§ 76. Принцип взаимности

При выводе уравнений звуковой волны в § 64 предполага­лось, что волна распространяется в однородной среде. В ча­стности, плотность среды р₀ и скорость звука в ней с рассматри­вались как постоянные величины. Имея в виду получить некото­рые общие соотношения, применимые и в общем случае произ­вольной неоднородной среды, выведем предварительно уравне­ние распространения звука в такой среде.

Напишем уравнение непрерывности в виде

^ + Pdivv = 0.

Но в силу адиабатичности звука имеем:

dt \dpjsdt с² dt c²Vd'^ ^У' и уравнение непрерывности приводится к виду

~ + Wp + рс² div v = 0.

Положим, как обычно, р = ро + р', причем ро является те­перь заданной функцией координат. Что же касается давления, то в р — ро -+- р' должно по-прежнему быть ро = const, поскольку в равновесии давление должно быть постоянно вдоль всей сре­ды (если, конечно, отсутствует внешнее поле). Таким образом, с точностью до величин второго порядка малости имеем:

-^- + p₀c²divv = 0.

Это уравнение совпадает по форме с уравнением (64,5), но коэффициент рос² в нем есть функция координат. Что касается уравнения Эйлера, то мы имеем, как и в § 64:

dv ₌ _ Уп' dt ро *

Исключая v из обоих этих уравнений (и опуская индекс у р₀)', получаем окончательно уравнение распространения звука в не­однородной среде:

Если речь идет о монохроматической волне с частотой со, то р' — —со²//, так что

^Ai"¹f + -^P^f = ^Q- <⁷⁶'²>

Рассмотрим звуковую волну, излучаемую источником неболь­ших размеров, совершающим пуяьсационные колебания (такое

излучение, как мы видели в § 74, изотропно). Обозначим точку, в которой находится источник, посредством Л, а давление р' в излучаемой им волне в точке В¹) посредством рл(В). Если тот же самый источник помещен в точку В, то создаваемое им в точке Л давление обозначим соответственно посредством рв(А). Выведем соотношение между рл(В) и рв(А).

Для этого воспользуемся уравнением (76,2), применив его один раз к излучению источника, находящегося в точке А, а дру­гой раз — к излучению источника, находящегося в В:

'2 '2

div-^ + ^Pi-O, div^+^p^O.

Умножим первое уравнение на р'_в, а второе на р'_А, и вычтем второе из первого. Получаем:

div

р'вУр'а р'а^р'в \ р р /

Проинтегрируем это уравнение по объему, заключенному между бесконечно удаленной замкнутой поверхностью С и двумя ма­лыми сферами Са и Св, окружающими соответственно точки А и В. Объемный интеграл преобразуется в интеграл по этим трем поверхностям, причем интеграл по С обращается в нуль, по­скольку на бесконечности звуковое поле исчезает. Таким обра­зом, получим:

(76,3)

Са+с_в

Внутри малой сферы С_А давление р'_А в волне, создаваемой источником, находящимся в А, быстро меняется с расстоянием от А, и потому градиент ур'_А велик. Давление же р'_в, создавае­мое источником, находящимся в В, в области вблизи точки А, значительно удаленной от В, является медленно меняющейся функцией координат, так что его градиент \р'_в относительно мал. При достаточно малом радиусе сферы С_А можно поэтому в интеграле по ней пренебречь вторым членом подынтегрального выражения по сравнению с первым, а в последнем можно вы­нести почти постоянную величину р'_в из-под знака интеграла, заменив ее значением в точке А. Аналогичные рассуждения при­менимы к интегралу по сфере С_в> и в результате мы получаем из (76,3) следующее соотношение:

*) Размеры источника должны быть чалыми по сравнению с расстоянием между А и В, а также по сравнению с длиной волны.

_{ли» S ^}

Но Vp'/P = —^^v l^t; поэтому это равенство можно переписать в виде

Р'в(^л)-Ъ7 [v_Adf = p'_A(B)w\v_Bdf.

С_А с_в

Интеграл ^ v_Adf представляет собой количество жидкости,

протекающей через поверхность сферы Сд в единицу времени, т. е. изменение (в 1 сек.) объема пульсирующего источника зву­ка. Поскольку источники в точках А и В тождественны, то ясно, что

^{J v}_A^{df= J \}_B^df,

и, следовательно,

р'_л(В) = р'_в(А). (76.4)

Это равенство представляет собой содержание так называе­мого принципа взаимности: давление, создаваемое в точке В ис­точником, находящимся в точке А, равно давлению, создавае­мому в А таким же источником, находящимся в В. Подчеркнем, что этот результат относится, в частности, и к тому случаю, когда среда представляет собой совокупность нескольких раз­личных областей, каждая из которых однородна. При распро­странении звука в такой среде на поверхностях раздела различ­ных областей происходит отражение и преломление. Таким об­разом, принцип взаимности применим и в тех случаях, когда на пути своего распространения от точки А к В и обратно волна испытывает отражения и преломления.

Задача

Вывести принцип взаимности для дипольного звукового излучения, соз­даваемого источником, совершающим колебания без изменения своего объема. Решение. В данном случае

$v_xrf$ = 0 (1)

и при вычислении интегралов в (76,3) необходимо учесть следующее прибли­жение. Для этого пишем с точностью до членов первого порядка

P_B = P_B{A) + t4p'_B, (2)

где г — радиус-вектор из точки А В интеграле

оба члена имеют теперь одинаковый порядок величины. Подставляя сюда р_в из (2) и учитывая (1), получим

^СА

Далее, выносим почти постоянную величину Vp'_B = — pv_B из-под знака ин­теграла, заменив ее значением в точке А:

(р_А — плотность среды в точке А). Для вычисления этого интеграла заме­чаем, что вблизи источника жидкость можно считать несжимаемой (см. §74), и потому для давления внутри малой сферы Са можно написать согласно

(ИД)

/ Аг

Р_А = — рф = р

В монохроматической волне v = —/<av, А = — шА; вводя также единичный вектор пд в направлении вектора А для источника, находящегося в точке А, найдем, что интеграл (3) пропорционален по величине

рл\в{А) пл.

Аналогично интеграл но сфере С_в будет пропорционален

—р_вУл(В)п_в

с тем же коэффициентом пропорциональности. Приравнивая их сумму нулю, найдем искомое соотношение

^Рау_в^{(А)па = Р_вУа(В)п}_в^,

выражающее собой принцип взаимности для дипольного звукового излучения.