§ 72. Общее решение волнового уравнения

Выведем теперь общую формулу, определяющую решение волнового уравнения в неограниченной жидкости по заданным начальным условиям, т. е. определяющую распределение ско­ростей и давления в жидкости в произвольный момент времени по их распределению в начальный момент.

Предварительно получим некоторые вспомогательные фор­мулы. Пусть будут ф(лг, у, z, t) и *(*, у, z, t) — два каких-либо решения волнового уравнения, обращающиеся на бесконечности в нуль. Рассмотрим интеграл

/ = \ (<Й> - ФФ) dV,

взятый по всему пространству, и вычислим его производную по времени. Помня, что ср и гр удовлетворяют уравнениям

Дф — с~²ф = 0, Д* — с-²1р = 0,

общее решение волнового уравнения

385

имеем:

iL=J(qnp — 1|5ф) dV = с² ^(ф Дф —ф Дф) dV «= с² JdivfoV*—<W<$)dV.

Последний интеграл может быть преобразован в интеграл по бесконечно удаленной поверхности и потому обращается в нуль. Таким образом, мы приходим к результату, что dl/dt = 0, т. е. / есть не зависящая от времени постоянная:

^{/== J (фтр — фф)^К = const. (72,1)}

Рассмотрим, далее, частное решение волнового уравнения:

_ф=а[г-_с(/,-<)1_{> (722)}

где г — расстояние от некоторой заданной точки О пространства, to — некоторый определенный момент времени, а б обозначает б-функцию. Вычислим интеграл от ф по пространству. Имеем:

оо оо

^{^ яр dV = ^ 4лфг2 dr = гб.[г — с (t}₀ ^{— t)\ dr.}

о о

Аргумент у б-функции обращается в нуль при r = c{fo — t) (предполагается, что /о>0- Поэтому в силу свойств ©-функ­ции имеем:

^dV = 4nc(t₀-i). (72,3)

Дифференцируя это равенство по t, получаем:

^dV = — 4nc. (72,4)

Подставим теперь в интеграл (72,1) в качестве ф функцию (72,2), а под ф будем понимать искомое общее решение волно­вого уравнения. Согласно (72,1) / есть величина постоянная; на этом основании напишем выражения для / в моменты времени t = 0 и t = to и приравняем их друг другу. При t = t₀ обе функ­ции tp и ф отличны от нуля только при г = 0. Поэтому при ин­тегрировании можно положить г в ф и ф равным нулю (т. е. взять значения в точке О) и вынести ф и ф из-под знака интег­рала:

^{/ = ф (х, у, г, t}₀^{) J[ ifdV — ф (х, у, z, t}₀^{) ^ tydV}

(х, у, г —координаты точки О). Согласно (72,3) и (72,4) второй член здесь обращается при t = г₀ в нуль, а первый дает

/ = — 4ясф {х, у, г, to).

Вычислим теперь / при г = 0. Написав ¹Р = ^_§|-=⁼ — ^и обо­значая посредством ф₀ значение функции ф при t = 0, имеем:

^{7=- \ (*»ж+*•+)dV - - S *•* LdF - S *°* Ц dv.}

Элемент объема пишем в виде dV=r²drdo, где do — элемент телесного угла, и в силу свойств б-функции получаем:

\ Фо^ |₍_₀ dV = ^ ф₀гб (г — ct₀) dr do = ct₀ ^ ф₀ j_f ^do

и аналогично для интеграла от фо^. Таким образом,

Наконец, приравнивая оба выражения для / и опуская индекс нуль у t₀, получаем окончательно:

Ф(*. у. г, ^^lOHr-^+'Hr-c, *>}• ^(ВД

Э та формула Пуассона определяет распределение потен- циала в пространстве в любой момент времени, если задано рас- пределение потенциала и его производной по времени (что экви- валентно заданию распределения скорости и давления) в неко- торый начальный момент времени. Мы ви- дим, что значение потенциала в момент вре- мени t определяется значениями ф и ф, ко- \ Г V¹" ^ торые они имели в момент времени t = 0

\А \V^/ на поверхности сферы с радиусом г = ct и

центром в точке О.

Предположим, что в начальный момент времени _Ф и фо были отличны от нуля только Рис. 44 в некоторой конечной области пространства,

ограниченной замкнутой поверхностью С (рис. 44). Рассмотрим значения, которые будет принимать ф в последующие моменты в некоторой точке О. Эти значения опре­деляются значениями ф₀, фо на расстоянии г = ct от точки О. Но сферы радиусов ct проходят через область внутри поверхности только при d/c^ t ^.D/c, где d и D — наименьшее и наибольшее расстояния от точки О до поверхности С. В другие моменты вре­мени подынтегральные выражения в (72,5) обратятся в нуль. Таким образом, движение в точке О начнется в момент t = d/c и закончится в момент t — D/c. Распространяющаяся из области С волна имеет два фронта: передний и задний. Движение в жид­кости начинается, когда к данной ее точке подходит поверхность переднего фронта, на заднем же фронте колебавшиеся ранее точки приходят в состояние покоя.

Задача

Вывести формулу, определяющую потенциал по начальным условиям для волны, зависящей только от двух координат: х и у.

Решение. Элемент поверхности сферы радиуса г — ct можно, с одной стороны, написать в виде df — c²t²do, где do — элемент телесного угла. С другой стороны, проекция df на плоскость ху равна

. л/ш)² — р² dx dy = df _t ,

где p есть расстояние от центра шара до точки х, у. Сравнив оба выражения, можно написать

dx dy

do--

ct V(cO^a

Обозначая координаты точки наблюдения посредством х, у, а. координаты переменной точки в области интегрирования посредством |, т|, мы можем, следовательно, в рассматриваемом случае заменить do в общей формуле (72,5) на

dl dr\