§ 86. Ударные волны слабой интенсивности

Рассмотрим ударную волну, в которой все величины испыты­вают лишь небольшой скачок; о таких разрывах мы будем гово­рить как об ударных волнах слабой интенсивности. Преобразуем соотношение (85,9), производя в нем разложение по степеням малых разностей s₂— Si и р₂ —Рь Мы увидим, что при таком разложении в (85,9) сокращаются члены первого и второго по­рядков по р₂— pi\ поэтому необходимо производить разложение по р₂ — р\ до членов третьего порядка включительно. По раз­ности же s₂— s\ достаточно разложить до членов первого по­рядка. Имеем:

= (|^)_р (* - s_t) + (|^-)_s (р₂ - р.) +

Но согласно термодинамическому соотношению dw — Tds -f* + Vdp имеем для производных:

_{(*).-'• (■£).-"•}

Поэтому

Щ — Щ = 7", (s₂ — si) + Vi (р₂ — Pi) +

Объем У2 достаточно разложить только по р₂ — рь поскольку во втором члене уравнения (85,9) уже имеется малая разность •р₂ — pi и разложение по s₂—si дало бы член порядка (s₂ — — Si) (Р2 — Pi), не интересующий нас. Таким образом,

"•-"-(£).<* "'■>⁺т(3).⁽*-''-

Подставляя эти разложения в (85,9), получим следующее соот­ношение:

s₂-s, = -!— (~\ (p₂-pi)³. ⁽86,1)

Таким образом, скачок энтропии в ударной волне слабой интен­сивности является малой величиной третьего порядка по срав­нению со скачком давления.

Адиабатическая сжимаемость вещества — (дV/dp)_s практи­чески всегда падает с увеличением давления, т. е. вторая произ-

водная ')

^{(!?■). >°- ^}

Подчеркнем, однако, что это неравенство не является термоди­намическим соотношением и, в принципе, возможны его нару­шения²). Как мы неоднократно увидим ниже, в газодинамике знак производной (86,2) весьма существен; в дальнейшем мы будем всегда считать его положительным.

Проведем через точку / (р_ь Vi) на р, К-диаграмме две кри­вые— ударную адиабату и адиабату Пуассона. Уравнение адиа­баты Пуассона есть s₂ — Si = 0. Из сравнения этого уравнения с уравнением (86,1) ударной адиабаты вблизи точки / видно, что обе кривые касаются в этой точке, причем имеет место каса­ние второго порядка — совпадают не только первые, но и вторые производные. Для того чтобы выяснить взаимное расположение обеих кривых вблизи точки /, воспользуемся тем, что согласно (86,1) и (86,2) при р2> Р\ на ударной адиабате должно быть Sa > si, между тем как на адиабате Пуассона остается s₂ = si-Поэтому абсцисса точки на ударной адиабате должна быть при той же ординате р₂ больше абсциссы точки на адиабате Пуас­сона. Это следует из того, что согласно известной термодинами­ческой формуле

V ds )р с_р \ дТ )_р

') Для политропного газа

( д⁷У\ _ у+1 V_ \ dp² )s Y² Р² *

Это выражение проще всего можно получить путем дифференцирования урав­нения адиабаты Пуассона pV^v = const.

^г) Так, это может иметь место в области вблизи критической точки жид­кость — газ. Ситуация с нарушением условия (86,2) может быть также имитирована на ударной адиабате для среды, допускающей фазовый переход (в результате чего на адиабате возникает излом). См. об этом в книге: Зель­дович Я- Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. — Изд. 2-е. — М.: Наука, 1966, гл. I, § 19; гл. XI, § 20.

⁸) При (dVldT)p < 0 расположение обеих кривых было бы обратным»

_{энтропия растет с увеличением объема при постоянном давле­нии — для всех тел, которые расширяются при нагревании, т. е. у которых (дУ/дТ)р>0. Аналогично убеждаемся в том, что ниже точки / (т. е. при рй < pi) абсциссы точек адиабаты Пуассона должны быть больше абсцисс ударной адиабаты. Таким обра­зом, вблизи точки своего касания обе кривые расположены ука­занным на рис. 55 образом (##' — ударная адиабата, а РР' —• адиабаты Пуассона)}³_{), причем в силу (86,2) обе обращены вог­нутостью вверх.}

При малых р2—pi и V₂—Vi формулу (85,6) можно напи­сать в первом приближении в виде

_г—т.

( мы пишем здесь производную при постоянной энтропии, имея в виду, что касательные к адиабатам Пуассона и ударной в точке 1 совпадают). Далее, скорости vi и v₂ в том же приближении одинаковы и равны

_{-я'-л/-^(*).-л/Ш.}

Но это есть не что иное, как скорость зву­ка с. Таким образом, скорость распростра­нения ударных волн слабой интенсивности совпадает в первом приближении со ско­ростью звука:

v = c. (86,3)

Рис. 56 Из полученных свойств ударной адиаба-

ты в окрестности точки 1 можно вывести ряд существенных следствий. Поскольку в ударной волне долж­но выполняться условие s₂ > s\, то должно быть и

Р2 > Pl,

т. е. точки 2 (р₂, V₂) должны находиться выше точки /. Далее, поскольку хорда 12 идет круче касательной к адиабате в точке / (рис. 53), а тангенс угла наклона этой касательной равен про­изводной {dpi/dV\)si, имеем:

г->-Ш,-

Умножая это неравенство с обеих сторон на V\, находим:

где Ci — скорость звука, соответствующая точке /. Таким обра­зом,

Vi > С\.

Наконец, из того, что хорда 12 расположена менее круто, чем касательная в точке 2, аналогичным образом следует, что

V2 < С₂ ').

') Последняя аргументация применима только вблизи точки 1, где тан­генс угла наклона касательной к ударной адиабате в точке 2 отличается от производной {dp₂idVi)_s лишь на величину второго порядка малости.