§ 10. Несжимаемая жидкость

В очень многих случаях течения жидкостей (и газов) их плотность можно считать неизменяющейся, т. е. постоянной вдоль всего объема жидкости в течение всего времени движения. Другими словами, в этих случаях при движении не происходит заметных сжатий или расширений жидкости. О таком движении говорят как о движении несжимаемой жидкости.

Общие уравнения гидродинамики сильно упрощаются при применении их к несжимаемой жидкости. Правда, уравнение Эйлера не меняет своего вида, если положить в нем р = const, за исключением только того, что в уравнении (2,4) можно внести р под знак градиента:

*L ₊ (vV)v = -V^ + g. (10,1)

Зато уравнение непрерывности принимает при р = const про­стой вид

divv = 0. (10,2)

Поскольку плотность не является теперь неизвестной функ­цией, как это имеет место в общем случае, то в качестве основ­ной системы уравнений гидродинамики несжимаемой жидкости можно выбрать уравнения, содержащие только скорость. Та­кими уравнениями являются уравнение непрерывности (10,2) и уравнение (2,11):

-щ- rotv = rot[vrotv]. (10,3)

Уравнение Бернулли тоже может быть написано для несжи­маемой жидкости в более простом виде. Уравнение (10,1) отли­чается от общего уравнения Эйлера (2,9) тем, что вместо Sw в нем стоит V(p/p). Поэтому мы можем сразу написать уравне­ние Бернулли, заменив просто в (5,4) тепловую функцию отно­шением р/р:

Т + Т + 8^г== ^const- <¹⁰-⁴)

Для несжимаемой жидкости можно писать р/р вместо w также и в выражении (6,3) для потока энергии, которое принимает тогда вид

pv (£ + ■£)• <¹⁰>5)

Действительно, согласно известному термодинамическому соот­ношению имеем для изменения внутренней энргии выражение dz — Т ds — pdV\ при s = const и V = 1/р = const имеем ofe=0, т. е. е = const. Поскольку же постоянные члены в энергии не­существенны, то можно опустить е и в w = г + р/р.

В особенности упрощаются уравнения для потенциального течения несжимаемой жидкости. Уравнение (10,3) удовлетво­ряется при rotv = 0 тождественно. Уравнение же (10,2) при подстановке v = grad ф превращается в

Аф = 0,

(10,6)

т. е. в уравнение Лапласа для потенциала ф¹). К этому уравне­нию должны быть добавлены граничные условия на поверхно­стях соприкосновения жидкости с твердыми телами: на непо­движных твердых поверхностях нормальная к поверхности ком­понента v_n скорости жидкости должна быть равна нулю, а в об­щем случае движущихся твердых тел v_n должна быть равна проекции скорости движения тела на направление той же нор­мали (эта скорость является заданной функцией времени). Ско­рость v_n равна, с другой стороны, производной от потенциала ф

по направлению нормали: ^vn — ^- Таким образом, граничные

, dw

условия гласят в общем случае, что является на границах

заданной функцией времени и координат.

При потенциальном движении скорость связана с давлением уравнением (9,3). В случае несжимаемой жидкости в этом урав­нении можно писать р/р вместо до:

dt ^т 2 ^т р ' ^К1>'

(Ю,7)

Отметим здесь следующее важное свойство потенциального движения несжимаемой жидкости. Пусть через жидкость дви­жется какое-нибудь твердое тело. Если возникающее при этом течение жидкости является потенциальным, то это течение за­висит в каждый момент только от скорости движущегося тела в этот же момент времени, но, например, не от его ускорения.

Действительно, самое уравнение (10,6) не содержит времени явно; время входит в решение лишь через граничные условия, содержащие только скорость движущего­ся в жидкости тела.

Из уравнения Бернулли v²/2 + р/р = = const видно, что при стационарном дви­жении несжимаемой жидкости (без поля тяжести) наибольшее значение давлений достигается в точках, где скорость обра­щается в нуль. Такая точка обычно име­ется на поверхности обтекаемого жид­костью тела (точка О на рис. 2) и называется критической точ­кой. Если и — скорость натекающего на тело потока жидкости (т. е. скорость жидкости на бесконечности), а ро — давление на бесконечности, то давление в критической точке равно

. ри'

Ртах ⁼⁼ Ро i 2~ '

(10,8)

') Потенциал скорости был впервые введен Эйлером. Им же было полу­чено для этой величины уравнение вида (10,6), получившее впоследствии название уравнения Лапласа.

Если распределение скоростей в движущейся жидкости за­висит только от двух кородинат, скажем от х и у, причем ско­рость параллельна везде плоскости ху, то о таком течении гово­рят как о двухмерном или плоском. Для решения задач о двух­мерном течении несжимаемой жидкости иногда бывает удобным выражать скорост' через так называемую функцию тока. Из уравнения непрерывности

dv_r до,.

