§ 5. Уравнение Бернулли

Уравнения гидродинамики заметно упрощаются в случае ста­ционарного течения жидкости. Под стационарным (или устано­вившимся) подразумевают такое течение, при котором в каждой точке пространства, занятого жидкостью, скорость течения остается постоянной во времени. Другими словами, v является функцией одних только координат, так что dv/dt = 0. Уравне­ние (2,10) сводится теперь к равенству

^{Y grad v2 — [v rot v] = — grad w.}

(5,1)

Введем понятие о линиях тока как линиях, касательные к ко­торым указывают направление вектора скорости в точке касания в данный момент времени; они определяются системой диффе­ренциальных уравнений

dx _ dy _ dz ₀.

vx-'Uy'-l^- ^(b>^Z)

При стационарном движении жидкости линии тока остаются не­изменными во времени и совпадают с траекториями частиц жидкости. При нестационарном течении такое совпадение, разу­меется, не имеет места: касательные к линии тока дают направ­ления скорости разных частиц жидкости в последовательных точках пространства в определенный момент времени, в то время как касательные к траектории дают направления скорости опре­деленных частиц в последовательные моменты времени.

Умножим уравнение (5,1) на единичный вектор касательной к линии тока в каждой ее точке; этот единичный вектор обозна­чим 1. Проекция градиента на некоторое направление равна, как известно, производной, взятой по этому направлению. По-

') Для воды при 20 °С значение в правой части (4,4) составляет около 1° на 6,7 км; для воздуха значение в правой части (4,5) составляет около 1" на 100 метров.

этому искомая проекция от grad до есть dw/dl. Что касается век­тора [vrotv], то он перпендикулярен к скорости v, и потому его проекция на направление 1 равна нулю.

Таким образом, из уравнения (5,1) мы получаем:

я-(т + -)-*

Отсюда следует, что величина -у + и> постоянна вдоль линии тока:

~ + w — const. (5,3)

Значение const, вообще говоря, различно для разных линий тока. Уравнение (5,3) называют уравнением Бернулли¹).

Если течение жидкости происходит в поле тяжести, то к пра­вой части уравнения (5,1) надо прибавить еще ускорение силы тяжести g. Выберем направление силы тяжести в качестве на­правления оси z, причем положительные значения z отсчиты-ваются вверх. Тогда косинус угла между направлениями g и 1 равен производной —dz/dl, так что проекция g на 1 есть

Соответственно этому будем иметь теперь

Таким образом, уравнение Бернулли гласит, что вдоль линий тока остается постоянной сумма

-g- + w + gz = const. (5,4)

§ 6. Поток энергии

Выберем какой-нибудь неподвижный в пространстве элемент объема и определим, как меняется со временем энергия находя­щейся в этом объеме жидкости. Энергия единицы объема жид­кости равна

р-у-4- ре,

где первый член есть кинетическая энергия, а второй — внутрен­няя энергия (е — внутренняя энергия единицы массы жидкости).

') Оно было установлено для несжимаемой жидкости (см. § 10) Д. Бер­нулли в 1738 г.

Изменение этой энергии определяется частной производной

Для вычисления этой величины пишем:

д ро^а о⁸ др ■ дч

dt 2 ~ 2 dt p^v 3<

или, воспользовавшись уравнением непрерывности (1,2) и урав­нением движения (2,3),

-^-^== —div pv — v grad p — pv(vV)v.

В последнем члене заменяем v(vV) v = ^l[₂vVv², а градиент дав­ления согласно термодинамическому соотношению dw = Tds-{-~ 4-dp/p заменяем на pVsy — pTVs и получаем:

Ж *f = - "г ^div р^у - p^vv ( ^w + -г) + р⁷^ v-s-

Для преобразования производной от ре воспользуемся термо­динамическим соотношением

dB = Tds-pdV = Tds + -£-dp.

Имея в виду, что сумма е'+р/р = e'-f-'pV есть не что иное, как тепловая функция w единицы массы, находим:

d(p&) = е dp + р dz = w dp -f- pT ds,

и потому

^{- w %■ + рГ f - - » div} _P^{v -} ₉^{Tv 7s.}

Здесь мы воспользовались также общим уравнением адиаба-тичности (2,6).

Собирая полученные выражения, находим для искомого из­менения энергии

^{■ш (■?•+ре) = - (ш + -т)div pv ~ Р(vV> (ю + 4) •}

или окончательно

^{^(4} _{+ P}^{e) = -div{pv(^ + .)}. (6,1)}

Для того чтобы выяснить смысл полученного равенства, про­интегрируем его по некоторому объему:

Ъ+ I») dV - - J div (pv + »)} rfK.

или, преобразовав стоящий справа объемный интеграл в инте-грал по поверхности:

^{i S +ре)dV = " <bv (т + ш)df • (6«2>}

Слева стоит изменение в единицу времени энергии жидкости в некотором заданном объеме пространства. Стоящий справа интеграл по поверхности представляет собой, следовательно, ко­личество энергии, вытекающей в единицу времени из рассмат­риваемого объема. Отсюда видно, что выражение

ру(-|- + ш) (6,3)

представляет собой вектор плотности потока энергии. Его абсо­лютная величина есть количество энергии, протекающей в еди­ницу времени через единицу поверхности, расположенную пер­пендикулярно к направлению скорости.

Выражение (6,3) показывает, что каждая единица массы жидкости как бы переносит с собой при своем движении энер­гию w + и²/2. Тот факт, что здесь стоит тепловая функция w, а не просто внутренняя энергия е, имеет простой физический смысл. Подставив w = г + р/р, напишем полный поток энергии через замкнутую поверхность в виде

^{— ф pv (-£ + в) Д — ф pvdt}

Первый член есть энергия (кинетическая и внутренняя), непо­средственно переносимая (в единицу времени) проходящей через поверхность массой жидкости. Второй же член представляет собой работу, производимую силами давления над жидкостью, заключенной внутри поверхности.