§ 92. Косая ударная волна

Рассмотрим стационарную ударную волну, отказавшись при этом от подразумевавшегося везде выше выбора системы коор­динат, в которой скорость газа направлена перпендикулярно к данному элементу поверхности волны. Линии тока могут пересе­кать поверхность такой ударной волны наклонно, причем пере­сечение сопровождается преломлением линий тока. Касательная составляющая скорости газа не меняется при прохождении через ударную волну, а нормальная составляющая согласно (87,4) падает:

Vu = V₂t, f l/i > V_2n.

Поэтому ясно, что при прохождении через ударную волну линии тока приближаются к ней (как это показано на рис. 63). Таким образом, преломление линий тока на ударной волне происходит всегда в определенном направлении.

Выберем направление скорости vi газа перед ударной волной в качестве оси х, и пусть ср — угол между поверхностью разрыва и осью х (рис. 63). Возможные значения угла ср ограничены лишь условием, чтобы нормальная составляющая скорости vi

') Выражение (91,7) для произвольной (не политропной) среды и его связь с условиями гофрировочной неустойчивости ударных волн указаны С. Г. Су гаком и В. Е. Фортовым, А. Л, Ни (1981).

превышала скорость звука с\. Поскольку Vi„ = v sin ф, то отсюда следует, что ф может иметь произвольные значения в интервале между я/2 и углом Маха оц:

а, < ф < л/2, sin cci = c\/v\ = 1/Mi.

Движение позади ударной волны может быть как до-, так и сверхзвуковым (меньше скорости звука с₂ должна быть лишь нормальная компонента скорости); движение же перед ударной

волной — непременно сверхзвуко­вое. Если движение газа по обе сто­роны от ударной волны является сверхзвуковым, то все возмущения могут распространяться вдоль ее поверхности лишь в ту сторону, ку-^х да направлена касательная к ней составляющая скорости газа. В этом смысле можно говорить о «направ­лении» ударной волны и различать по отношению к какому-либо месту «исходящие» из него и «приходя­щие» волны (подобно тому как мы это уже делали для характеристик, вокруг которых движение всегда является сверхзвуковым; см. § 82). Если же движение позади ударной волны является до­звуковым, то понятие о ее направлении теряет, строго говоря, смысл, так как возмущения могут распространяться вдоль ее поверхности во все стороны.

Выведем соотношение, связывающее друг с другом две ком­поненты скорости газа после его прохождения через косую удар­ную волну; при этом будем предполагать газ политропным.

Непрерывность касательной к волне составляющей скорости означает, что v\ cos ф = v_2x cos ф + vi_u sin ф, или

tgop-.

Ol — V2X

(92,1)

Далее, воспользуемся формулой (89,6); в этой формуле Vi и i>2 обозначают нормальные к плоскости ударной волны состав­ляющие скорости и должны быть теперь заменены на vi sin ф и v%x sin ф — V2y cos ф, так что имеем:

уц gjnФ — v_2y cos.cp _ у — 1 "-²

2с1

Y+1

(92,2)

t), sin ф

Из двух написанных соотношений можно исключить угол ф. После простых преобразований получим следующую формулу,

определяющую связь между v_2x и v_2y (при заданных v\ и С\)

(92,3)

²_{—G- -^)-^-}^v

^Vly = (^Vl - ^V2xf

Y+ 1 0|

Этой формуле можно придать более изящный вид, если ввести в нее критическую скорость. Согласно уравнению Бер­нулли и определению критической скорости имеем:

У+1 2 (V — 1)

2 v (ср. задачу 1 § 89), откуда

Т +

с:

■v² + -

Y+ 1 ¹ Y+ 1 Введя эту величину в (92,3), получим:

(92,4)

Чу = (»1 - 4xf

Y-+ 1

^vi^v2_X -«;

■»1 - ^vl°ix + ^с1

(92,5)