видно, что компоненты скорости могут быть написаны в виде

производных

от некоторой функции гр(л:,у), называемой функцией тока. Урав­нение непрерывности при этом удовлетворяется автоматически. Уравнение же, которому должна удовлетворять функция тока, получается подстановкой (10,9) в уравнение (10,3)

Зная функцию тока, можно непосредственно определить форму линий тока для стационарного движения жидкости. Дей­ствительно, дифференциальное уравнение линий тока (при двух­мерном течении) есть

dx dy

v о * и

-или Vydx — v_Kdy = 0; оно выражает собой тот факт, что направ­ление касательной к линии тока в каждой точке совпадает с на­правлением скорости. Подставляя сюда (10,9), получаем:

откуда гр = const. Таким образом, линии тока представляют со­бой семейство кривых, получающихся приравниванием функции тока ip(x, у) произвольной постоянной.

Если между двумя точками V и 2 в плоскости х, у провести кривую, то поток жидкости Q через эту кривую определится разностью значений функции тока в этих точках независимо от формы кривой. Действительно, если v„ — проекция скорости на нормаль к кривой в данной ее точке, то

2 2 2

Q = р\ v_n dl = р ij ( — v_v dx + v_x dy) = p ^ rfip,

I 1 !

или

Q = p(ifc-1>,). (10,11)

Мощные методы решения задач о плоском потенциальном обтекании несжимаемой жидкостью различных профилей свя­заны с применением к ним теории функций комплексного пере­менного¹). Основание для этих применений заключается в сле­дующем. Потенциал и функция тока связаны с компонентами скорости посредством²)

д<р _ <Эф dg> дф

Но такие соотношения между производными функций f и f с математической точки зрения совпадают с известными усло­виями Коши-Римана, выражающими собой тот факт, что ком­плексное выражение

да = Ф + и|) (10,12)

является аналитической функцией комплексного аргумента г'= х -4- iy. Это значит, что функция w(z) будет иметь в каждой точке определенную производную

Функцию да- называют комплексным потенциалом, а 4^—

комплексной скоростью. Модуль и аргумент последней опреде­ляют абсолютную величину скорости v и угол G ее наклона к на-' правлению оси х:

^ = »<?-«». (10,14)

На твердой поверхности обтекаемого контура скорость должна быть направлена по касательной к нему. Другими сло­вами, контур должен совпадать с одной из линий тока, т. е. на нем должно быть ф = const; эту постоянную можно выбрать равной нулю, и тогда задача об обтекании жидкостью заданного контура сводится к определению аналитической функции да (г), принимающей на этом контуре вещественные значения. Более сложна постановка задачи в случаях, когда жидкость имеет сво­бодную поверхность (такой пример — см. задачу 9 к этому па­раграфу).

Интеграл от аналитической функции по какому-либо замк­нутому контуру С равен, как известно, умноженной на 2л/ сумме

') Подробное изложение этих методов и их многочисленных применений может быть найдено во многих курсах и монографиях по гидродинамике с более математическим уклоном. Здесь мы ограничиваемся лишь объяснением основной идеи метода.

^г) Напомним, однако, что существование самой по себе функции тока связано только с двухмерностью течения, и отнюдь не требует его потен­циальности.

вычетов этой функции относительно ее простых полюсов, распо­ложенных внутри С; поэтому

w' dz — 2ni A_k,

k

где A_k—-вычеты комплексной скорости. С другой стороны, имеем:

ф w' dz = ф (v_x — iv_y) (dx -f / dy) =

= ф (v_x dx + v_y dy) + / ф (v_x dy — Vy dx).

Вещественная часть этого выражения есть не что иное, как цир­куляция Г скорости по контуру С. Мнимая же часть (умножен­ная на р) представляет собой поток жидкости через этот кон­тур; при отсутствии внутри контура источников жидкости этот поток равен нулю, и тогда имеем просто

Г = 2ш^4 (10,15)

(все вычеты А_к при этом чисто мнимые).

Наконец, остановимся на условиях, при выполнении кото­рых жидкость можно считать несжимаемой. При адиабатическом изменении давления на Ар плотность жидкости изменится на .

^*-(£)>

Но согласно уравнению Бернулли колебания давления в стацио­нарно движущейся жидкости — порядка величины Ар ~ pv². Производная же (dp/dp)_s представляет собой (как мы увидим в § 64) квадрат скорости звука с в жидкости. Таким образом,

находим оценку

Ар ~ pv²/c².

