§ 68. Распространение звука в движущейся среде

Соотношение w — ck между частотой и волновым вектором имеет место только для монохроматической звуковой волны, распространяющейся в неподвижной среде. Нетрудно получить аналогичное соотношение для волны, распространяющейся в движущейся среде (и наблюдаемой в неподвижной системе ко­ординат).

Рассмотрим однородный поток жидкости со скоростью и. На­зовем неподвижную систему координат х, у, ? системой К и вве­дем также систему К' координат х', у', z', движущуюся относи­тельно системы К со скоростью и. В системе К' жидкость неподвижна, и монохроматическая волна в ней имеет обыч­ный вид:

р = Const в¹ <кг'-*с<).

Радиус-вектор г' в системе К' связан с радиусом-вектором г в си­стеме К равенством r' = r — ut. Поэтому в неподвижной системе координат волна имеет вид

Ф =' const е'^1кг- <**+*■»>'].

Коэффициент при t в показателе есть частота со волны. Таким образом, в движущейся среде частота связана с волновым век­тором к соотношением

со = с£ + ик. (63,1)

Скорость распространения волн равна

это есть геометрическая сумма скорости с в направлении к и скорости и «сноса» звука вместе с движущейся жидкостью.

Определим плотность энергии звуковой волны в движущейся среде. Полная мгновенная плотность энергии дается выражением

^{i (Р + РО (« + v)2 + + *f +PVU+ (ifl+p'uv-f ^f)}

(ср. (65,1); индекс 0 у невозмущенных значений величин опу­скаем). Первый член здесь — энергия невозмущенного течения. Следующие два члена — первого порядка малости, но при усред­нении по времени они дадут величины второго порядка, свя­занные с энергией возбуждаемого волной среднего течения. Все эти члены следует опустить и, таким образом, интересующая нас плотность энергии звуковой волны как таковой дается заклю­ченными в скобки тремя последними членами. Скорость и из­менение давления в плоской волне в движущейся среде свя­заны соотношением

(со — ku) v = kc²p'/p, которое следует из линеаризованного уравнения Эйлера

ir + (^uv)v=—L_Vp.

Учитывая также (68,1), найдем окончательно, что плотность звуковой энергии в движущейся среде:

^{£ = £}о^к7' <⁶⁸'³>

*) Эта формула наглядно истолковывается с квантовой точки зренияг число звуковых квантов (фононов) N — Е/Ла = Ео1й((а— ku) не зависит от выбора системы отсчета.

где Ео = с²р'²/р=; р'²/рс² — плотность энергии в системе отсчета, движущейся вместе со средой ').

С помощью формулы (68,1) можно рассмотреть эффект Доплера, заключающийся в том, что частота звука, восприни­маемого наблюдателем, движущимся относительно источника, не совпадает с частотой колебаний последнего.

Пусть звук, испускаемый неподвижным (относительно среды) источником, воспринимается наблюдателем, движущимся со ско­ростью и. В покоящейся относительно среды системе К' имеем й=соо/с, где ио — частота колебаний источника. В системе же К, движущейся вместе с наблюдателем, среда движется со ско­ростью—и, и частота звука будет согласно (68,1) a = ck — uk. Вводя угол 6 между направлением скорости и и волнового век­тора к и полагая k = щ/с, найдем, что воспринимаемая движу­щимся наблюдателем частота звука равна

(68,4)

В некотором смысле обратным случаем является распростра­нение в неподвижной среде звуковой волны, испускаемой дви­жущимся источником. Пусть и обозначает теперь скорость дви­жения источника. Перейдем от неподвижной системы координат к системе К', движущейся вместе с источником; в системе К' жидкость движется со скоростью — и. В системе К', где источ­ник покоится, частота излучаемой им звуковой волны должна быть равна частоте ©о колебаний, совершаемых источником. Из­менив в (68,1) знак перед и и вводя угол 9 между направле­ниями и и к, будем иметь:

ю₀= ck{ \ — — cos 9

С другой стороны, в исходной неподвижной системе К частота связана с волновым вектором равенством © = ck. Таким обра­зом, мы приходим к соотношению

(68,5)

с

Этой формулой определяется связь между частотой <а₀ колеба­ний движущегося источника звука и частотой © звука, слыши­мого неподвижным наблюдателем.

Если источник удаляется от наблюдателя, то угол 9 между его скоростью и направлением приходящей в точку наблюде­ния волной заключен в пределах я/2 <С 9 ^ п, так что cos 6 <С 0. Из (68,5) следует, таким образом, что если источник движется, удаляясь от наблюдателя, то частота слышимого наблюдателем звука уменьшается (по сравнению с ю₀).

Напротив, для приближающегося к наблюдателю источника 0 ^ 9 < л/2, так что cos 8 > 0, и частота ш > ю₀ растет при

© =

увеличении скорости и. При и cos в > с согласно формуле (68,5) «а делается отрицательной, что соответствует тому, что слыши­мый наблюдателем звук будет в действительности доходить до него в обратном порядке, т. е. звук, излученный источником в более поздние моменты времени, дойдет до наблюдателя раньше, чем звук, излученный в более ранние моменты.