Уравнение (92,5) называют уравнением ударной поляры {A. Busemann, 1931). На рис. 64 изображен график этой зави­симости; это есть кривая треть­его порядка (так называемая \ строфоида или декартов лист). Она пересекает ось абсцисс в точках Р и Q (рис. 64), соответ­ствующих значениям v_2x = c;/rj и v_2x = v_iⁱ). Проведя из начала о координат луч (ОВ на рис. 64) под углом х ^{к оси} абсцисс по длине его отрезка до точки пе­ресечения с кривой ударной по­ляры, мы определяем скорость газа за скачком, поворачиваю­щим поток на угол %. Таких точек пересечения имеется две (А и В), т. е. заданному значению х отвечают две различные ударные волны. Направление ударной волны тоже может быть

') От точки Q, являющейся двойной точкой кривой, строфоида в дей­ствительности продолжается еще. в виде двух уходящих к бесконечным \v_2y\ ветвей (не изображенных на рис. 64) с общей вертикальной асимптотой

^{Ds* —«?M + 2«»,/(Y + 1)}

Однако точки этих ветвей не имеют физическою смысла: они дали бы для v_2x, vz_y значения, при которых v_2nlv\n > 1, что невозможно.

сразу определено графически по этой же диаграмме — оно определяется перпендикуляром, опущенным из начала коорди­нат на прямую, проведенную из точки Q соответственно через точку В или А (на рис. 64 изображен угол ср для волны, соот­ветствующей точке В). При уменьшении % точка А приближа­ется к точке Р, отвечающей прямому (ср = л/2) скачку с ^v2 ^{= c}l/^vi- Точка же В приближается при этом к точке Q, при­чем интенсивность ударной волны (скачок скорости в ней) стремится к нулю; в пределе, в самой точке Q, угол ср равен, как и следовало, углу Маха ат (угол наклона касательной к поляре к оси абсцисс в этой точке равен я/2 + ai).

Из диаграммы ударной поляры сразу можно вывести важное заключение, что угол отклонения % потока в ударной волне не может превышать некоторого максимального значения %_тах, со­ответствующего луч>, проведенному из точки О касательно к кривой, хтах является, конечно, функцией числа Mi = v\/c\\ мы не приводим ее здесь ввиду ее громоздкости. При Mi = 1 имеем Хтах = 0, а при возрастании Mi угол хтах монотонно растет и при Mi->-сю стремится к конечному пределу. Легко рассмотреть оба предельных случая.

Если скорость V\ близка к с», то вместе с ней близка к с» и скорость v₂, а угол % мал; уравнение ударной поляры (92,5) можно тогда приближенно переписать в виде')

X² = ^JT3ⁱ (^у 1 - ^у₂)² (»1 + Щ - 2с.) (92,6>

(ввиду малости угла % здесь положено v_2x та v₂, v_2y ж с*%). От­сюда элементарным путем найдем²):

₌ lVY±I^ _ Л^3/2₌ 2^?/2 _(М, _ _П3/2 _{m 7у} Хтах- ₃з/2 Ц ^l) g3/2_(Y+1)lMl U ' (»47>

В обратном предельном случае, при Mi -*- со, ударная по­ляра вырождается в окружность

Легко видеть, что при этом

Хтах = arcsi-n(l/y). (92,8)

¹) Можно легко убедиться в том, что уравнение (92,6) будет справедли- вым и для любого (не политропного) газа, если только заменить в нем ве- личину (у + 1)/2 на параметр а», определенный согласно (102,2).

²) Отметим, что эта зависимость /щах от Mj — 1 находится в согласии с общим законом подобия (126,7) для околозвуковых течений.

На рис. 65 изображен график зависимости Хтах от Mi для воз­духа (у = 1,4); горизонтальный пунктирный отрезок показывает

предельное значение %тах(°°) = 45,6° (верхняя кривая на ри­сунке— аналогичный график для обтекания конуса; см. § 113).

