§ 62. Капиллярные волны

Поверхность жидкости стремится принять свою равновесную форму как под влиянием действующего на жидкость поля тя­жести, так и под влиянием сил поверхностного натяжения. Ме­жду тем при изучении в § 12 волн на поверхности жидкости мы не учитывали этого последнего фактора. Мы увидим ниже, что влияние капиллярности на гравитационные волны существенно при малых длинах волн.

Как и в § 12, будем предполагать амплитуду колебаний ма­лой по сравнению с длиной волны. Для потенциала скорости имеем по-прежнему уравнение

Дср = 0.

Условие же на поверхности жидкости будет теперь иным: раз­ность давлений с обеих сторон этой поверхности должна быть равной не нулю, как это предполагалось в § 12, а должна опре­деляться формулой Лапласа (61,3)

Обозначим г-координату точек поверхности жидкости посред­ством £. Поскольку t, мало, то можно воспользоваться выраже­нием (61,11) и написать формулу Лапласа в виде

"^WJ"

Здесь р есть давление в жидкости вблизи поверхности, р₀ — по­стоянное внешнее давление. Для р подставляем согласно (12,2)

dtp

и находим:

Р = — Р£$ - Р - _dt

^{рй + р£-«(0 + $) = о}

(по тем же причинам, как и в § 12, можно, определяя соответ­ствующим образом ф, опустить постоянную р₀). Продифферен­цировав это соотношение по t и заменив в нем dt,/dt на ду/дг, получим граничное условие для потенциала <р в виде

{■*£+р-$"-£(&+#)Ь-^{л (ад}

Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х. Как и в § 12, получаем решение в виде

• ф = Ае^кг cos (kx — юг).

Связь между k и и определяется теперь из предельного усло­вия (62,1) и имеет вид

<o² = gk+fk³ (62,2)

(W. Thomson, 1871).

Мы видим, что при больших длинах волн, удовлетворяющих условию k <С (gp/a)^1/2 или

(а — капиллярная постоянная), влиянием капиллярности можно пренебречь, и волна является чисто гравитационной. В обрат­ном случае коротких волн можно пренебречь влиянием поля тя­жести. Тогда

ш² = -^³. (62,3)

Такие волны называются капиллярными; в промежуточном слу­чае говорят о капиллярно-гравитационных волнах.

Определим еще собственные колебания сферической капли несжимаемой жидкости совершаемые ею под влиянием капил­лярных сил. При колебаниях происходит отклонение формы по­верхности капли от сферической. Амплитуду колебаний будем, как обычно, предполагать малой.

Начнем с определения суммы l/R\ + \/R₂ для поверхности, слабо отклоняющейся от сферической. Поступим для этого ана­логично тому, что мы делали при выводе формулы (61,11) Пло­щадь поверхности, описываемой в сферических координатах¹) г, Э, ф функцией г = г(0, ф), равна, как известно, интегралу

_{Н 5 л/*+Ш*+1^(%)*}^г_*^ша_'^а_*- ^(62,4)

о о

*) Ниже в этом параграфе ф обозначает азимут сферических координат, а потенциал скорости мы будем обозначать посредством ф.

Шаровая поверхность описывается уравнением г = const = R (R-^-радиус шара), а близкая к ней поверхность — уравнением r = R-\-Z, с малым %. Подставляя это в (62,4), имеем прибли­женно

2я я

_{MS{«+tf+T [(§ У+(Щ - •}

о о

Определим изменение б/ поверхности при варьировании £. Имеем:

2я я О О

Интегрируя второй член по частям по углу 6, а третий член — по ф, получаем:

2я Я

б/ = $ 5 {2 (* + О - sin 0§) - -^||} б£зШвЛйф.

о о

Если разделить выражение в фигурных скобках на R(R-j-21), то выражение, которое будет стоять под знаком интеграла в ка­честве множителя при

в£ df « 6ZR (R + 21) sin 0 dQ dtp,

будет согласно формуле (61,2) представлять собой как раз ис­комую сумму обратных радиусов кривизны, вычисленную с точ­ностью до членов первого порядка по £. Таким образом, по­лучим:

*Н-т-*-*Ь^#+-™(*^вЗ-)Н««>.

Первый член соответствует чисто сферической поверхности, для которой Ri—R2 = R.