Жидкость можно считать несжимаемой, если Ар/р <С 1. Мы ви­дим, что необходимым условием для этого является малость ско­рости ее движения по сравнению со скоростью звука:

и «с. (10,16)

Это условие достаточно, однако, только при стационарном движении. При нестационарном движении необходимо выполне­ние еще одного условия. Пусть т и / — величины порядка проме­жутков времени и расстояний, на которых скорость жидкости испытывает заметное изменение. Сравнив члены dv/dt и Vp/p в уравнении Эйлера, получим, по порядку величины* v/x ~ ~ Ар/lp или Ар ~ Ipv/t, а соответствующее изменение р есть Ар ~ lpv/тс². Сравнив теперь члены dp/dt и pdivv в уравнении непрерывности, найдем, что производной dp/dt можно прене­бречь (т. е. можно считать, что р = const) в случае, если Ар/т<С pv/l или

T>f. (10,17)

Выполнение обоих условий (10,16) и (10,17) достаточно для того, чтобы можно было считать жидкость несжимаемой. Усло­вие (10,17) имеет наглядный -мысл— оно означает, что время 1/с, в течение которого звуковой сигнал пройдет расстояние /, мало по сравнению со временем т, в течение которого заметно изменяется движение жидкости и, таким образом, дает возмож­ность рассматривать процесс распространения взаимодействий в жидкости как мгновенный.

Задачи

1. Определить форму поверхности несжимаемой жидкости в поле тяжести в цилиндрическом сосуде, вращающемся вокруг своей оси с постоянной угло- вой скоростью Q.

Решение. Ось г выбираем по оси цилиндра. Тогда v_x = —Qy, v_y = Qx, v_z = 0. Уравнение непрерывности удовлетворяется автоматически, а уравнение Эйлера (10,1) дает:

г.2 ¹ др „, 1 dp 1 др . р дх ' " р ду р dz ^s

Общий интеграл этих уравнений есть

= у Q² (*² + у²) -gz + const.

На свободной поверхности р = const, так что эта поверхность является па-раболоидом: z = J(jc² + I/²) (начало координат — в низшей точке по­верхности).

2. Шар (радиуса R) движется в несжимаемой идеальной жидкости. Опре- делить потенциальное течение жидкости вокруг шара.

Решение. На бесконечности скорость жидкости должна обращаться в нуль. Обращающимися на бесконечности в нуль решениями уравнения Лап­ласа Дф = 0 являются, как известно, 1/г и производные различных порядков от 1/л по координатам (начало координат — в центре шара). Ввиду полной симметрии шара в решение может войти лишь один постоянный вектор — ско­рость и, а ввиду линейности уравнения Лапласа и граничного условия к нему ф должно содержать и линейным образом. Единственным скаляром, который можно составить из и и производных от 1/г, является произведение uV(l/r). Соответственно этому ищем ф в виде

Ф _{г г}2

(л — единичный вектор в направлении радиус-вектора). Постоянная А опре­деляется из условия равенства нормальных к поверхности шара компонент скоростей v и u (vn = un) при г = R. Это условие дает А = uR³/2, так что

^ un, v = -§-£■ [Зп (ип) — и].

2г² ' 2г³

Распределение давления определяется формулой (10,7):

po^s д®

р=ро—г-^р^г

(ро — давление на бесконечности). При вычислении производной д<р/д/ надо иметь в виду, что начало координат (выбранное нами в центре шара) сме­щается со временем со скоростью и. Поэтому

dtp дф • „

Распределение давления на поверхности шара дается формулой Р = Ро + (9 cos² в - 5) + JL Ra 4}-

(9 —угол между пни).

3. То же для бесконечного цилиндра, движущегося перпендикулярно к своей оси ⁴).

Решение. Течение не зависит от координаты вдоль оси цилиндра, так что приходится решать двухмерное уравнение Лапласа. Обращающимися а нуль на бесконечности решениями являются производные от In г по коор­динатам, начиная от первого порядка и выше (г — перпендикулярный к оси цилиндра радиус-вектор). Ищем решение в виде

Ф = А V In г = -^2-г

и с помощью граничных условий получаем А = —R²u, так что

Ф = — un, о = -р-[2n (un) — и].

Давление на поверхности цилиндра дается формулой

P = Po+-^£^-(4cos²e-3) + p/?n ~.

4. Определить потенциальное движение идеальной несжимаемой жидко- сти в эллипсоидальном сосуде, вращающемся вокруг одной из своих главных осей с угловой скоростью И; определить полный момент импульса жидкости в сосуде.

Решение. Выбираем декартовы координаты х, у, г вдоль осей эллип­соида в данный момент времени; ось вращения совпадает с осью г. Скорость стенки сосуда есть u — [Qr], так что граничное условие v„ — ду/дп = и_л есть

^- = Q(xn_y — уп_х),

X <?ф , у <Эф

a² dx

или, используя уравнение эллипсоида х^г\а^г + у²/Ь² + г^г1с^г = 1:

. _i_ _JL _£fL 4. _£_ _f?SL xuQ ( — L⁴!

') Решение более общих задач о потенциальном обтекании эллипсоида и цилиндра эллиптического сечения см. в книгах:

Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. — Физматгиз, 1963, ч. 1, гл. VII; Лэмб Г. Гидродинамика. — М.: Гоствхиздат, [1947, §§ 103—116 (Lamb Н. Hydrodynamics. — Cambridge, 1932).

Решение уравнение Лапласа, удовлетворяющее этому условию, есть

Ф = Q

а² + Ь'

ху.

Момент импульса жидкости в сосуде

М = р ^ (xv_y ■

■ yv_x) dV.

