Ctjc42-(X-q2- (*/-г,)2'

удвоив при этом получающееся выражение, поскольку dx dy представляет со­бой проекцию двух элементов поверхности сферы, находящихся по разные стороны от плоскости х, у. Таким образом, окончательно получаем:

Ф (х, у, г, t) = \ \ —. —г -f-

2яс dt J J Ус²/² -(х- |)² - (у - л)²

₊ _J_ f f Фо (1. n)dldr\

^{2пс \ S л/сЧ2 -(х- I)2 -(у- г,)2 '}

где интегрирование производится по поверхности круга с центром в точке О И радиусом г = ct. Если в начальный момент ф₀, фо отличны от нуля только в конечной области С плоскости х, у (точнее — в некоторой цилиндрической области пространства с образующими, параллельными оси г), то колебания в точке О (рис. 44) начнутся в момент времени t = rf/c, где d—ближайшее расстояние от О до этой области. Но в дальнейшем круги радиуса ct > d с центром в точке О всегда будут заключать в себе часть или всю площадь области С, и ф будет стремиться к нулю только асимптотически. Таким обра­зом, в отличие от «трехмерных» волн рассмотренные здесь двухмерные волны имеют передний, но не имеют заднего фронта (ср. § 71).

§ 73. Боковая волна

Отражение сферической волны от границы раздела между двумя средами представляет особый интерес ввиду того, что оно может сопровождаться своеобразным явлением возникновения боковой волны.

Пусть Q (рис. 45) — источник сферической звуковой волны, находящийся (в первой среде) на расстоянии / от плоской неог­раниченной поверхности раздела между двумя средами / и 2. Расстояние / произвольно и отнюдь не должно быть большим

по сравнению с длиной волны К. Плотности двух сред и ско­рости звука в них пусть будут pi, р₂ и Ci, с₂.

Предположим сначала, что Ci > с₂. Тогда на больших (по сравнению с К) расстояниях от источника движение в первой среде будет представлять собой совокупность двух расходящих­ся волн. Одна из них есть сферическая волна, непосредственно

испускаемая источником (пря-

мая волна); ее потенциал

,ikr

(73.1)

где г — расстояние от источни­ка, а амплитуду мы условно полагаем равной единице; мно­жители ег^ш во всех выраже­ниях мы будем в этом парагра­фе для краткости опускать.

\ Прямая Отражённая волна \^тна

сферы

В торая же — отраженная — волна имеет волновые поверх­ности, представляющие собой с центром в точке Q'

Рис. 46

р

Рис. 45

(зеркальное отображение источника Q в плоскости раздела); это есть геометрическое место точек Р, до которых в один и тот же промежуток времени доходят лучи, одновременно вышедшие из точки Q и отразившиеся по законам геометрической акустики от поверхности раздела (на рис. 46 луч QAP с углами падения и отражения 0). Амплитуда отраженной волны убывает обратно пропорционально расстоянию г' от точки Q' (последнюю назы­вают иногда мнимым источником), но зависит, кроме того, и от угла 9 — так, как если бы каждый луч отражайся с коэффициен­том, соответствующим отражению плоской волны с данным углом падения 9. Другими словами, на больших расстояниях от­раженная волна описывается формулой

(73,2)

е^{1 кг} | с₂р₂ cos Э — Р[ л/с² — с\ sin² 0

<Р| = —— I . -----

г L с₂р₂ cos 0 + р₍ -у с² — с\sin²0

(ср. формулу (66,4) для коэффициента отражения плоской вол­ны). Эта формула, справедливость которой (для больших г') ■сама по себе естественна, может быть строго выведена указан­ным ниже способом.

Более интересен случай, когда

й < с₂.

Здесь наряду с обычной отраженной волной (73,2) в первой среде появляется еще бдна волна, основные свойства которой можно усмотреть уже из следующих простых соображений.

Обычный отраженный луч QAP (рис. 46) удовлетворяет прин­ципу Ферма в том смысле, что это есть путь наиболее быстрого пробега из точки Q в Р из всех путей, лежащих целиком в среде / и испытывающих однократное отражение. Но принципу Ферма удовлетворяет (при с\ < с₂) и другой путь: луч падает на границу под углом полного внутреннего отражения 9₀(sin6₀ = = Ci/c₂), затем распространяется по среде 2 вдоль границы раз­дела и, наконец, снова переходит в среду / под углом 0о (QBCP на рис. 46); очевидно, что должно быть 9 > 9о. Легко видеть, что такой путь тоже обладает экстремальным свойством: время про­бега по нему меньше, чем по любому другому пути из Q в Р, частично проходящему во второй среде.

