§ 56. Свободная конвекция

Мы видели в § 3, что если в находящейся в поле тяжести жидкости имеет место механическое равновесие, то распределе­ние температуры в ней должно зависеть только от высоты г: T — T(z). Если же распределение температуры не удовлетво­ряет этому требованию, являясь в общем случае функцией всех трех координат, то механическое равновесие в жидкости невоз­можно. Больше того, даже если Т — Г (z), то механическое рав­новесие все же может оказаться невозможным, если вертикаль­ный градиент температуры направлен вниз и по абсолютной ве­личине превышает определенное предельное значение (§ 4).

Отсутствие механического равновесия приводит к возникно­вению в жидкости внутренних течений, стремящихся перемешать жидкость так, чтобы в ней установилась постоянная темпера­тура. Такое возникающее в поле тяжести движение называют свободной конвекцией.

Выведем уравнения, описывающие конвекцию. Мы будем рассматривать жидкость как несжимаемую. Это значит, что дав­ление предполагается достаточно мало меняющимся вдоль жид­кости, так что изменением плотности под влиянием изменения давления можно пренебречь. Например, в атмосфере, где давле­ние меняется с высотой, это значит, что мы не будем рассматри­вать слишком высоких ее столбов, в которых изменение плот­ности с высотой становится существенным. Что же касается из­менения плотности благодаря неравномерной нагретости жид­кости, то этим изменением, конечно, нельзя пренебречь. Именно оно приводит к появлению сил, вызывающих конвекционное дви­жение.

Напишем переменную температуру в виде Г = Г₀ + Г', где Г₀ есть некоторое постоянное среднее значение, от которого отсчи-тывается неравномерность температуры Т. Будем предполагать, что Т мало по сравнению с Го.

Плотность жидкости тоже напишем в виде р = ро-т-р'.с по­стоянным ро. Ввиду малости изменения температуры Г' мало также и вызываемое им изменение плотности р', причем можно написать:

(56,1)

где В = — р^-1 (др/дТ) — температурный коэффициент расширения жидкости ').

В давлении же p==p₀-f р' величина р₀ не будет постоян­ной . Это — давление, соответствующее механическому равно­весию при постоянных (равных Г₀ и р₀) температуре и плот­ности. Оно меняется с высотой согласно гидростатическому

') Будем полагать, что 6 > 0.

уравнению

Ро = Pogr -f- const = —pogz + const, (56,2)

где координата z отсчитывается вертикально вверх.

В столбе жидкости высотой h гидростатический перепад дав­ления составляет pogh. Этот перепад приводит к изменению плотности на ~pg/i/c², где с — скорость звука (см. ниже (64,4)). Согласно условию, это изменение должно быть пренебрежимо, причем не только по сравнению с самой плотностью, но и по сравнению с ее тепловым изменением (56,1). Другими словами, должно удовлетворяться неравенство

gh/c² < 66, (56,3)

где в —характерная разность температур.

Начнем с преобразования уравнения Навье — Стокса, кото­рое при наличии -поля тяжести имеет вид

^- + (vV)v = --^- + vAv+g,

получающийся добавлением к правой стороне (15,7) действую­щей на единицу массы силы g. Подставим сюда р = ро + р', р = р₀ -f- р'. С точностью до малых первого порядка имеем:

P ~ Ро ^{+ p}o Pi⁹' или, подставляя (56,1) и (56,2):

■a-i+-£+«n».

Подставляя это выражение в уравнение Навье-Стокса и опуская индекс у ро, получаем окончательно:

-g- + (vV)v = -V-£- + vAv-B_gr. (56,4)

В уравнении теплопроводности (50,2) член, содержащий вяз­кость, при свободной конвекции, как можно показать, мал по сравнению с другими членами уравнения и потому может быть опущен. Таким образом, получаем:

^дГ +vV7" = xA7". (56,5)

dt

Уравнения (56,4) и (56,5) вместе с уравнением непрерывности divv = 0 представляют собой полную систему уравнений, опи­сывающих свободную конвекцию (Л. Oberbeck, 1879; /. Boussi-nesq, 1903).

Для стационарного движения уравнения конвекции прини­мают вид

(vv)v = -V-£--gpr + vAv, (56,0)

vvr = xAr, (56,7)

divv = 0. (56,8)

В эту систему пяти уравнений, определяющих неизвестные функции v, р'/р, Т', входят три параметра: v, % и gp\ Кроме того, в их решение входят характерная длина h и характерная разность температур 6. Характерная скорость теперь отсут­ствует, поскольку никакого вынужденного посторонними причи­нами движения нет, и все течение жидкости обусловливается ее неравномерной нагретостыо. Из этих величин можно соста­вить две независимые безразмерные комбинации (напомним, что температуре надо при этом приписывать особую размерность — см. § 53) В качестве них обычно выбирают число Прандтля Р = v/% и число Ралея '):

Я-ф- (5W)

Число Прандтля зависит только от свойств самого вещества жидкости; основной же характеристикой конвекции как таковой является число Рэлея.

Закон подобия для свободной конвекции гласит

^v==x^f (т- я, Р). T = ef(^r_r, я, р). (56,10)

Два течения подобны, если их числа I и Р одинаковы. Тепло­передачу при конвекции в поле тяжести характеризуют числом Нуссельта, по-прежнему определенным согласно (53,7). Оно яв­ляется теперь функцией только от 9L и Р.