М

Интегрируя по объему эллипсоида, получаем

QpV (a²-b'Y

а² + Ь²

Формула (1) определяет абсолютное движение жидкости, отнесенное к мгновенному положению осей х, у, г, связанных с вращающимся сосудом. Движение же относительно сосуда (т. е. относительно вращающейся системы координат х, у, г), получится вычитанием скорости [fir] из абсолютной ско­рости жидкости; обозначив относительную скорость жидкости v', имеем

2Qb'

дф

■ х.

20а²

+ &У

дх ' ~" а²+Ь^{2 У}' "^и а² + Ь²

Траектории относительного движения получаются путем интегрирования урав­нений х = v_x, у = v_и и представляют эллипсы х^г\а² + y²lb² — const, подоб­ные граничному эллипсу.

5. Определить течение жидкости вблизи критической точки на обтекаемом теле (рис. 2).

Решение. Малый участок поверхности тела вблизи критической точки можно рассматривать как плоский. Выбираем его в качестве плоскости ху. Разлагая ф при малых х, у, z в ряд, имеем с точностью до членов второго порядка:

_ф = ах + by + cz + Ах² + By² + Cz² + Dxy + Eyz + Fxz

(постоянный член в ф несуществен). Постоянные коэффициенты определяем так, чтобы ф удовлетворяло уравнению Дф = О и граничным условиям v_z = дц>/дг = 0 при z — 0 и всех х, у и ду/дх = д<р/ду = 0 при дг = у =

— г = 0 (в критической точке). Это дает

а = 6 = с = 0; С = —А — В, £ = F = 0.

Член Dxy может быть всегда исключен соот­ветствующим поворотом осей х и у. В резуль­тате получаем:

Ф == Ах² + Ву² — (A + B)z². (1)

Если течение обладает аксиальной сим­метрией вокруг оси z (симметричное обтека­ние тела вращения), то должно быть А = В, так что

Ф = А(х² + у² — 2г²).

Компоненты скорости равны

v_x = 2Ах, v_y = 2Ау, »_г = —ААг.

Линии тока определяются уравнениями (5; 2), откуда x²z = с_и y²z = с₂, т. е. линии тока являются кубическими гиперболами.

Если течение является однородным вдоль оси у (например, при обтека­нии в направлении оси z цилиндра с осью вдоль оси у), то в (1) должно быть В =ж 0, так что

Ф == А(х²— г²). Линиями тока являются гиперболы xz = const.

6. Определить движение жидкости при потенциальном обтекании угла, образованного двумя пересекающимися плоскостями (вблизи вершины угла).

Решение. Выбираем полярные координаты г, 6 в плоскости попереч­ного сечения, перпендикулярной к линии пересечения плоскостей, с началом в вершине угла. Угол 9 отсчитывается от одной из прямых, образующих сече­ние угла. Пусть а есть величина обтекаемого угла; при а <С я течение про­исходит внутри угла, при а > л — вне его. Граничное условие исчезновения нормальной составляющей скорости гласит dop/d8 = 0 при в = 0 и а. Удо­влетворяющее этому условию решение уравнения Лапласа пишем в виде')

Ф = Ar" cos nQ, п = я/а,

так что

v_r = nArⁿ-^x cos «0, 0_е=—nAⁿ~^[ sin nQ.

При п <С 1 (обтекание выпуклого угла; рис. 3) v обращается в начале коор­динат в бесконечность как г-⁽¹-^п>. При п > 1 (течение внутри вогнутого уг­ла — рис. 4) v обращается при г = 0 в нуль.

Функция тока, определяющая форму линий тока, есть

ф = Ar sin nQ.

Полученные для ф и ♦ выражения являются ве­щественной и мнимой частями комплексного по­тенциала w — ,4г"²).

7. Из несжимаемой жидкости, заполняющей все пространство, внезапно удаляется сфериче­ский объем радиуса а. Определить время, в те^: чение которого образовавшаяся полость запол­нится жидкостью (Besant, 1859; Rayleigh, 1917).

Решение. Движение жидкости после обра­зования полости будет центрально-симметрическим

со скоростями, направленными в каждой точке по радиусу к центру. Для радиальной скорости

и, = v < О

+ v

(1)

имеем уравнение Эйлера (в сферических координатах)

dv , dv 1 dp

dr ~ p dr

dt

Уравнение непрерывности дает:

(2)

где F(t)—произвольная функция времени; это равенство выражает собой тот факт, что в силу несжимаемости жидкости объем, протекающий через сферу любого радиуса, не зависит от последнего. Подставляя у из (2) в (1), имеем:

г¹ dr

1 dp р dr

') Выбираем решение с наиболее низкой (малые г!) положительной сте­пенью г.

²) Задачи 5 и 6, если рассматривать граничные плоскости в них как бесконечные, вырождены в том смысле, что значения постоянных коэффициен­тов А, В в их решениях остаются неопределенными. В реальных случаях об­текания конечных тел эти значения определяются условиями задачи в целом.

