§ 89. Ударные волны в политропном газе

Применим полученные в предыдущих параграфах общие со­отношения к ударным волнам в политропном газе.

Тепловая функция такого газа дается простой формулой (83,11). Подставив это выражение в (85,9), получим после про- стого преобразования р₂/р₁ следующую формулу: i

Ll-v_t —

^_ (у+ 1) pi + (у — 1>ра (Y-l)Pi + (Y+»)/»» " (89,1)

О

-1/6

2

Рис. 58

По этой формуле можно определить по трем из величин р_и Vi, р₂, V₂ чет­вертую. Отношение V₂/V\ является монотонно убы­вающей функцией отно­шения pi/pi, стремящей­ся к конечному пределу (у—1)/(у+1). Кривая, изображающая зависи­мость между р₂ и V₂ при заданных р\, V\ (ударная адиабата), представлена на рис. 58. Это — равнобочная гипербола с асимптотами

Y+ 1

Уг у — 1 £± Y—1

Pi

Y+ 1

') Во всех перечисленных на рис. 57 неэволюционных случаях возмуще­ние недоопределено — число произвольных параметров превышает число урав­нений Упомянем, что в магнитной гидродинамике ударные волны могут быть неэволюционными в силу кзк недоопределенности, так и переопределенности возмущений (см. VIII, § 73).

Реальным смыслом обладает, как мы знаем, только верхняя часть кривой над точкой V₂/Vi = Р2/Р1 = 1, изображенная на рис. 58 (для у = 1,4) сплошной линией.

Для отношения температур с обеих сторон разрыва имеем согласно уравнению состояния термодинамически идеального газа Т₂/Т_х = p₂V₂/piVi, так что

ll — H. Г<У + ^!>Р' + (V —0Р2 1 /oq ™

Ti р, L(Y-1)P. + (Y+1)P₂J^{- (} '>

Для потока / получаем из (85,6) и (89,1):

;2 _ (Y — 0 Pi + (у+ О Р2 _(яа о\

/ 21Л (оУ.-э)

и отсюда для скорости распространения ударной волны относи­тельно газов впереди и позади нее:

.2

°i = Т" [(V - 1) Pi + (Y + 1) Р₂] -= |г [(V ~ D + (Y + 1) .

(89 4)

„ У, [(У+1)Р! + (У-1)Р₂]² с₂ Г, п. / ,п^р<1 ^pl°-2-[(Y-l)p, + (Y+l)p₂l ⁼2^L<V-D + (Y+1)-^J.

и для разности скоростей:

V2TT(p₂-p,) ₅₎

[(Y-l)Pi + (Y+Dp₂]^{,/2 V}

В применениях полезны формулы, выражающие отношения плотностей, давлений и температур в ударной волне через число Mi = Vi/cu эти формулы без труда выводятся из полученных выше соотношений и гласят:

^Р2 " ^{(Y + 1)M}' (89,6)

р, о₂ (_v_l)Mf + 2

_Pl ^. - V*,- (ад

£2_ Pl

Г₂ [_2YM²-(v-l)][(Y-l)M² + 2]

Г, (y + 0²М² ' ¹ ' '

Число же М₂ = у₂/с₂ выражается через число Mi посредством

₂ 2 + (у-1)М²

М? = —-5^ —. (89,9)

2_YM²-(y- 1) ^v

Это соотношение симметрично относительно Mi и М₂, как это •становится очевидным, если записать его в виде уравнения

2yMiMl - (y — 1) (М? + Ml) = 2.

Выпишем предельные формулы для ударных волн очень большой интенсивности (требуется, чтобы бьмо (7 — 1)р₂"> >(V— 1 )pi). Имеем из (89,1—2):

ТТ—pT-J+T' -77-7+Г7Г- ⁽⁸⁹'^10>

Отношение T₂/Ti неограниченно растет вместе с р₂/р\, т. е. ска- чок температуры, как и скачок'давления, в ударной волне мо- жет быть сколь угодно большим. Отношение же плотностей стремится к постоянному пределу; так, для одноатомного газа предельное значение р₂ = 4р_ь для двухатомного р₂ = брь Ско- рости распространения ударной волны большой интенсивности равны

⁰^ ⁼ V'¹T^lp2Fl• ^VacT+i')^¹- ^(89,И>

Они растут пропорционально корню из давления р₂.

M,-l = l-M₂ = ^-_Z> ±i-=l+J^J__z,

Наконец, приведем соотношения для ударных волн слабой интенсивности, представляющие собой первые члены разложе­ний по степеням малого отношения г = (р₂— Р\)/р\-

v±l_z> £i._{= 1+}rzl 4v ci 2у

Pi Y 2Y² \ • /

Здесь сохранены члены, дающие первую поправку к значениям, отвечающим звуковому приближению.

Задачи