§ 7. Поток импульса

Произведем теперь аналогичный вывод для импульса жид­кости. Импульс единицы объема жидкости есть pv. Определим скорость его изменения:

д

Будем производить вычисления в тензорных обозначениях. Имеем:

д dv, dp

Воспользуемся уравнением непрерывности (1,2), написав его в виде

£р_ d (P»_fe)

dt ~ дх_к

и уравнением Эйлера (2,3) в форме

dv₍ dv_{ 1 dp

dp d

а^"- dx_k Рим-

и находим окончательно:

(7,1)

где тензор Ищ определяется как

= рб_1к + f>V_tV_k.

(7,2)

Он, очевидно, симметричен.

Для выяснения смысла тензора П»*. проинтегрируем уравне­ние (7,1) по некоторому объему:

di\pv,dV =

Стоящий в правой стороне равенства интеграл преобразуем в интеграл по поверхности¹):

Слева стоит изменение в единицу времени t-й компоненты импульса в рассматриваемом объеме. Поэтому стоящий справа интеграл по поверхности есть количество этого импульса, вы­текающего в единицу времени через ограничивающую объем по­верхность. Следовательно, П/& dfk есть i-я компонента импульса, протекающего через элемент df поверхности. Если написать dfk в виде rik df (df — абсолютная величина элемента поверхности, п —единичный вектор внешней нормали к нему), то мы найдем,

') Правило преобразования интеграла по замкнутой поверхности в ин­теграл по охватываемому этой поверхностью объему можно сформулировать следующим образом: оно осуществляется заменой элемента поверхности dft

оператором dV > который должен быть применен ко всему подынте-* тральному выражению

что Uiktik есть поток t'-й компоненты импульса, отнесенный к еди­нице площади поверхности. Заметим, что согласно (7,2) IL*/u = = ptti + pviVktik', это выражение может быть написано в вектор­ном виде как

pn + pv(vn).

(7,4)

Таким образом, П,* есть i-я компонента количества импульса, протекающего в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярную к оси хн. Тензор П₍-* называют тензором плот­ности потока импульса. Поток энергии, являющейся скалярной величиной, определяется вектором; поток же импульса, который сам есть вектор, определяется тензором второго ранга.

Вектор (7,4) определяет поток вектора импульса в направле­нии п, т. е. через поверхность, перпендикулярную к п. В частно­сти, выбирая направление единичного вектора п вдоль направ­ления скорости жидкости, мы найдем, что в этом направлении переносится лишь продольная компонента импульса, причем плотность ее потока равна

р + pv².

В направлении же, перпендикулярном к скорости, переносится .лишь поперечная (по отношению к v) компонента импульса, а плотность ее потока равна просто р.

§ 8. Сохранение циркуляции скорости

Интеграл

взятый вдоль замкнутого контура, называют циркуляцией ско­рости вдоль этого контура.

Рассмотрим замкнутый контур, проведенный в жидкости в некоторый момент времени. Будем рассматривать его как «жидкий», т. е. как составленный из находящихся на нем частиц жидкости. С течением времени эти частицы передвигаются, а с ними перемещается и весь контур. Выясним, что происходит при этом с циркуляцией скорости вдоль контура. Другими сло­вами, вычислим производную по времени

Мы пишем здесь полную производную по времени соответственно тому, что ищем изменение циркуляции вдоль перемещающегося жидкого контура, а не вдоль контура, неподвижного в про-стра«стве.

• Во избежание путаницы будем временно обозначать диффе­ренцирование по координатам знаком б, оставив знак d для дифференцирования по времени. Кроме того, заметим, что эле­мент d\ длины контура можно написать в виде разности бг ра­диус-векторов г точек двух концов этого элемента. Таким обра­зом, напишем циркуляцию скорости в виде

§ v6r.

При дифференцировании этого интеграла по времени надо иметь в виду, что меняется не только скорость, но и сам контур (т. е. его форма). Поэтому, внося знак дифференцирования по вре­мени под знак интеграла, надо дифференцировать не только v, но и бг:

Поскольку скорость v есть не что иное, как производная по времени от радиус-вектора г, то

d бг . dr ~ . v² v —тг = vS-rr = v6v = 6—-. dt dt 2

Но интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала равен нулю. Поэтому второй из написанных интегралов исчезает и остается

Теперь остается подставить сюда для ускорения dv/dt его выражение согласно (2,9):

-5T = -grada;.

Применив формулу Стокса, получаем тогда (поскольку rot grad w = 0):

Таким образом, переходя к прежним обозначениям, находим окончательно'):

dt

или

^§vdl=0, <§>vdl = const. (8,1)

') Этот результат сохраняет силу и в однородном поле тяжести, так как

rot g ее 0.

Мы приходим к результату, что (в идеальной жидкости) цир­куляция скорости вдоль замкнутого жидкого контура остается неизменной со временем. Это утверждение называют теоремой Томсона [W. Thomson, 1869) или законом сохранения циркуля­ции скорости. Подчеркнем, что он получен путем использования уравнения Эйлера в форме (2,9) и потому связан с предположе­нием об изэнтропичности движения жидкости. Для неизэнтро-пического движения этот закон не имеет места ').

Применив теорему Томсона к бесконечно малому замкну­тому контуру 6С и преобразовав интеграл по теореме Стокса, получим:

§ v dl — ^ rot v df 6f • rot v = const, (8,2)

где df — элемент жидкой поверхности, опирающийся на контур 6С. Вектор rot v часто называют завихренностью ²) течения жид­кости в данной ее точке. Постоянство произведения (8,2) можно наглядно истолковать, сказав, что завихренность переносится вместе с движущейся жидкостью.

Задача

Показать, что при неизэнтропическом течении для каждой перемещаю­щейся частицы остается постоянным связанное с ней значение произведения (W'rotv)/p (Я. Ertel, 1942).

Решение. При неизэнтропическом движении правая сторона уравнения Эйлера (2,3) не может быть заменена на — Va> и вместо уравнения (2,11) получается

|?.-rot[ye] + -^ lvp-7p]

(для краткости обозначено ю = rot v). Умножим это равенство на Vs; по­скольку s = s(p, р), то Vs выражается линейно через Vp и Vp и произведе­ние Vs[Vp-Vp] = 0. После этого выражение в правой стороне уравнения пре­образуем следующим образом:

Vs^-=-Vs- rot [va»l =>— div [Vs [ve>]] = — div (v (ю Vs)) + div (e> (vVs)) =

= — (o> Vs) div v — v grad (fi) Vs) + ю grad (v Vs). Согласно (2,6) заменяем (vVs) = —ds/dt и получаем уравнение

') С математической точки зрения необходимо, чтобы между р и р су­ществовала однозначная связь (при изэнтропическом движении она опреде­ляется уравнением s(p,р) = const). Тогда вектор —Vp/p может быть напи­сан в виде градиента некоторой функции, что и требуется для вывода тео­ремы Томсона.

*) По английской терминологии — vorticity.

—■ (ю Vs) + v Rrad (<o Vs) -f (ю Vs) div v = 0.

Первые два члена объединяются в d(<oVs)/dt (где d/dt = д/dt + (vV)), а в последнем заменяем согласно (1,3) pdivv = —dp/dt. В результате полу­чаем

d &Vs __п IT р '

чем и выражается искомый закон сохранения.