Интегрируя это уравнение по г в пределах от оо до радиуса заполняющейся полости, получим:

R(t) ^ 2 р

где V = dR(t)/dt — скорость изменения радиуса полости, а ро— давление на бесконечности; скорость жидкости на бесконечности, а также давление на поверхности полости равны нулю. Написав соотношение (2) для точек на поверхности полости, находим:

F (t) = R² (t) V (t),

и, подставив это выражение для F(t) в (3), получим следующее уравнение)

2 т«чг~Т' ⁽⁾

В этом уравнении переменные разделяются и, интегрируя его при начальном условии V = О при R = a (в начальный момент жидкость покоилась), най- дем:

у_ dR /2р„ ( а³ \

Отсюда имеем для искомого полного времени заполнения полости:

dR

₀ V(a/tf)³-l*

Этот интеграл приводится к виду В-интеграла Эйлера, и вычисление дает окончательно:

_V

2р₀ Г (1/3) V Ро

8. Погруженная в несжимаемую жидкость сфера расширяется по задан­ному закону R — R(t). Определить давление жидкости на поверхности сферы.

Решение. Обозначим искомое давление посредством P(t). Вычисления в точности аналогичны произведенным в предыдущей задаче с той лишь раз­ницей, что при г = R давление равно не нулю, a P(t). В результате получим вместо( 3) уравнение

F'(t) У² Ро P(t)

' О _п л

R(t) 2 р

и соответственно вместо (4) уравнение

Ро - Р (t) W dV £ ^e 2~-^RV4R-

Имея в виду, что V = dR/dt, можно привести выражение для P(t) к виду

9. Определить форму струи, вытекающей из бесконечно длинной щели прорезанной в плоской стенке.

Решение. Пусть в плоскости х, у стенка совпадает с осью х, отвер­стие есть отрезок —а/2 < х < а/2 этой оси, а жидкость занимает полупло­скость у > 0. Вдали от стенки (при у-*-оо) скорость жидкости равна нулю, а давление пусть будет ро-

На свободной поверхности струя (ВС и В'С на рис. 5, а) давление р=0, а скорость согласно уравнению Бернулли имеет постоянную величину D, = V2po/P- Линии стенки, продолжающиеся в свободную границу струи, представляют собой линии тока. Пусть на линии ABC ф = 0; тогда на линии А'В'С' i|) = —Q/p, где Q = pa_{vi — расход жидкости в струе (fli, V[—ширина

£ ^в г

© А'

Ъ}

®

®

Д' В' Г.С В А

-/ I I

С

6)

W 1

г)

Рис. 5

струи и скорость жидкости в ней на бесконечности). Потенциал ф меняется как на линии ABC, так и на линии А'В'С от —оо до +°°; пусть в точках В и В' ф = 0. Тогда в плоскости комплексного переменного w области течения будет соответствовать бесконечная полоса ширины Q/p (обозначения точек на рис. 5,6 — г соответствуют обозначениям на рис. 5,о в плоскости х, у).

Введем новую комплексную переменную — логарифм комплексной ско­рости:

(о,е'"'²— комплексная скорость на бесконечности струи). На А'В' имеем 6 = 0; на АВ 0 = —я на ВС и В'С v = vi, причем на бесконечности струи 6 = —л/2. Поэтому в плоскости переменного 'Q области течения соответствует полуполоса ширины я, расположенная в правой полуплоскости (рис. 5, е). Если мы теперь найдем конформное преобразование, переводящее полосу пло­скости w в полуполосу плоскости I (с указанным на рис. 5 соответствием точек), то тем самым мы определим ш как функцию от dw/dz; функция ш может быть найдена затем одной квадратурой.

Для того чтобы найти искомое преобразование, введем еще одну вспомо­гательную комплексную переменную и, такую, чтобы в плоскости и области течения соответствовала верхняя полуплоскость, причем точкам В и В' соот­ветствуют точки и = ±1, точкам С, С и — 0, а бесконечно удаленным точ­кам А я А' и = ±оо (рис. 5,г). Зависимость w от этой вспомогательной переменной определяется конформным преобразованием, переводящим верх­нюю полуплоскость и в полосу плоскости w. При условленном соответствии точек это есть

w = — In и. (2)

ря

Чтобы найти зависимость £ от и, надо найти конформное отображение полу­полосы плоскости Z, в верхнюю полуплоскость и. Рассматривая эту полупо­лосу как треугольник, одна из вершин которого удалена в бесконечность, можно найти искомое отображение с помощью известной формулы Шварца ^~ Кристоффеля; ответ гласит

£ = — I arcsin и. (3)

Формулы (2), (3) решают задачу, определяя в параметрическом виде зави­симость dw/dz от w.

