§ 12. Гравитационные волны

Свободная поверхность жидкости, находящейся в равновесии в поле тяжести, — плоская. Если под влиянием какого-либо внешнего воздействия поверхность жидкости в каком-нибудь месте выводится из ее равновесного положения, то в жидкости возникает движение. Это движение будет распространяться вдоль всей поверхности жидкости в виде волн, называемых гравита­ционными, поскольку они обусловливаются действием поля тя­жести. Гравитационные волны происходят в основном на поверх­ности жидкости, захватывая внутренние ее слои тем меньше, чем глубже эти слои расположены.

Мы будем рассматривать здесь такие гравитационные волны, в которых скорость движущихся частиц жидкости настолько мала, что в уравнении Эйлера можно пренебречь членом (vV)v по сравнению с dv/dt. Легко выяснить, что означает это условие физически. В течение промежутка времени порядка периода т колебаний, совершаемых частицами жидкости в волне, эти час» тицы проходят расстояние порядка амплитуды а волны, поэтому скорость их движения — порядка v ~ а/т. Скорость v заметно меняется на протяжении интервалов времени порядка т и на про­тяжении расстояний порядка к вдоль направления распростране­ния волны (Я — длина волны). Поэтому производная от скорости по времени — порядка у/т, а по координатам — порядка v/i. Та­ким образом, условие (vV)v<С dv/dt эквивалентно требованию

или

а<А, (12,1)

т. е. амплитуда колебаний в волне должна быть мала по сравне­нию с длиной волны. В § 9 мы видели, что если в уравнении движения можно пренебречь членом (vV)v, то движение жидко­сти потенциально. Предполагая жидкость несжимаемой, мы мо­жем воспользоваться поэтому уравнениями (10,6) и (10,7). В уравнении (10,7) мы можем теперь пренебречь членом v²/2, содержащим квадрат скорости; положив /(^) = 0 и введя в поле тяжести член pgz, получим:

р = -рдг-р^.. (12,2)

Ось z выбираем, как обычно, вертикально вверх, а в качестве плоскости х, у выбираем равновесную плоскую поверхность жидкости.

Будем обозначать г-координату точек поверхности жидкости посредством £; £ является функцией координат х, у и времени t. В равновесии £ = 0, так что Ъ, есть вертикальное смещение жид­кой поверхности при ее колебаниях. Пусть на поверхность жидкости действует постоянное давление ро. Тогда имеем на поверхности согласно (12,2)

ро= — Pgt — P-gf-

Постоянную ро можно устранить переопределением потенциала ф (прибавлением к нему независящей от координат величины Pot/p). Тогда условие на поверхности жидкости примет вид

& + -w\,-t⁼⁰- ⁽¹²'³⁾

Малость амплитуды колебаний в волне означает, что смещение £; мало. Поэтому можно считать, в том же приближении, что вер­тикальная компонента скорости движения точек поверхности совпадает с производной по времени от смещения £: v_z = dt,/dt. Но v_z — дф/dz, так что имеем:

<?Ф I ₌ dt, _ 1 Уф I

dz |г=5 dt g dt² |z=c'

В силу малости колебаний можно в этом условии взять зна­чения производных при г = 0 вместо z — %. Таким образом, по­лучаем окончательно следующую систему уравнений, опреде­ляющих движение в гравитационной волне:

Дф = 0, (12,4)

Будем рассматривать волны на поверхности жидкости, счи­тая эту поверхность неограниченной. Будем также считать, что длина волны мала по сравнению с глубиной жидкости; тогда можно рассматривать жидкость как бесконечно глубокую. По­этому мы не пишем граничных условий на боковых границах и на дне жидкости.

Рассмотрим гравитационную волну, распространяющуюся вдоль оси х и однородную вдоль оси у; в такой волне все вели­чины не зависят от координаты у. Будем искать решение, являю­щееся простой периодической функцией времени и коорди­наты х:

ф = cos (kx — a>t) f (z),

где (о — циклическая частота (мы будем говорить о ней просто как о частоте), k — волновой вектор волны, Я, = 2z/k— длина волны. Подставив это выражение в уравнение Дф = 0, получим для функции f (z) уравнение

Его решение, затухающее в глубь жидкости (т. е. при г-*—оо): _ф = Ле^йг cos — со/). (12,6)

. Мы должны еще удовлетворить граничному условию (12,5), Подставив в него (12,5), найдем связь между частотой "и волно­вым вектором (или, как говорят, закон дисперсии волн):

<*² = kg. (12,7)

Распределение скоростей в жидкости получается дифферен­цированием потенциала по координатам:

v_x = — Ake^kz sin (kx — со/), v_z= Ake^kz cos (fejc — со/). (12,8)

Мы видим, что скорость экспоненциально падает по направле­нию в глубь жидкости. В каждой заданной точке пространства (т. е. при заданных х, z) вектор скорости равномерно вращается в плоскости х, г, оставаясь постоянным по своей величине.

