Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Гидродинамика.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
7.01 Mб
Скачать

§ 53. Закон подобия для теплопередачи

Процессы теплопередачи в жидкости осложняются по срав­нению с теплопередачей в твердых телах возможностью движе­ния жидкости. Погруженное в движущуюся жидкость нагретое тело охлаждается значительно быстрее, чем в неподвижной жид­кости, где теплопередача происходит только с помощью процес­сов теплопроводности. О движении неравномерно нагретой жид­кости говорят как о конвекции.

Будем предполагать, что имеющиеся в жидкости разности температур достаточно малы для того, чтобы ее физические свой­ства можно было считать не зависящими от температуры. С дру­гой стороны, эти разности будут предполагаться настолько большими, чтобы по сравнению с ними можно было пренебречь изменениями температуры, обусловленными выделением тепла, связанным с диссипацией энергии путем внутреннего трения (см. § 55). Тогда в уравнении (50,2) может быть опущен член, со­держащий вязкость, так что остается

~ + WT = %AT, (53,1)

где % х/рСр — температуропроводность. Это уравнение вместе с уравнением Навье-Стокса и уравнением непрерывности пол-

ностью описывает конвекцию в рассматриваемых условиях. Ниже мы будем рассматривать стационарное конвективное движе­ние1)- Тогда все производные по времени выпадают, и мы полу­чаем следующую систему основных уравнений:

vvr = XAr, (53,2)

(vv)v=-V-^- + vAv, divv = 0. (53,3)

В эту систему, в которой неизвестными функциями являются v, Г и р/р, входят всего два постоянных параметра: v и Кроме того, решение этих уравнений зависит, через посредство гранич­ных условий, еще от некоторого характерного параметра длины I, скорости U и характерной разности температур 7\ — Го. Пер­вые два определяют, как всегда, размеры фигурирующих в за­даче твердых тел и скорость основного потока жидкости, а тре­тий— разность температур между жидкостью и твердыми те­лами.

При составлении безразмерных величин из имеющихся в на­шем распоряжении параметров возникает вопрос о том, какую размерность следует приписать температуре. Для этого заме­чаем, что температура определяется уравнением (53,2), являю­щимся линейным и однородным по Г. Поэтому температура мо­жет быть умножена без нарушения уравнений на произвольный постоянный множитель. Другими словами, единицы для измере­ния температуры могут быть выбраны произвольным образом. Возможность такого преобразования температуры может быть учтена формально посредством приписывания ей некоторой осо­бой размерности, которая бы не входила в размерности осталь­ных величин. Таковой является как раз размерность градуса — единицы, в которой температура обычно и измеряется.

Таким образом, конвекция характеризуется в рассматривае­мых условиях пятью параметрами со следующими размерно­стями:

[v] = [%] = см2/с, [С/] = см/с, М = см, { — Г0] = град.

Из них можно составить две независимые безразмерные комби­нации. В качестве таковых мы выберем число Рейнольдса R =» = Ul/v и число Прандтля, определяемое как отношение

P=v/5c. (53,4)

4) Для того чтобы конвекция могла быть стационарной, необходимо, строго говоря, чтобы в соприкасающихся с жидкостью твердых телах находи­лись источники тепла, поддерживающие их при постоянной температуре.

2) Иногда пользуются числом Пекле (Peclet), определяемым как Оно сводится к произведению RP,

Всякая другая безразмерная величина может быть выражена че­рез R и Р2).

Что касается числа Прандтля, то оно представляет собой просто некоторую материальную константу вещества и не зависит от свойств самого потока. У газов это число — всегда порядка еди­ницы. Значения же Р для различных жидкостей лежат в более широком интервале. У очень вязких жидкостей Р может дости­гать очень больших значений. Приведем в качестве примера зна­чения Р при 20 °С для ряда веществ:

воздух . вода . . спирт . глицерин ртуть .

0,733 6,75 16,6 7250 0,044

Подобно тому как было сделано в § 19, мы можем теперь заключить, что в стационарном конвекционном потоке (задан­ного типа) распределение температуры и скорости имеет вид

/(f. *.р). 7j = *(-b *)• <53'5>

Безразмерная функция, определяющая распределение темпера­туры, зависит как от параметров от обоих чисел R и Р; распре­деление же скоростей — только от числа R, поскольку оно опре­деляется уравнениями (53,3), в которые теплопроводность не входит вовсе. Два конвекционных потока подобны, если их чис­ла Рейнольдса и Прандтля одинаковы.

Теплопередачу между твердыми телами и жидкостью харак­теризуют обычно так называемым коэффициентом теплопере­дачи а, определяемым как отношение

а = т q т , (53,6)

где q — плотность потока тепла через поверхность тела, а ^ — — Т0 — характерная разность температур твердого тела и жид­кости. Если распределение температуры в жидкости известно, то коэффициент теплопередачи легко определить, вычисляя плот­ность потока тепла q — —кдТ/дп на границе жидкости (произ­водная берется по нормали к поверхности тела).

Коэффициент теплопередачи является размерной величиной. В качестве безразмерной величины, характеризующей теплопере­дачу, пользуются числом Нуссельта

N = al/%. (53,7)

Из соображений подобия следует, что для каждого данного типа конвекционного движения число Нуссельта является определен­ной функцией только от чисел Рейнольдса и Прандтля:

N = /(R,P). (53,8)

Эта функция приобретает тривиальный вид при конвекции с достаточно малыми числами Рейнольдса. Малым R соответ­ствуют малые скорости движения. Поэтому в первом приближе­нии в уравнении (53,2) можно пренебречь членом, содержащим скорость, так что распределение температуры определяется урав­нением АТ" = 0, т. е. обычным уравнением стационарной тепло­проводности в неподвижной среде. Коэффициент теплопередачи не может, очевидно, зависеть теперь ни от скорости, ни от вяз­кости жидкости и потому должно быть просто

N = const, (53,9)

причем при вычислении этой постоянной можно рассматривать жидкость как неподвижную.

Задача

Определить распределение температуры в жидкости, совершающей пуазей-левское течение по трубе кругового сечения, температура стенки которой меняется вдоль длины трубы по линейному закону.

Решение. Условия течения одинаковы во всех сечениях трубы; и рас­пределение температуры можно искать в виде Т = Аг+ /(/•), где Аг — тем­пература стенки (выбраны цилиндрические координаты с осью г по оси трубы). Для скорости имеем согласно (17,9)

Решение этого уравнения, не имеющее особенностей при г = 0 и удовлетво­ряющее условию f = 0 при г R, есть

'«--^[4-Ш'+т(*)Т-

Плотность потока тепла

q %

дТ дг

= -~pcpvRA.

R *

Она не зависит от теплопроводности.