Определим форму струи. На ВС имеем w — <р, £ = /^4р+ 9^, а ы ме­няется между 0 и 1. Из (2) и (3) получим:

<р = — In (— cos 6), (4)

^т ря ^v '

а из (1) rfqp/dz = Vie-' 6, или

dz = dx + i dy = — е^ш йф = — e^m tg- 9 d8,

С] я

откуда интегрированием (с условиями у = 0, х — а/2 при 6 = —я) найдем в параметрическом виде форму струи. В частности, для сжатия струи полу­чается Ui/a — я/(2 + я) = 0,61.

§ П. Сила сопротивления при потенциальном обтекании

Рассмотрим задачу о потенциальном обтекании несжимаемой идеальной жидкостью какого-либо твердого тела. Такая задача, конечно, полностью эквивалентна задаче об определении тече­ния жидкости при движении через нее того же тела. Для полу­чения второго случая из первого достаточно перейти к системе координат, в, которой жидкость на бесконечности покоится. Мы будем говорить ниже именно о движении твердого тела через жидкость.

Определим характер распределения скоростей в жидкости на больших расстояниях от движущегося тела. Потенциальное дви­жение несжимаемой жидкости определяется уравнением Лап­ласа Дер = 0. Мы должны рассмотреть такие решения этого уравнения, которые обращаются на бесконечности в нуль, по­скольку жидкость на бесконечности неподвижна. Выберем на­чало координат где-нибудь внутри движущегося тела (эта си­стема координат движется вместе с телом; мы, однако, рассмат­риваем распределение скоростей в жидкости в некоторый за­данный момент времени). Как известно, уравнение Лапласа имеет решением 1/г, где г — расстояние от начала координат. Решением являются также градиент V(l/r) и следующие произ­водные от 1/г по координатам. Все эти решения (и их линейные

комбинации) обращаются на бесконечности в нуль. Поэтому об­щий вид искомого решения уравнения Лапласа на больших рас­стояниях от тела есть

q>=--7 + AV7-+ ....

где а, А не зависят от координат; опущенные члены содержат производные высших порядков от 1/г. Легко видеть, что по­стоянная а должна быть равной нулю. Действительно, потен­циал ф = —а/г дает скорость

Вычислим соответствующий поток жидкости через какую-нибудь замкнутую поверхность, скажем, сферу с радиусом R. На этой поверхности скорость постоянна и равна a/R²; поэтому полный поток жидкости через нее равен p(a/R²)4nR² = 4лра. Между тем, поток несжимаемой жидкости через всякую замкнутую по­верхность должен, очевидно, обращаться в нуль. Поэтому за­ключаем, что должно быть а = 0.

Таким образом, ф содержит члены, начиная с членов порядка 1/г². Поскольку мы ищем скорость на больших расстояниях, то члены более высоких порядков можно опустить, и мы получаем:

<р = ayf =-4?-, (ИД)

а для скорости v = grad ф

/ а \ 1 3 (An) п — А v = (av)vy = -^L-75 (11,2)

(п — единичный вектор в направлении г). Мы видим, что на больших расстояниях скорость падает, как 1/г³. Вектор А за­висит от конкретной формы и скорости движения тела и может быть определен только путем полного решения уравнения Дф = 0 на всех расстояниях, с учетом соответствующих гранич­ных условий на поверхности движущегося тела.

Входящий в (11,2) вектор А связан определенным образом с полным импульсом и с полной энергией жидкости, обтекающей движущееся в ней тело. Полная кинетическая энергия жидкости (внутренняя энергия несжимаемой жидкости постоянна) есть

E = %\x?dV,

где интегрирование производится по всему пространству вне тела. Выделим из пространства часть V, ограниченную сферой большого радиуса R, с центром в начале координат и будем ин­тегрировать сначала только по объему V, имея в виду стремить затем R к бесконечности. Имеем тождественно

^{J v2dV = J u2dV + J (\ + u)(v — u)dV,}

где u — скорость тела. Поскольку u есть не зависящая от коор­динат величина, то первый интеграл равен просто u²(V—V₀), где Vo — объем тела. Во втором же интеграле пишем сумму v-4-u в виде V(<p-r-ur) и, воспользовавшись также тем, что divv = 0 в силу уравнения непрерывности, a div и = 0, имеем:

^{J v2 dV = и2 (V - V}₀^{) + J div {(ф + ur) (v - u)} dV.}

Второй интеграл преобразуем в интеграл по поверхности S сферы и поверхности S₀ тела:

\v²dV = u²(V - V_Q)+ ф (q, + ur)(v-u)df.