50

30'

		р\П£*-"

20

Окружность V2 — с* пересекает ось абсцисс между точками Р и Q (рис. 64) и поэтому делит ударную поляру на две ,части, соответствующие до- и сверхзвуковым скоростям газа позади разрыва. Точка пересечения окруж­ности V2 = с* с полярой лежит пра- во* вее точки С, но очень близко к ней; поэтому весь участок РС соот­ветствует переходам к дозвуковым скоростям, а участок CQ (за ис­ключением лишь очень небольшого участка вблизи точки С) — перехо­дам к сверхзвуковым скоростям. /,

Изменения давления и плотно- сти в косой ударной волне зависят ^иуп t.s 2.0 г$ До з$м, только от нормальных к ней ком- понент скорости. Поэтому отноше- • ⁶ ния р₂/р\ и p₂/pi при заданных Mi

(92,9) (92,10)

Р2-Р1 Pi

и Ф получаются из формул (89,6—7) просто путем замены в них Mi на Mi sin ф:

2(М² sin² ф — l)]

(Y — 1)М² sin* ф-г-2

Эти отношения монотонно возрастают при увеличении угла ф от значения ф = а\ (когда р₂/р\ == Рг/pi = 1) до я/2, т. е. по мере перемещения по ударной поляре от точки Q к точке Р.

Приведем еще, для справок, формулу, выражающую угол по­ворота % скорости через число Mi и угол ф:

ctg

% = tg ф £

(Y+l)Mf

2(М²8ш²ф- l)

(92,11)

и формулу, определяющую число М₂ = v₂/c₂ по Mi и ф|

2уМ² sin² ф ■

2М² cos² ф

2 + (Y-I)Mf

(Y-1) 2 + (Y-l)M²sin²_?

(92,12)

(при ф = я/2 последнее выражение переходит в (89,9)).

Две ударные волны, определяемые ударной полярой для за­данного угла поворота скорости, называют волнами слабого и сильного семейства. Ударная волна сильного семейства (уча­сток РС поляры) обладает большей интенсивностью (большим отношением p₂/pi), образует больший угол ф с направлением скорости vi и превращает течение из сверх- в дозвуковое. Вол­на же слабого семейства (участок QC поляры) обладает

меньшей интенсивностью, наклонена к потоку под меньшим уг­лом и почти всегда оставляет течение сверхзвуковым.

Для иллюстрации на рис. 66 изображены зависимости угла % отклонения скорости от угла ср наклона поверхности разрыва для воздуха (у = 1,4) при нескольких различных значениях числа М_ь в том числе для предела Mi->-oo. Ветви кривых, изо­браженные сплошными линиями, отвечают ударным волнам сла-

						1 t V.	\V	\ \
		ЯК			М2=7-	. \z=	\ \ \ \	\\\
			7/ 'у /			|~"~"-ч	\ \	-*-г* 4
			7			!	\ \ \ \	\i
	/ / j		i	о/		\ \	^ч ч \	'Л \*
	41			1,6/	''4/	\ \ л \	~^ч ч	т
	1		1 i	/ /	\,2,		чЧ ~~

45'

40'

35°

30^е

25'

20^е

10° 20° 30° 40° 50° 60° Угол наклона ударной волны f

Рис. 66

80° SO"

70°

бого семейства, а изображенные пунктиром — ударным волнам сильного семейства. Пунктирная линия % = хтах — геометриче­ское место точек максимального (при каждом заданном Mi) угла отклонения, а сплошная линия М₂ = 1 разделяет области сверх-и дозвукового течения позади разрыва; узкая область между этими двумя линиями отвечает ударным волнам слабого семей­ства, превращающим, однако, течение из сверх- в дозвуковое. Разность значений угла ср на линиях % = х_тах и М₂ = 1 (при за­данном Mi) нигде не превышает 4,5°; разность же между ^тах и значением % — %_зв на линии М₂ = 1 (тоже при заданном Mi) не превышает 0,5°').

') Подробные графики и диаграммы, относящиеся к ударной поляре (для у = 1,4) можно найти в книгах: Липман Г. В., Рошко А. Элементы газовой динамики. — М.: ИЛ, 1960. [Liepmann Н. W., Roshko A. Elements of gas dynamics. — N. Y.: J. Wiley, 1957]; Oswatitsch K- Gas dynamics. — N. Y.: Aca­demic Press, 1956.