§ 77. Распространение звука по трубке

Рассмотрим распространение звуковой волны вдоль длинной узкой трубки. Под узкой подразумевается трубка, ширина ко­торой мала по сравнению с длиной волны. Сечение трубки мо­жет меняться вдоль ее длины как по форме, так и по площади. Важно только, чтобы это изменение происходило достаточно мед­ленно,— площадь S сечения должна мало меняться на расстоя­ниях порядка ширины трубки.

В этих условиях можно считать, что вдоль каждого попереч­ного сечения трубки все величины (скорость, плотность и т. п.) постоянны. Направление же распространения волны можно счи­тать везде совпадающим с направлением оси трубки. Уравнение, определяющее распространение такой волны, удобнее всего вы­вести методом, аналогичным примененному в § 12 для вывода уравнения распространения гравитационных волн в каналах,

В единицу времени через сечение трубки проходит масса Spy жидкости. Поэтому количество (масса) жидкости в объеме ме­жду-двумя бесконечно близкими поперечными сечениями трубки уменьшается в 1 с на

(Svp)_x+dx — (Svp)_x = ^{д (}^^р) dx

(координата х вдоль оси трубки). Поскольку самый объем ме­жду обоими сечениями остается неизменным, то это уменьшение -может произойти только за счет изменения плотности жидкости.

Изменение плотности в единицу времени есть ^ , а соответ­ствующее уменьшение массы жидкости в объеме S dx между двумя сечениями равно

— S ■— dx.

Приравнивая оба выражения, получаем уравнение

<, др _ д (Spy) , _п

*~dt — ЪТ~' ^(П'¹>

представляющее собой уравнение непрерывности для жидкости в трубке.

Далее, напишем уравнение Эйлера, опуская в нем квадра­тичный по скорости член:

— = -ii£-. (77 2)

dt р дх'

Продифференцируем (77,1) по времени; при дифференцирова­нии правой части этого уравнения надо считать р не зависящим от времени, так как при дифференцировании р возникает член,

содержащий v -— = v и потому малый второго порядка. Та­ким образом,

Подставляем сюда для dv/dt выражение (77,2), а стоящую сле­ва производную от плотности выражаем через производную от давления согласно р' = р/с².

В результате получаем следующее уравнение распростране­ния звука в трубке:

В монохроматической волне р^х) зависит от времени посредством множителя е~^ш, и (77,3) переходит в

_L JL

S дх

(к = со/с — волновой вектор).

Наконец, остановимся на вопросе об излучении звука из от­крытого конца трубки. Разность давлений между газом в конце трубки и газом в окружающем трубку пространстве мала по сравнению с разностями давлений внутри трубки. Поэтому в ка­честве граничного условия на открытом конце трубки надо с до­статочной точностью потребовать обращения давления р в нуль. Скорость же газа v у конца трубки при этом оказывается от­личной от нуля; пусть v₀ есть ее значение здесь. Произведение Svq есть количество (объем) газа, выходящего в единицу вре­мени из конца трубки.

Мы можем теперь рассматривать открытый конец трубки как некоторый источник газа с производительностью Svq. Задача об излучении из трубки делается эквивалентной задаче об излуче­нии пульсирующего тела, определяющемся формулой (74,10). Вместо производной V от объема тела по времени мы должны теперь писать величину Srj₀. Таким образом, полная интенсив­ность излучаемого звука есть

• *^ЗЦ (77,5)

4яс Задачи

1. Определить коэффициент прохождения звука при переходе его из трубки сечения S₄ в трубку сечения S₂.

Решение. В первой трубке имеем две волны — падающую pi и отра­женную />[, а во второй трубке — одна прошедшая волна р%:

р, = а/<**-•*>, р\ = а\е-¹ <**+»Ч р₂ - <z₂e'' ^(ftJC-^<a".

