

в 1973 г.

Для студентов старших курсов, аспирантов и научных работников, специализирующихся в области теоретической физики.

Ответственный редактор член-корреспондент АН СССР доктор физико-математических наук Л. П. Питаевский

Л

1704020000—061

053(02)-88

129-88

© Издательство «Наука». Главная редакция

физико-математической литературы, с исправлениями, 1988

ISBN 5-02-013850-9 (т. I)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора к четвертому изданию 7

Предисловие к третьему изданию • |

Из предисловия к первому изданию ⁸

Глава I. Уравнения движения 9

§ 1. Обобщенные координаты 9

§ 2. Принцип наименьшего действия ¹⁰

§ 3. Принцип относительности Галилея 13

§ 4. Функция Лагранжа свободной материальной точки 15

§ 5. Функция Лагранжа системы материальных точек ...... 17

Глава II. Законы сохранения 24

§ 6. Энергия 24

§ 7. Импульс 2д

§ 8. Центр инерции 2°

§ 9. Момент импульса "О

§ 10. Механическое подобие 34

Глава III. Интегрирование уравнении движения 39

_{§ 11. Одномерное движение • • 39}

§ 12. Определение потенциальной 'энергии по периоду колебаний . . 42

§ 13. Приведенная масса 44

§ 14. Движение в центральном поле 45

§ 15. Кеплерова задача 51

Глава IV. Столкновения частиц 53

§ 16. Распад частиц 58

§ 17. Упругие столкновения частиц 62

§ 18. Рассеяние частиц 66

§ 19 Формула Резерфорда 72

§ 20. Рассеяние под малыми углами 75

Глава V. Малые колебания 78

§ 21. Свободные одномерные колебания 78

§ 22. Вынужденные колебания 82

§ 23. Колебания систем со многими степенями свободы 87

§ 24. Колебания молекул 94

§ 25. Затухающие колебания 99

§ 26. Вынужденные колебания при наличии трения ЮЗ

§ 27. Параметрический резонанс , 106

§ 28. Ангармонические колебания 112

§ 29. Резонанс в нелинейных колебаниях 116

§ 30. Движение в быстро осциллирующем поле 123

6

оглавление

Глава VI. Движение твердого тела 126

§ 31. Угловая скорость |26

§ 32. Тензор -инерции '28

§ 33. Момент импульса твердого тела ,138

§ 34. Уравнения движения твердого тела 140

§ 35. Эйлеровы углы 143

§ 36. Уравнения Эйлера 148

§ 37. Асимметрический волчок 150

§ 38. Соприкосновение твердых тел '58

§ 39. Движение в неинерциальной системе отсчета . . 163

Глав а VII. Канонические уравнения 169

§ 40. Уравнения Гамильтона 169

§ 41. Функция Рауса 172

§ 42 Скобки Пуассона . 174

§ 43. Действие как функция координат 178

§ 44. Принцип Мопертюи 180

| 45. Канонические преобразования 184

§ 46. Теорема Лиувилля 188

§ 47. Уравнение Гамильтона — Якоби I⁹⁰

§ 48. Разделение переменных 192

§ 49. Адиабатические инварианты 199

§ 50. Канонические переменные . 202

§ 51. Точность сохранения адиабатического инварианта 204

§ 52. Условно-периодическое движение 208

Предметный указатель 214

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ

Этим томом издательство «Наука» начинает переиздание «Теоретической физики» Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица. Впер­вые она выходит после смерти Е. М. Лифшица. На меня легла печальная и ответственная обязанность готовить Курс к печати без авторов.

В настоящем издании «Механики» исправлены опечатки, за­меченные с момента выхода третьего издания, и внесены не­большие изменения, уточняющие изложение. Эти поправки были приготовлены Е. М. Лифшицем и мною и частично учтены в по­следнем английском издании книги.

Май 1987 г.

Л, П. Питаевский

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ

Во втором издании эта книга почти не отличалась от пер­вого издания. Не возникло необходимости в сколько-нибудь значительной ее переработке и при подготовке нового издания. Поэтому большая часть книги воспроизведена стереотипно (с исправлением лишь опечаток). Переработке и дополнению, произведенным мной совместно с Л. П. Питаевским, подверг­лись лишь последние параграфы, посвященные адиабатическим инвариантам.

