§ 66. Отражение и преломление звуковых волн

Когда звуковая волна падает на границу раздела между дву­мя различными средами, она отражается и преломляется. Дви­жение в первой среде является тогда наложением двух волн (па­дающей и отраженной), а во второй среде имеется одна (пре­ломленная) волна. Связь между всеми тремя волнами опреде­ляется граничными условиями на поверхности раздела.

Рассмотрим отражение и преломление монохроматической продольной волны в случае плоской границы раздела. Плоскость. уг выберем в качестве граничной. Легко видеть, что все три волны — падающая, отраженная и преломленная — будут иметь одинаковые частоты со и одинаковые компоненты k_y, k_z волно­вого вектора (но не компоненту k_x по направлению, перпенди­кулярному к плоскости раздела). Действительно, в неограни­ченной однородной среде монохроматическая волна с посто­янными к и со является решением уравнений движения. При наличии границы раздела добавляются лишь граничные условия,, которые в нашем случае относятся к * = 0, т. е. не зависят ни от времени, ни от координат у и г. Поэтому зависимость реше­ния от t и от у, г остается неизменной во всем пространстве и времени, т. е. со, k_y, k_z остаются теми же, какими они были в па­дающей волне.

Из этого результата могут быть непосредственно выведены соотношения, определяющие направления распространения от­раженной и преломленной волн. Пусть ху— плоскость падения волны. Тогда в падающей волне k_z = 0; то же самое должно иметь место и для отраженной и преломленной волн. Таким об­разом, направления распространения падающей, отраженной и преломленной волн лежат в одной плоскости.

Пусть 8 — угол между направлением волны и осью х. Тогда из равенства величин k_y = (и/с) sin 6 для падающей и отражен­ной волн следует, что

е,=е[, (66,1)

(66,2)

т. е. угол падения 9i равен углу отражения 8{. Из аналогичного же равенства для падающей и преломленной волн следует соот­ношение

sin 9i с₁

Sin 0₂ С_г

между углом падения 8i и углом преломления 0₂ (ci и с₂ — ско­рости звука в обеих средах).

Для того чтобы получить количественное соотношение между интенсивностями падающей, отраженной и преломленной волн, лишем потенциалы скорости в этих волнах соответственно в виде

Ф! = А1 ехр {ш> cos 8( + -Jp sin 8₍ — ,

_Ф; = A\ ехр {ш> ( - ± cos 8, + -JL sin в, -1)],

Ф₂ = Л₂ехр {«о cos 8₂ + sin в₂ — /)}.

На поверхности раздела (* = 0) должны быть равными давле­ния (р = —рф) и нормальные скорости (v_x = д<р/дх) в обеих средах; эти условия приводят к равенствам

Коэффициент отражения R определяется как отношение средних (по времени) плотностей потока энергии в отраженной и падаю­щей волнах. Поскольку плотность потока энергии в плоской волне равна сро*, то имеем:

Простое вычисление приводит к результату

„_ f P2tge₂-p,tg8i у ,_Rfi п

Углы 8i и 82 связаны друг с другом соотношением (66,2); выра­зив 8₂ через 8ь можно представить коэффициент отражения; в виде

Г р₂с₂ cos e_t - р, - с\ sin² 9, I R = ЛГ—г '1'»- " (°М>

L Р₂С₂ COS 6[ + p_t *\J Cj — с₂ sin 6, J

Для нормального падения (8i = 0) эта формула дает просто»

\ р₂с₂ + PlCl ) ^v ' '

-При угле падения, определяющемся из

tg² e_t = f;₂~^p'₂;, (бб,е>

коэффициент отражения обращается в нуль, т. е. звуковая вол­на целиком преломляется, не отражаясь вовсе; такой случай, возможен, если Ci>c₂, но р₂с₂ > piCi (или наоборот).

Задача

Определить давление, оказываемое звуковой волной на границу раздела-между двумя жидкостями.

Решение. Сумма полных потоков энергии в отраженной и преломлен­ной волнах должна быть равна падающему потоку энергии. Относя поток энергии к единице площади поверхности раздела, напишем это условие в виде

cos 6j = c_lE_l cos 9! -f- c₂E₂ cos 6₂,

где £(, E[, E₂ — плотности энергии в падающей, отраженной и преломлен­ной волнах. Вводя коэффициент отражения R = EjE_l, имеем отсюда

С\ cos 01 с₂ cos 0₂

(1 -R) Ei.

Искомое давление р определяется как ^-компонента импульса, теряемого в; единицу времени звуковой волной (отнесенная к единице площади гранит* раздела). С помощью выражения (65,12) для тензора плотности потока им­пульса в звуковой волне найдем:

р = E_i cos² 0j + Е\ cos² 8, — Е₂ cos² 0^ Подставляя выражение для £₂, вводя R и используя (66,2), получим: p=ll Sin 0, COS0! [(1 +R) Ctg0! - (I — У?) ctg 6₂].

Для нормального падения (0₍ = 0) найдем с помощью (66,5)

_{2 2 , 2 2 „_ „ 2 •}

Р Г P|Cl + P2C2-2PlP2tl 1 ' L (Р,С, + Р2С₂)². J'