Геометрическое место точек Р, до которых в один и тот же момент времени доходят лучи, одновременно вышедшие из Q вдоль пути QB и затем перешедшие снова в среду / в различных точках С, есть, очевидно, коническая поверхность, образующие которой перпендикулярны к прямым, проведенным из «мнимого источника» Q' под углом 9₀.

Таким образом, если с_{ < с₂, то наряду с обычной отражен-! ной волной со сферическим фронтом в первой среде будет рас­пространяться еще одна волна с коническим фронтом, прости­рающимся от плоскости раздела (на котором он смыкается с фронтом преломленной волны во второй среде) до касания фронта сферической отраженной волны (последнее происходит по линии пересечения с конусом, с углом раствора 9о и осью вдоль линии QQ', см. рис. 45). Эту коническую волну называют боковой.

Путем простого подсчета легко убедиться в том, что время пробега вдоль пути QBCP (рис. 46) меньше, чем время пробега по пути QAP, ведущему в ту же точку наблюдения Р. Это зна­чит, что звуковой сигнал из источника Q доходит до точки на-

390

звук

[ГЛ. VIII

блюдения Р сначала в виде боковой волны, и лишь затем в эту точку приходит обычная отраженная волна.

Следует иметь в виду, что боковая волна представляет собой эффект волновой акустики, несмотря на то, что она допускает изложенное наглядное истолкование с помощью представлений геометрической акустики. Мы увидим ниже, что амплитуда бо­ковой волны обращается в нуль в пределе X-vO.

Переходим теперь к количественному расчету. Распростране­ние монохроматической звуковой волны, создаваемой точечным источником, описывается уравнением (70,7):

А_Ф + /г²ф = —4яб(г — 1), (73,3)

где k — со/с, а 1—радиус-вектор источника. Коэффициент при б-функции выбран таким, чтобы прямая волна имела вид (73,1). Ниже мы выбираем систему координат с плоскостью х, у в пло­скости раздела и осью z вдоль QQ': первой среде соответствуют z > 0. На границе раздела должны быть непрерывными давле­ние и z-компонента скорости, или, что то же, величины рф и «Зф/дг.

Следуя общему методу Фурье, имеем решение в виде

_* ⁼ _{-W \ S} ^ф_* ⁽²⁾ _*'^(V+V) _{<*М«». (73,4)}

— оо

^{Ф„ (z) = I] q*-' V) dx dy. (73,5)}

— 00

Из симметрии в плоскости х, у заранее очевидно, что «р_и может зависеть только от абсолютной величины %² — и² -f- х². Восполь­зовавшись известной формулой

/<)(«) =-2^$ cos (« sin ф) dq>,

о

можно поэтому представить (73,4) в виде

оо

Ф = J фи (г) J₀ (я/?) у. dx, (73,6)

о

где /? = У*² + у² — цилиндрическая координата (расстояние от оси г). Для дальнейших вычислений будет удобно преобразо­вать эту формулу к виду, в котором интеграл берется в преде­лах от —оо до -f-oo, выразив подынтегральное выражение через функцию Ганкеля #о^!)(ы). Последняя имеет, как известно, лога­рифмическую особенность в точке « = 0; если условиться пере­ходить от положительных к отрицательным вещественным зна­чениям и, обходя (в плоскости комплексного переменного и) точку ы=0 сверху, то будет справедливо соотношение

Яо" (- и) = Яо" (ueⁱⁿ) = Н? (и) - 2/₀ (и).

С его помощью можно переписать (73,6) в виде

4-оо

^ф=_{i 5} ^{фк(;г) я<о1> (х/?) к dK}_{' (}⁷³_-⁷⁾

— оо

Из уравнения (73,3) находим для функции <р_к уравнение

dz²

(к²--5г)ф* = -4я6(2-/). (73,8)

б-функцию в правой стороне уравнения можно исключить, нало­жив на функцию ф_и(?) (удовлетворяющую однородному уравне­нию) граничные условия при z = i.

t+o

_/о = -4я. (73,9)

Граничные же условия при г = 0 гласят:

+о

РФн|±8 = 0, ^_₀ = 0. (73,10)

Ищем решение в виде

Фк = Ае~ при г > I,

Фн = Be-+ Ce*^z при / > г > 0, (73,11)

ф_к = De»* при 0 > г.