Июнь 1972 г. Е. М. Лифшиц

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Настоящей книгой мы рассчитываем начать последователь­ное переиздание всех томов нашей «Теоретической физики». Окончательный план ее сейчас представляется в следующем виде:

1. Механика. 2. Теория поля. 3. Квантовая механика (нере­лятивистская теория). 4. Релятивистская квантовая теория, 5. Статистическая физика. 6. Гидродинамика. 7. Теория упруго­сти. 8. Электродинамика сплошных сред. 9. Физическая ки­нетика.

Мы благодарны И. Е. Дзялошинскому и Л. П. Питаевскому за помощь при чтении корректуры книги.

Москва, июль 1957 г.

Л. Д. Ландау, Е, М. Лифшиц

Глава I

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

§ 1. Обобщенные координаты

Одним из основных понятий механики является понятие ма* териальной точки¹). Под этим названием понимают тело, раз­мерами которого можно пренебречь при описании его движения. Разумеется, возможность такого пренебрежения зависит от конкретных условий той или иной задачи. Так, планеты можно считать материальными точками при изучении их движения во­круг Солнца, но, конечно, не при рассмотрении их суточного вращения.

Положение материальной точки в пространстве определяется ее радиус-вектором г, компоненты которого совпадают с ее де­картовыми координатами х, у, z. Производная г по времени t

называется скоростью, а вторая производная — ускорением точки. Ниже, как это принято, мы будем часто обозначать дифференцирование по времени точкой над буквой: v = г.

Для определения положения системы из N материальных точек в пространстве надо задать N радиус-векторов, т. е. 3N координат. Вообще число независимых величин, задание кото­рых необходимо для однозначного определения положения си­стемы, называется числом ее степеней свободы; в данном слу­чае это число равно SN. Эти величины не обязательно должны быть декартовыми координатами точек, и в зависимости от условий задачи может оказаться более удобным выбор каких-либо других координат. Любые s величин qi, q%, q_s, вполне характеризующие положение системы (с s степенями свободы),' называют ее обобщенными координатами, а производные q_t —• ее обобщенными скоростями.

Задание значений обобщенных координат еще не определяет, однако, «механического состояния» системы в данный момент времени в том смысле, что оно не позволяет предсказать поло­жение системы в последующие моменты времени. При задан-

') Вместо термина «материальная точка» мы будем часто говорить о «ча­стицах».

ных значениях координат система может обладать произволь­ными скоростями, а в зависимости от значения последних бу­дет различным и положение системы в следующий момент вре­мени (т. е. через бесконечно малый временной интервал dt).

Одновременное же задание всех координат и скоростей пол­ностью определяет, как показывает опыт, состояние системы и позволяет в принципе предсказать дальнейшее ее движение. С математической точки зрения это значит, что заданием всех координат q и скоростей q в некоторый момент времени одно­значно определяется также и значение ускорений q в этот мо­мент ').

Соотношения, связывающие ускорения с координатами и ско­ростями, называются уравнениями движения. По отношению к функциям q(t) это — дифференциальные уравнения второго по­рядка, интегрирование которых позволяет в принципе опреде­лить эти функции, т, е, траектории движения механической си­стемы.

§ 2. Принцип наименьшего действия

Наиболее общая формулировка закона движения механи­ческих систем дается так называемым принципом наименьшего действия (или принципом Гамильтона). Согласно этому прин­ципу каждая механическая система характеризуется определен­ной функцией

Lfai, Чь •••» Чз, Яи Яъ, -•■> <?s, t) или, в краткой записи, L(q,q,t), причем движение системы удовлетворяет следующему условию.

Пусть в моменты времени t = t\ и t = t₂ система занимает определенные положения, характеризуемые двумя наборами значений координат q^w и <7^(2>. Тогда между этими положения­ми система движется таким образом, чтобы интеграл

и

S=\b{q, q,t),dt (2,1)

и

') Для краткости обозначений мы будем часто условно понимать под q совокупность всех координат qi, qz, q* (и под q аналогично совокупность всех скоростей).

²) Следует, однако, указать, что в такой формулировке принцип наимень­шего действия не всегда справедлив для всей траектории движения в целом, а лишь для каждого нз достаточно малых ее участков; для всей же траекто­рии может оказаться, что интеграл (2,1) имеет лишь экстремальное, не обя­зательно минимальное значение. Это обстоятельство, однако, совершенно не существенно при выводе уравнений движения, использующем лишь условие экстремальности.

имел наименьшее возможное значение²). Функция L называет­ся функцией Лагранжа данной системы, а интеграл (2,1) — действием.