Определим еще траекторию частиц жидкости в волне. Обо­значим временно посредством х, z координаты движущейся час­тицы жидкости (а не координаты неподвижной точки в простран­стве), а посредством х₀, z₀ — значения х, z для равновесного по­ложения частицы. Тогда v_x = dx/dt, v_z — dz/dt, а в правой части (12,8) можно приближенно написать х₀, г₀ вместо х, z, воспользовавшись малостью колебаний. Интегрирование по вре­мени дает тогда:

х —• х₀ = — А — e^kz° cos (kx₀ — Ш);

(12,9)

z — z₀ = — А — e^kz" sin (kx₀ — со/).

Таким образом, частицы жидкости описывают окружности во­круг точек х₀, z₀ с радиусом, экспоненциально убывающим по направлению в глубь жидкости.

Скорость U распространения волны равна, как будет пока­зано в § 67, U — ды/dk. Подставив сюда со = -\/kg, находим, что скорость распространения гравитационных волн на неограничен­ной поверхности бесконечно глубокой жидкости равна

Она растет при увеличении длины волны.

Длинные гравитационные волны

Рассмотрев гравитационные волны, длина которых мала по сравнению с глубиной жидкости, остановимся теперь на проти­воположном предельном случае волн, длина которых велика по

-сравнению с глубиной жидкости. Такие волны называются длинными.

Рассмотрим сначала распространение длинных волн в ка­нале. Длину канала (направленную вдоль оси х) будем считать неограниченной Сечение канала может иметь произвольную форму и может меняться вдоль его длины. Площадь поперечного сечения жидкости в канале обозначим посредством S — S(x, t). Глубина и ширина канала предполагаются малыми по сравне­нию с длиной волны.

Мы будем рассматривать здесь продольные длинные волны, в которых жидкость движется вдоль канала. В таких волнах компонента v_x скорости вдоль длины канала велика по сравне­нию с компонентами v_y, v_z.

Обозначив Vj, просто как v и опуская малые члены, мы мо­жем написать jc-компоненту уравнения Эйлера в виде

dv l dp

dt р~ дх '

а z-компоненту — в виде

1 др _ _ Р дг &

(квадратичные по скорости члены опускаем, поскольку ампли­туда волны по-прежнему считается малой). Из второго уравне­ния имеем, замечая, что на свободной поверхности (г = £) долж­но быть р = ро:

Р = Ро + gp(t, — z).

Подставляя это выражение в первое уравнение, получаем:

JEE = (|9 in

dt ^d дх • uah)

Второе уравнение для определения двух неизвестных v и % можно вывести методом, аналогичным выводу уравнения непре­рывности. Это уравнение представляет собой по существу урав­нение непрерывности применительно к рассматриваемому слу­чаю. Рассмотрим объем жидкости, заключенный между двумя плоскостями поперечного сечения канала, находящимися на рас­стоянии dx друг от друга. За единицу времени через одну пло­скость войдет объем жидкости, равный (Sv)_x, а через другую плоскость выйдет объем (Sv)_x+dx. Поэтому объем жидкости между обеими плоскостями изменится на

(Sv)_x+dx-(Svh = ^^dx.

Но в силу несжимаемости жидкости это изменение может про­изойти только за счет изменения ее уровня. Изменение объема жидкости между рассматриваемыми плоскостями в единицу вре­мени равно

dS , _wdx.

Следовательно, можно написать:

dt ^ах дх ^ах'

или

ж+^ъг-⁰- (¹²-¹²>

Это и есть искомое уравнение непрерывности.

Пусть So есть площадь поперечного сечения жидкости в ка­нале при равновесии. Тогда S = So + S', где S' — изменение этой площади благодаря наличию волны. Поскольку изменение уровня жидкости в волне мало, то S' можно написать в виде где b — ширина сечения канала у самой поверхности жидкости в нем. Уравнение (12,12) приобретает тогда вид

Дифференцируя (12,13) по t и подставляя ~ из (12,11), получим:

£-Ш*й)-о- <¹²'¹⁴>

Если сечение канала одинаково вдоль всей его длины, то So = ■= const и

dt¹ ь дх^{2 u}- паю;

Уравнение такого вида называется волновым; как будет пока­зано в § 64, оно соответствует распространению волн с не зави­сящей от частоты скоростью 0, равной квадратному корню из коэффициента при д²%,/дх². Таким образом, скорость распростра­нения длинных гравитационных волн в каналах равна

^и==/\/-1Г- (¹²'¹⁶>

Аналогичным образом можно рассмотреть длинные волны в обширном бассейне, который мы будем считать неограничен­ным в двух измерениях (вдоль плоскости х, у). Глубину жидко­сти в бассейне обозначим посредством п. Из трех компонент ско­рости малой является теперь компонента v_z. Уравнения Эйлера приобретают вид, аналогичный (12,11):

&>х . dt _ dv„ dt

0.