Потенциал скорости гр удовлетворяет уравнению Лапласа Дтр = 0 с граничным условием при г = R, имеющим вид (анало­гично тому, что мы имели для плоской поверхности)

р*+«{т-*-т[-ЬяМ)+-а^$]}+^-

Постоянную 2а/# + Ро в этом условии снова можно опустить; дифференцируя по времени и подставляя

dt, „

находим окончательно граничное условие для ф в виде

Будем искать решение в виде стоячей волны * = (г, 6, ф),

где функция / удовлетворяет уравнению Лапласа А/ = 0. Как известно, всякое решение уравнения Лапласа может быть пред­ставлено в виде линейной комбинации так называемых объем­ных шаровых функций вида

r^lY_lm(Q, ф),

где Yim(Q, ф) — шаровые функции Лапласа, равные Ушф, <p) = P?*(cos6)e""*.

Здесь

, ' . d^mP, (cos 9)

присоединенная функция Лежандра (/'/(cos8) — полином Ле« жандра /-го порядка). Как известно, / пробегает все целые по­ложительные значения, включая нуль, а т пробегает при за­данном / значения т = 0, ±1, ±2, ..., ±1.

Соответственно этому ищем частное решение поставленной задачи в виде

•ф = Ае~^шг¹Р™ (cos 6) е^1т». (62,7)

Частота со определяется так, чтобы удовлетворить предельному условию (62,6). Подставляя в это уравнение выражение (62,7) и воспользовавшись тем, что шаровые функции Yim удовлетворяют уравнению

находим (сокращая общий множитель \f>):

рш² + -^{2-/(/+1)} = 0,

откуда

<о²=-^/а-1)(/ + 2). (62,8)

{Rayleigh, 1879).

Эта формула определяет частоты собственных капиллярных колебаний сферической капли. Мы видим, что они зависят толь­ко от числа /, но не от т. Между тем данному / соответствует 22+1 различных функций (62,7). Таким образом, каждая из частот (62,8) соответствует 2/+1 различным собственным ко­лебаниям. О независимых собственных колебаниях, имеющих одинаковые частоты, говорят как о вырожденных; в данном слу­чае имеет место 2/+ 1-кратное вырождение.

Выражение (62,8) обращается в нуль при 1 = 0 и при / = 1. Значение / = 0 соответствовало бы радиальным колебаниям, т. е. сферически симметричным пульсациям капли; в несжимае­мой жидкости такие колебания, очевидно, невозможны. При / = 1 движение представляло бы собой поступательное переме­щение капли как целого. Наименьшая возможная частота ко­лебаний капли соответствует 1 = 2 и равна

<ь=-&- (62.9)

Задачи

1. Определить зависимость частоты от волнового вектора для капилляр- но-гравитационных волн на поверхности жидкости, глубина которой равна п.

Решение. Подставляя в условие (62,1)

Ф = A cos (kx — tor) ch k (z + h) (см. задачу 1 § 12), получаем:

со² =(gfe+ ££!-) _th kh.

При kh > 1 мы возвращаемся к формуле (62,2), а для длинных волн (йА<1) имеем:

2. Определить коэффициент затухания капиллярных волн. Решение. Подставляя (62,3) в (25,5), получим

_ 2r|fe² _ 2т|со^4/3

р^1/3а²'³ '

3. Найти условие устойчивости тангенциального разрыва в поле тяжести с учетом поверхностного натяжения; жидкости по обе стороны поверхности разрыва предполагаются различными (Kelvin, 1871).

Решение. Пусть U — скорость верхнего слоя жидкости относительно нижнего. Накладываем на основное движение периодическое вдоль горизон­тальной оси возмущение и ищем потенциал скорости в виде;

в нижней жидкости

ф = Ae^kz cos (kx — cor)

и в верхней

ф' = A'e~^kz cos (kx - cor) + Vx.

Для нижней жидкости имеем на поверхности разрыва

_ <5ф dl

(£ — вертикальная координата поверхности раздела), а в верхней

„' _ -г; д£ | д£

* ^— dz ~ дх dt ■

Условие равенства давлений в обеих жидкостях на поверхности разрыва имеет вид

(при раскрытии выражения »'* — U^z должны быть сохранены только члены первого порядка по А'). Смещение £ ищем в виде £ = a sin (ft*—сог). Под­ставляя <р, ф', £ в написанные три условия при 2 = 0, получаем три уравне­ния, исключая из которых о, А, А', находим:

и P'U | Г kg (р - pQ k'pp'U* ak' 11/2

P + P' ^±L Р + Р' (р + р')^{2 +} P + p'J '

Для того чтобы это выражение было вещественным при всех k, необходимо выполнение условия

_с,_{4 <} 4ag (о - р') (р + р'П РУ²

В противном случае существуют комплексные ш с положительной мнимой частью и движение неустойчиво.