Как было указано в начале § 67, приближение геометриче­ской акустики соответствует случаю достаточно малых длин волн, т. е. больших значений волнового вектора. Для этого, во­обще говоря, частота звука должна быть достаточно велика. Од­нако в акустике движущихся сред последнее условие становится не обязательным, если скорость движения среды превосходит скорость звука. Действительно, в этом случае k может быть большим даже при равной нулю частоте: из (68,1) получаем при (0 = 0 уравнение

ck = — uk, (68,6)

которое имеет решения, если и> с. Таким образом, в среде, движущейся со сверхзвуковыми скоростями, могут существовать стационарные малые возмущения, описывающиеся (при доста­точно больших k) геометрической акустикой. Это значит, что такие возмущения будут располагаться вдоль определенных ли­ний — лучей.

Рассмотрим, например, однородный сверхзвуковой поток, дви­жущийся с постоянной скоростью и, направление которой вы­берем в качестве оси х. Компоненты вектора к, лежащего в пло­скости х, у, связаны соотношением

{и — с²) k²_x = ck\, (68,7)

получающимся путем возведения в квадрат обеих частей равен­ства (68,6). Для определения формы лучей воспользуемся урав­нениями геометрической акустики (67,4), согласно которым

^{Х 1=1} dk_x ' у ^ дк_у

Разделив одно из этих уравнений на другое, получим:

dy da/dky dx dw/dkx

Но это отношение есть согласно правилу дифференцирования не­явных функций не что иное, как производная —dk_x/dk_y (взятая при постоянной, в данном случае равной нулю частоте). Таким образом, уравнение, определяющее форму лучей по заданной зависимости между k_x и k_y, гласит:

т£—%- <^м'⁸>

Подставив сюда (68,7), получим:

dx Vи² — с²

При постоянном и это уравнение определяет два прямолиней­ных луча, пересекающих ось х под углами ±а, где sina = c/«.

К подробному изучению этих лучей мы возвратимся в газо­динамике, в которой они играют большую роль.

Задачи

Решение. Подставляя (68,1) в (67,4), получим уравнения распростра­няющихся в стационарно движущейся среде с распределением скоростей и (х, у, г), причем везде и < с. Предполагается, что скорость и заметно ме­няется лишь на расстояниях, больших по сравнению с длиной волны звука.

Решение. Подставляя (68,1) в (67,4), получим уравнения распростра­нения лучей в виде

к => — (kV) и — [к rot и],

Г = V = С-г- + U.

я

С помощью этих уравнений вычисляем с точностью до членов первого по­рядка по и производную —jj (kv); при вычислении используем равенство

if³³ 4г +^(vV)u =^{(vV) и} ~ т^(kV)

Получаем:

-^т- (kv) =• — kv [n rot и],

где n — единичный вектор в направлении v. С другой стороны, jL_{kv) = n±-(kv) + kv^-.

Поскольку п и dn/dt взаимно перпендикулярны (из п² = 1 следует, что пп = 0), то из сравнения обоих выражений находим п = [rot и, п]. Вводя элемент проходимой лучом длины dl = с dt, пишем окончательно

"^Г⁼⁼7 l^rotu> ^п1- 0>

Этим уравнением определяется форма лучей; п есть единичный вектор каса­тельной к лучу (отнюдь не совпадающий теперь с направлением kl).

2. Определить форму звуковых лучей в движущейся среде с распределе­нием скоростей и, = и (z), u„ = и_г = 0.

Решение. Раскрывая уравнение (1), находим:

dn_r п. du dn,.

_ ₌ £ 2.=0

dl с dz ' dl

(уравнение для п_г можно не писать, так как n² = 1). Второе уравнение дает

489

звук

ГГЛ. vm

В первом же пишем п_г — dzjdl, после чего интегрирование дает

Пх — «ля т ~—•

Эти формулы решают поставленную задачу.

Предположим, что скорость и равна нулю при г — О и возрастает по направлению вверх (duldz> 0). Если звук распространяется «против ветра* (п_х < 0), то его траектория искривляется, загибаясь вверх. При распростра­нении же «по ветру» (п_х > 0) луч искривляется, загибаясь вниз; в этом слу­чае луч, вышедший из точки г = 0 под малым углом наклона к оси к (Лхо близко к единице), поднимается лишь на конечную высоту г = г_тлк, которую можно вычислить следующим образом. На высоте Zma* луч гори­зонтален, т. е. п_г — 0. Поэтому имеем здесь:

п\ + п\ » 4₀ + п_у0 + 2п_х0 j = 1,

так что

„„ » (Zmax) 2

откуда по заданной функции н(г) и начальному направлению луча п₀ можно определить z_m*x-

3. Получить выражение принципа Ферма для звуковых лучей в стацио­нарно движущейся среде.

Решение. Принцип Ферма требует минимальности интеграла ^^Л,

взятого вдоль луча между двумя заданными точками, причем к предпола­гается выраженным как функция от частоты и и направления луча п (см. II § 53). Эту функцию можно найти, исключая v и k из соотношений се = = ck -f- uk и an = ck/k -f- u. В результате принцип Ферма приобретает вид

J с и

В неподвижной среде этот интеграл сводится к обычному