В месте соединения трубок (х = 0) должны быть равными давления и коли­чества Sv газа, переходящие из одной трубки в другую. Эти условия дают

^ai + ^ai^=a2- ^si{^ai~ a'_l) = S₂a₂,

откуда

Отношение D потока энергии в прошедшей волне к потоку энергии в падаю­щей волне равно

D:

^ 45.5₂ __t /S₂-S₁\^{2 S}'\v_t\² (S, + S₂)² \S₂ + Sj'

') Здесь и в задачах к этому параграфу под р подразумевается везде переменная часть давления (которую мы раньше обозначали посредством р').

2. Определить количество энергии, излучаемой из открытого конца ци­линдрической трубки.

Решение. В граничном условии р = 0 на открытом конце трубки мож­но приближенно пренебречь излучаемой волной (мы увидим, что интенсив­ность излучения из конца трубки мала). Тогда имеем условие р₁ = —Р\, где р₍ и р\ — давления в падающей волне п в волне, отраженной обратно в трубку; для скоростей будем соответственно иметь v_l = Dj, так что сум­марная скорость на выходе из трубки ееть_ v₀ = v_{ + v[ = 2fj. Поток энергии н падающей волне равен cSpo²= 'AcSp&Q. С помощью (77,5) получаем для отношения излучаемой энергии к потоку в падающей волне

Sa²

ПС

Для трубки кругового сечения (радиуса R) имеем D = /?²<о²/с^г. Поскольку по предположению R < с/а, то D < 1.

3. Одно из отверстий цилиндрической трубки закрыто излучающей звук мембраной, совершающей заданное колебательное движение; другой конец трубки открыт. Определить излучение звука из трубки.

Решение. В общем решении

р = {ае^1кх + Ье-^1кх)е-^ш

определяем постоянные а и 6 из условий v = и (и = u_ae~^twt— заданная ско­рость колебаний мембраны) на закрытом конце трубки (х = 0) и условия р = 0 на открытом конце (х — I). Эти условия дают

ае^т + Ье~^ш = 0 а-Ь = сри₀.

Определяя а и 6, находим для скорости газа на открытом конце трубки ве­личину Vo = н/cos kl. Если бы трубки не было, то интенсивность излучения колеблющейся мембраной определялась бы средним квадратом S²1 и |² = = 5²ю²1 и |² согласно формуле (74,10) с Su вместо V; S — площадь поверх­ности мембраны. Излучение же из конца трубки пропорционально S²|o₀|²a>², Коэффициент усиления звука трубкой есть

_{^ S²\v₀\² ₌_l

S²\u\² cos²kl '

Он обращается в бесконечность при частотах колебаний мембраны, равных собственным частотам трубки (резонанс); в действительности, конечно, он все же остается конечным благодаря наличию эффектов, которыми мы пренебрег­ли (например, трения, влияния излучения звука).

4. То же для конической трубки (мембрана закрывает меньшее из от­верстий трубки).

Решение. Для сечения трубки имеем S = S₀x², меньшему и большему отверстиям трубки пусть соответствуют значения Xi и х% координаты х, так что длина трубки есть / = xi,— xi. Общее решение уравнения (77,4) есть

р = JL (ae^ikx + be~^ikx) е~^ш;

а и b определяются из условий и = и при х — Xi и р = 0 при х — х%. Для коэффициента усиления получаем:

S'xii^J² k²xl

5. То же для трубки, сечение которой меняется вдоль ее длины по эск-поненциальному закону S = S₀e^ax.

Решение. Уравнение (77,4) приобретает вид

откуда

„ _ ₀-ах/2!_nJmx

(ае'^тх+Ье-^Шх)е-^ш, т = [к* - .

Определяя а и Ъ из условий v = и при х = О и р = О при х = I, находим для коэффициента усиления

_{А =} ^so^e I °0

c²i,i|2 f^a sin от/ . ,V

*о 1 ^и I I тг Ь cos ml I

V 2 m /

при k > а/2 и

А — — г 77 _Г5-, ОТ = —; Й² I

при k < а/2.

1/2