Конвективное движение может быть как ламинарным, так и турбулентным. Наступление турбулентности определяется чис­лом Рэлея — конвекция становится турбулентной при очень больших значениях 91.

Задачи

1. Привести к решению обыкновенных дифференциальных уравнений за­дачу об определении числа Нуссельта при свободной конвекции у плоской вертикальной стенки. Предполагается, что скорость и разности температур за­метно отличны от нуля лишь в тонком пограничном слое у поверхности стен­ки (Е. Pohlhausen, 1921).

') В литературе используется также число Гроссгофа:

Решение. Выбираем начало координат на нижнем краю стенки, ось х — вертикально в ее плоскости, а ось у — перпендикулярно стенке. В погра­ничном слое давление не меняется вдоль оси у (ср. § 39) и потому везде равно гидростатическому давлению ро (х), так что р' = 0. С обычной для пограничного слоя точностью уравнения (56,6—8) принимают вид

dv_x , dv_x d'vx

дТ дТ д²Т dv_x dv_y

^Vx~dx~ ^+Vy^y^==X ~ду^г' ~дТ ⁺ ~ду~⁼⁼°

(1)

с граничными условиями

_Vx = v_y = 0, Т = T_t при у = 0; V* — 0, Г = То при у — оо

_g-_QW__JL_. _G = ^ii^i^l (2>

^Ъ " t,3\ 1/4 .,2 ^v '

(Т,—температура стенки, Го— температура жидкости вдали от стенки). Эти уравнения могут быть преобразованы в обыкновенные дифференциальные уравнения введением в качестве независимой переменной величины

У г. gP (Г, - Гр) я³

(4хЛ³

(h — высота стенки). Полагаем 2v

(.3/2

«*=-^g^1/2V*<p'(sO, Г - Г, - (Г, - Го) в (£). (3)

Тогда последнее из уравнений (1) дает:

VGU4

^V»= (4xh*)W W-W>

а первые два дают уравнения для функций ф(|) и 8(£):

ф'" + 3фф"-2ф'² + в = 0, 6" + ЗРф6' = 0. (4)

Из (3—4) следует, что толщина пограничного слоя б ~ (xh³/G)^1/l. Уcлoвиe^ применимости решения, S<A, выполняется при достаточно больших значе­ниях G.

Полный поток тепла (отнесенный к единице площади стенки) h

1/4

0

Число Нуссельта

N = f (P)G¹'⁴,

где функция f(P) определяется решением уравнений (4).

2. Горячая турбулентная затопленная струя газа изгибается под влиянием поля тяжести; требуется определить ее форму (Г. Н. Абрамович, 1938).

Решение. Пусть Т' — некоторое среднее (по сечению струи) значение разности температур в струе и в окружающем газе, и — некоторое среднее значение скорости газа в струе, a I — расстояние вдоль струи от точки ее выхода (I предполагается большим по сравнению с размерами выходного отверстия струи). Условие постоянства потока тепла Q вдоль струи гласит!

Q ~ t>c_pT'uR² = const, а поскольку радиус турбулентной струи пропорционален / (ср. § 36), то

T'ul² = const — (1)

(заметим, что без учета поля тяжести и will — см. (36,3)—и из (1) сле­дует, что Т' с/з l/l).

Вектор потока импульса через поперечное сечение струи пропорционален pu²R²n ~ ри^г1^гп (п — единичный вектор вдоль направления струи). Его го­ризонтальная составляющая постоянна вдоль струи:

иЧ² cos 8 = const (2)

(6 — угол между п и горизонталью), а изменение вертикальной компоненты определяется действующей на струю подъемной силой. Последняя пропор­циональна

Ср и

Поэтому имеем:

— (IWslnQ)--^.. (3)

dl 0CpU

Ввиду (2) отсюда следует

77— = COnst / VCOS 9 ,

dl

откуда окончательно

^ const • I² (4)

5/2

J (cos 9)

{8o определяет направление струи в точке ее выхода).

В частности, если на всем протяжении струи изменение угла 9 незначи­тельно, то (4) дает

9 — 8₀ = const • I².

Это значит, что струя имеет форму кубической параболы, в которой откло­нение d от прямоугольной траектории d — const • P.

3. От неподвижного горячего тела поднимается вверх турбулентная (чис­ло Рэлея велико) струя нагретого газа. Определить закон изменения скорости и температуры струи с высотой (#. Б. Зельдович, 1937).

Решение. Как и в предыдущем случае, радиус струи пропорционален расстоянию от источника, и аналогично (1) имеем:

T'uz² = const,

а вместо (3)

d , „ const

dz и

(z — высота над телом, предполагающаяся большой по сравнению с его раз­мерами). Интегрируя последнее уравнение, найдем:

и во г-¹*.

а для температуры соответственно

4. То же для ламинарной свободной восходящей конвективной струи (Я. Б. Зельдович, 1937).

Решение. Наряду с соотношением

T'uR² = const,

выражающим постоянство потока тепла, имеем соотношение

u²/z ~ vu/R² ~ gpT',

вытекающее из уравнения (56,6). Из этих соотношений находим следующие законы изменения радиуса, скорости и температуры струи с высотой:

Rco'y'z, и — const, 7" оо l/z.

Заметим, что число _

Я со T'R³ oo-Vz

растет с высотой; поэтому на некоторой высоте струя становится турбу­лентной.