S+Sj

На поверхности тела нормальные компоненты v и и равны друг другу в силу граничных условий; поскольку вектор di направлен как раз по нормали к поверхности, то ясно, что интеграл по So тождественно обращается в нуль. На удаленной же поверхности S подставляем для ф и v выражения (11,1—2) и опускаем члены, обращающиеся в нуль при переходе к пределу по /?->оо. На­писав элемент поверхности сферы 5 в виде di = nR²do, где do — элемент телесного угла, получим:

^{J v2 dV = и2 R3 - V}₀^{) + \ {3 (An) (un) - (un)2 R3} do.}

Наконец, произведя интегрирование¹) и умножив на р/2, полу­чаем окончательно следующее выражение для полной энергии жидкости:

Е = | (4лАи — VoU²). (11,3)

Как уже указывалось, точное вычисление вектора А требует полного решения уравнения Аф = 0 с учетом конкретных гра­ничных условий на поверхности тела. Общий характер зависи­мости А от скорости и тела можно, однако, установить уже не­посредственно из факта линейности уравнения для ф и линей­ности (как по ф, так и по и) граничных условий к этому урав­нению. Из этой линейности следует, что А должно быть линейной

') Интегрирование по do эквивалентно усреднению подынтегрального выражения по всем направлениям вектора п и умножению затем на 4я. Для усреднения выражений типа (An) (Вп) вв АтВьПк (А, В — постоянные век­торы), пишем

(An) (Вп) = Afi^H = т ^bih^Ai^Bh = } ^АВ­же функцией от компонент вектора и. Определяемая же форму­лой (11,3) энергия Е является, следовательно, квадратичной функцией компонент вектора и и потому может быть представ­лена в виде

^{Е= 'V ■ (11,4)}

где niik — некоторый постоянный симметрический тензор, компо­ненты которого могут быть вычислены с помощью компонент вектора А; его называют тензором присоединенных масс.

Зная энергию Е, можно получить выражение для полного импульса р жидкости. Для этого замечаем, что бесконечно ма­лые изменения Е и р связаны цруг с другом соотношением dE = udP^[); отсюда следует, что если Е выражено в виде (11,4), то компоненты р должны иметь вид

Pi — niikUk- (11,3)

Наконец, сравнение формул (11,3—5) показывает, что р выра­жается через А следующим образом:

р = 4ярА —pVoU. (11,6)

Следует обратить внимание на то, что полный импульс жидкости оказывается вполне определенной конечной величиной.

Передаваемый в единицу времени от тела к жидкости им­пульс есть dP/dt. Взятый с обратным знаком, он определяет, очевидно, реакцию f жидкости, т. е. действующую на тело силу:

^{f = -4t (вд}

*) Действительно, пусть тело ускоряется под влиянием какой-либо внеш­ней силы F. В результате импульс жидкости будет возрастать; пусть dP есть его приращение в течение времени dt Это приращение связано с силон по­средством rfP = F dt, а умноженное на скорость и дает и dP = Fu dt, т. е. работу силы F на пути vtdt, которая в свою очередь должна быть равна уве­личению энергии dE жидкости

Следует заметить, что вычисление импульса непосредственно как инте­грала ^ pv dV по всему объему жидкости было бы невозможным. Дело в

том, что этот интеграл (со скоростью v, распределенной по (11,2)) расходится в том смысле, что результат интегрирования, хотя и конечен, но зависит от способа взятия интеграла: производя интегрирование по большой области, размеры которой устремляются затем к бесконечности, мы получили бы зна­чение, зависящее от формы области (сфера, цилиндр и т. п.). Используемый же нами способ вычисления импульса, исходя из соотношения udP = dE, приводит ко вполне определенному конечному значению (даваемому форму­лой (11,6)), заведомо удовлетворяющему физическому условию о связи из­менения импульса с действующими на тело силами.

^{Параллельная скорости тела составляющая f называется силой сопротивления, а перпендикулярная составляющая — подъемной силой.}

Если бы было возможно потенциальное обтекание равно­мерно движущегося в идеальной жидкости тела, то было бы Р = const (так как u = const) и F = 0. Другими словами, от­сутствовала бы как сила сопротивления, так и подъемная сила, т. е. действующие на поверхность тела со стороны жидкости силы давления взаимно компенсируются (так называемый пара­докс Даламбера). Происхождение этого «парадокса» в особен­ности очевидно для силы сопротивления. Действительно, наличие этой силы при равномерном движении тела означало бы, что для поддержания движения какой-либо внешний источник дол­жен непрерывно производить работу, которая либо диссипи-руется в жидкости, либо преобразуется в ее кинетическую энер­гию, приводя к постоянно уходящему на бесконечность потоку энергии в движущейся жидкости. Но никакой диссипации энер­гии в идеальной жидкости, по определению, нет, а скорость при­водимой телом в движение жидкости настолько быстро убывает с увеличением расстояния от тела, что никакого потока энергии на бесконечности тоже нет.

Следует, однако, подчеркнуть, что все эти соображения отно­сятся лишь к движению тела в неограниченной жидкости. Если же, например, жидкость имеет свободную поверхность, то рав­номерно движущееся параллельно этой поверхности тело будет испытывать силу сопротивления. Появление этой силы (назы­ваемой волновым сопротивлением) связано с возникновением на свободной поверхности жидкости системы распространяющихся по ней волн, непрерывно уносящих энергию на бесконечность.