Здесь

(73,12)

nj = x² —u| = x² —fc² {fe₁ = o»/ci, кг = (л/сг), причем надо полагать: ц —-f-Ух² —-/г² при к > k,

ц = — i-y/k² — к² при к <

первое необходимо для того, чтобы искомое ф не возрастало на бесконечности, а второе — чтобы ф представляло собой расхо­дящуюся волну. Условия (73,9) и (73,10) дают четыре уравне­ния, определяющие коэффициенты А, В, С, D. Простое вычис­ление приводит к следующим выражениям:

_B=cb£l^zmL с = — е-*¹

IMP. + M..' и, • ₍₇₃₁₃₎

D =с _aY' , Л = В + Св^«.

При р₂ = Pi, С2 = Ci (т. е. если бы все пространство было за­полнено одной средой) В обращается в нуль и А — Се^¹\ со­ответствующий член в ф представляет собой, очевидно, прямую волну (73,1); поэтому интересующая нас отраженная волна есть

+ О0

<pj ₌ _L (j B(K)e-'№H^{y.R)xdyi. (73,14)

— ОО

В этом выражении надо еще уточнить путь интегрирования. Особая точка и = 0 обходится (в плоскости комплексного к)_у как уже указывалось, сверху. Кроме того, подынтегральное вы­ражение имеет особые точки (точки разветвле­ния) 7t=±k_u ±k₂, В КО­ТОРЫХ pi или р₂ обраща-С ются в нуль. В. соответ­ствии с условиями (73,10) точки 4-k\, -\-k₂ должны С' обходиться снизу, а точ­ки —k\, —k₂ сверху.

Произведем исследова­ние полученного выраже­ния на больших расстояниях от источника. Заменяя функцию Ганкеля ее известным асимптотическим выражением, получим:

с

На рис. 47 изображен путь интегрирования С для случая с\ > сг. Интеграл может быть вычислен с помощью известного метода перевала. Показатель

*[(z + /)V*i — и²

имеет экстремум в точке, в которой

и R т' sin в . _л

/ , о = = = tg8,

■у k\ — х z + / a cos 6

т. е. и = sine, где в — угол падения (см. рис. 45). Переходя к пути интегрирования С, пересекающему эту точку под углом я/4 к оси абсцисс, получим формулу (73,2).

В случае же С\ < с₂ (т. е. k\ > k₂) точка и = k\ sin 6 лежит между точками k₂ и k\, если sin в > k₂/k\ = С\/с₂ = sin 6₀, т. е. если в > во (рис. 45). В этом случае контур С' должен содер­жать еще петлю вокруг точки k₂, и к обычной отраженной волне (73,2) добавляется волна ф", определяемая интегралом (73,15),

взятым по этой петле (назовем ее С", рис. 48); это и есть боко­вая волна. Этот интеграл легко вычислить, если точка fei sin 9 не слишком близка к &₂, т. е. если угол в не слишком близок к углу полного внутреннего отра­жения 9о ')•

Вблизи точки к = ki щ мало; разлагаем пред-экспоненциальный мно­житель в подынтеграль­ном выражении в (73,15) по степеням р₂. Нулевой член разложения вообще не обладает особенностью лри х = к_ъ и его интеграл по С" обращается в нуль. Поэтому имеем:

Ф.

2ц₂р, / v. \т

(73,16)

I, М.²Р₂ \2nir }

(73,17)

Разлагая показатель по степеням v. — k% и интегрируя по верти­кальной петле С", получим после простого вычисления следую­щее выражение для потенциала боковой волны

1/2-

„ 2tpife₂ ехр {ik\T^r cos (9₀ — 9))

ч⁵! ;

r'²p₂fe² [cos 9₀ sin в sin³ (в₀ — 9)]

В согласии со сказанным выше волновые поверхности пред­ставляют собой конусы

г' cos (0 — 0_О) = R sin 0_О + (г -f- /) cos 0_О = const.

-5/4

•Вдоль заданного направления амплитуда волны убывает обратно пропорционально квадрату расстояния г'. Мы видим также, что эта волна исчезает в предельном случае А,->0. При 0-v0o выра­жение (73,17) становится неприменимым; в действительности в этой области амплитуда боковой волны убывает с расстоянием

как г