Уравнение непрерывности выводится аналогично (12,12) и имеет вид

^дН , ^d{^hvx)- . ^d(^hvy)

df дх ду

Глубину h пишем в виде h = ho + £, где h₀ — равновесная глу­бина. Тогда

dt, d(h_nv\ d(h_Qv_u)

Предположим, что бассейн имеет плоское горизонтальное дно (/г₀ = const). Дифференцируя (12,18) по г и подставляя (12,17),

получим:

-§-^о(Э- + ||)~0. (12,19)

Это — опять уравнение типа волнового (двухмерного) уравне­ния; оно соответствует волнам со скоростью распространения, равной

U=^gh₀- (12,20)

Задачи

1. Определить скорость распространения гравитационных волн на неогра­ниченной поверхности жидкости, глубина которой равна h.

Решение. На дне жидкости нормальная составляющая скорости должна быть равна нулю, т. е.

<5ф п /

о₂ = -~ = 0 при z = — h.

дг

Из этого условия определяется отношение между постоянными А и В в об­щем решении

Ф = cos (kx — wt) {Ае^кг + Be~^kz}. В результате находим:

Ф = A cos (kx — <at) ch k (z + ft).

Из предельного условия (12,5) находим соотношение между к и со в виде

о² = gk th kh.

Скорость распространения волны

•}•

При kh > 1 получается результат (12,10), а при kh «С 1 —результат (12,20).

2. Определить связь между частотой и длиной волны для гравитацион­ных волн на поверхности раздела двух жидкостей, причем верхняя жидкость ограничена сверху, а нижняя — снизу горизонтальными неподвижными пло­скостями. Плотность и глубина слоя нижней жидкости р и А, а верхней р' и ft' (причем р > р').

Решение. Плоскость х, у выбираем по плоскости раздела обеих жидко­стей в равновесии. Ищем решение в обеих жидкостях соответственно в виде

<р = A ch k (г + A) cos (kx — Ш),

ф' = В ch k (г — A') cos (kx — Ы) ^

(так, чтобы удовлетворялись условия на верхней и нижней границах, — см. решение задачи 1). На поверхности раздела давление должно быть непре­рывным; согласно (12,2) это приводит к условию

дф -- ► . / ^Ф'

(при г = 0) или

Кроме того, скорости и_г обеих жидкостей на поверхности раздела должны быть одинаковыми. Это приводит к условию (при г = 0)

дф _ ^ЙФ' _т

^{~ьч —дГ- 1Л>}

Далее, о_г = -^- = -^- и, подставляя сюда (2), получаем: . ,. дф , (3V 5²ф

Подставляя (1) в (3) и (4), получим два однородных линейных уравнения для А и В, из условия совместности которых найдем:

_тг = ^feg (р ~ р'>

р cth kh + р' cth kh''

При йА > 1, kh' » 1 (обе жидкости очень глубоки):

■ kg-

р + р"

а при £А ■< 1, kh' <С 1 (длинные волны):

рА + р А

Наконец, если &ft I, kh' <g 1:

:fe² gA'

3. Определить связь между частотой и длиной волны для гравитацион­ных волн, распространяющихся одновременно по поверхности раздела и верх­ней поверхности двух слоев жидкости, из которых нижняя (плотность р) бесконечно глубока, а верхняя (плотность р') имеет толщину А' и свободную верхнюю поверхность.

Решение. Выбираем плоскость х, у в плоскости раздела обеих жидко­стей в равновесии. В нижней и верхней жидкостях ищем решение соответ­ственно в виде

_ф = Ае^кг cos (kx — Ы); ф' = [Be~^kz + Ce^kz\ cos (kx — mt). (1)

На поверхности раздела обеих жидкостей (т. е. при г — 0) имеют место условия (см. задачу 2):

дф дц>' . ,. (Эф , <?V д²ф

а на верхней свободной границе (т.е. при z — h'):

Первое из уравнений (2) при подстановке (1) дает А = С — В, а два осталь-

" и С,

дг g dt подстановке

рых получаем квадратное уравнение для w² с корнями:

ных условия дают два уравнения для В и С, из условия совместности кото

равнение для w² с к<

■2Ш

Р + р' + (р — р') е

_(Р-р')(1-_е-²*^Л')

со² = kg.

При п' ->- оо эти корни соответствуют волнам, распространяющимся незави­симо по поверхности раздела и по верхней поверхности жидкости.

4. Определить собственные частоты колебаний (см. § 69) жидкости глу­бины h в прямоугольном бассейне ширины а и длины Ъ.

Решение. Оси х и у выбираем по двум боковым сторонам бассейна. Ищем решение в виде стоячей волны:

Ф = cos at ch k (z + Л) / (x, у). Для / получаем уравнение

дх^{1 +} dy^{2 +} ' '

а условие на свободной поверхности приводят, как и в задаче 1, к соотно­шению

a² = gk th kh.

Решение уравнения для / берем в виде

/ = cos рх cos qy, р^г + q² = k².

На боковых сторонах сосуда должны выполняться условия: v_x = -—■ = 0 при х = 0, а;

-|£- = 0 при у = 0, Ь.

ду

Отсюда находим:

тл пп

где m, п — целые числа. Поэтому возможные значения k равны