Пусть некоторое тело совершает под влиянием действующей на него внешней силы f колебательное движение. При соблюде­нии рассмотренных в предыдущем параграфе условий окружаю­щая тело жидкость совершает потенциальное движение, и для вывода уравнений движения тела можно воспользоваться полу­ченными выше соотношениями. Сила f должна быть равна производной по времени от полного импульса системы, рав­ного сумме импульса Ми тела (М — масса тела) и импульса Р жидкости:

da . dP .

С помощью (11,5) получаем отсюда:

do, da.

что можно написать также и в виде

^(M6_ik + m_ik) = f_t. (11,8)

Это и есть уравнение движения тела, погруженного в идеаль­ную жидкость.

Рассмотрим теперь в некотором смысле обратный вопрос. Пусть сама жидкость производит под влиянием каких-либо внеш­них (по отношению к телу) причин колебательное движение. Под влиянием этого движения погруженное в жидкость тело тоже начинает двигаться '). Выведем уравнение этого движения.

Будем предполагать, что скорость движения жидкости мало меняется на расстояниях порядка величины линейных размеров тела. Пусть v есть скорость жидкости в месте нахождения тела, которую она имела бы, если бы тела вообще не было; другими словами, v есть скорость основного движения жидкости. По сде­ланному предположению v можно считать постоянной вдоль всего объема, занимаемого телом. Посредством и по-прежнему обозначаем скорость тела.

Силу, действующую на тело и приводящую его в движение, можно определить из следующих соображений. Если бы тело полностью увлекалось жидкостью (т. е. было бы v = и), то на него действовала бы такая же сила, которая бы действовала на жидкость в объеме тела, если бы тела вовсе не было. Импульс этого объема жидкости есть pVov, и потому действующая на него

сила равна pV₀ -^у-. Но в действительности тело не увлекается

полностью жидкостью; возникает движение тела относительно жидкости, в результате чего сама жидкость приобретает неко­торое дополнительное движение. Связанный с этим дополнитель­ным движением импульс жидкости равен пц_к{и_к— v_k) (в выра­жении (11,5) надо теперь писать вместо и скорость и — v дви­жения тела относительно жидкости). Изменение этого импульса со временем приводит к появлению дополнительной силы реак­ции, действующей на тело и равной ~mikd(iik — Vk)/dt. Таким образом, полная сила, действующая на тело, равна

dv. d

QVb-jf — m_ik-^(u_k — v_k).

Эту силу надо приравнять производной по времени от импульса тела. Таким образом, приходим к следующему уравнению дви­жения:

d dv. d

Мщ = pl/₀ — — т,_к-£ (и_к — v_k).

Интегрируя с обеих сторон по времени, получаем отсюда:

(M6_ik + m_ik) и_к = (m_lk + pVAu) v_k- (11,9}

Постоянную интегрирования полагаем равной нулю, поскольку скорость и тела, приводимого жидкостью в движение, должна

') Речь может идти, например, о движении тела в жидкости, по которой распространяется звуковая волна с длиной волны, большой по сравнению с размерами тела.

обратиться в нуль вместе со скоростью жидкости v. Полученное соотношение определяет скорость тела по скорости жидкости. Если плотность тела равна плотности жидкости (M = pVo), то, как и следовало ожидать, u = v.

Задачи

1. Получить уравнение движения для шара, совершающего колебательное движение в идеальной жидкости, и для шара, приводимого в движение колеб­лющейся жидкостью.

Решение. Сравнивая (11,1) с выражением для <р, полученным для обтекания шара в задаче 2 § 10, видим, что

А = и#³/2

{R — радиус шара). Полный импульс приводимой шаром в движение жид­кости есть согласно (11,6) Р = 2ярй³и/3, так что тензор mi_k равен

Испытываемая движущимся шаром сила сопротивления равна

3 ^РК dt '

а уравнение движения колеблющегося в жидкости шара гласит:

4я#³

(ро — плотность вещества шара). Коэффициент при и можно рассматривать как некоторую эффективную массу шара; она складывается из массы самого шара и из присоединенной массы, равной в данном случае половине массы жидкости, вытесняемой шаром.

Если шар приводится в движение жидкостью, то для его скорости полу­чаем из (11,9) выражение

Зр

и = —— V.

Р + 2р₀

Если плотность шара превышает плотность жидкости (_Ро > р), то и < v, т.е. шар отстает от жидкости; если же ро < р, то шар опережает ее.

2. Выразить действующий на движущееся в жидкости тело момент сил через вектор А.

Решение. Как известно из механики, действующий на тело момент сил М определяется по его функции Лагранжа (в данном случае — по энер­гии Е) соотношением 8£ = М69, где 66 — вектор бесконечно малого угла поворота тела, а б£ — изменение Е при этом повороте. Вместо того чтобы по­ворачивать тело на угол 60 (и соответственно менять компоненты тщ), мож­но повернуть на угол — 69 жидкость относительно тела и соответственно из« менить скорость и. Имеем при повороте 6и = — [68и], так что

6fi= Рби = —60 [uPJ.

Используя выражение (11,6) для Р, получаем отсюда искомую формулу

М=.—[цР]=4яр [AuJ.