§ 51. Теплопроводность в неограниченной среде

Рассмотрим теплопроводность в неограниченной неподвижной среде. Наиболее общей постановкой задачи является следующая. В начальный момент времени t = 0 задано распределение тем­пературы во всем пространстве:

Т = Т₀(т) при / = 0,

где Го (г) — заданная функция координат. Требуется определить распределение температуры во все последующие моменты вре­мени.

Разложим искомую функцию Г (г, г) в интеграл Фурье по ко­ординатам:

Т(г,Ц~\т_ка)е**.**г, Г* (0==$ Г (г,(61,1)

Для каждой фурье-компоненты температуры, 7'_ke'^kr, уравнение (50,4) дает:

^■ + №=0,

откуда находим зависимость 7_к от времени:

Гк-Гокб-^'.

Поскольку при г = 0 должно быть Т = Т₀(г), ТО ЯСНО, ЧТО Г₀к представляет собой коэффициенты фурье-разложения функции Т₀:

r_№=$7^,o(r^,)e-^|kr'd^sJt^/.

Таким образом, находим:

Т = ^ Г₀(г') е-^k'*^fe^ik <'-''>d³x'-^d'^k

(2я)³ •

Интеграл по d³k разбивается на произведение трех одинаковых интегралов вида

^{J e-«5!cospgdg = (^-)'/2e-P!'ta}

где §— одна из компонент вектора к (аналогичный интеграл с sin вместо cos исчезает в силу нечетности функции sin). В ре­зультате получаем окончательно следующее выражение:

^{т (г' /} = Т^г \ т° (г'} ехР { - ^} йЧ- (51 "2>}

Эта формула полностью решает поставленную задачу, опре­деляя распределение температуры в любой момент времени по ее заданному распределению в начальный момент.

Если начальное распределение температуры зависит только от одной координаты х, то, произведя в (51,2) интегрирование по dy'dz', получим:

со

^{т {х}_{> <> - чщ^ S}^г_° ⁽_*'^{} ехр} _{{- -^г}¹¹_}^dx_'- ⁽⁵¹ _'³⁾

— оо

Пусть при t = 0 температура равна нулю во всем простран­стве, за исключением одной точки (начала координат), в кото­рой она принимает бесконечно большое значение, но так, что

полное количество тепла, пропорциональное интегралу ^ Г₀(г) d³x,

остается конечным. Такое распределение можно представить б-функцией:

Г₀ (г) = const-б (г). (51,4)

Интегрирование в формуле (51,2) сводится тогда просто к за­мене г' нулем, в результате чего получается:

Г (г, t) = const * e-"i*#. (51,5)

8 (n%t) '

С течением времени температура в точке г = 0 падает как t~³¹². Одновременно повышается температура в окружающем про­странстве, причем область заметно отличной от нуля темпера­туры постепенно расширяется (рис. 39). Ход этого расширения определяется в основном экспоненциальным множителем в (51,5): порядок величины / размеров этой области дается выражением

/~Ух7, (51.6)

т. е. растет пропорционально корню из времени.

Аналогично, если в начальный момент времени конечное количество тепла сконцентрировано в плоскости х = О, то в по­следующее время распределение темпе­ратуры определится формулой

Т(х, /)= const ' е-*¹**. (51,7) 2 (яхО '

Формулу (51,6) можно истолковать с несколько иной точки зрения. Пусть I есть порядок величины размеров тела. Тогда можно утверждать, что если это тело было неравномерно нагрето, то по­рядок величины времени т, в течение ко­торого температуры в разных точках тела заметно выравнятся, равен

т~/7х- (51,8)

Время т, которое можно назвать време­нем релаксации для процесса теплопро­водности, пропорционально квадрату раз­меров тела и обратно пропорционально коэффициенту температуропроводности.

Процесс теплопроводности, описывае- мый полученными здесь формулами, об- ладает тем свойством, что влияние вся- Рис. 39 кого теплового возмущения распростра- няется мгновенно на все пространство. Так, из формулы (51,5) видно, что тепло из точечного источника распространяется так, что уже в следующий момент времени температура среды обра- щается в нуль лишь асимптотически на бесконечности. Это свойство сохраняется и для среды с зависящей от температуры температуропроводностью если только эта зависимость не приводит к обращению % в нуль в какой-либо области простран- ства. Если же 1 есть функция температуры, убывающая и обра- щающаяся в нуль вместе с нею, то это приводит к такому за- медлению процесса распространения тепла, в результате кото- рого влияние любого теплового возмущения будет простираться в каждый момент времени лишь на некоторую конечную об- ласть пространства; речь идет о распространении тепла в среду, температуру которой (вне области влияния) можно считать равной нулю (Я. Б. Зельдович, А, С. Компанеец, 1950; им же принадлежит решение приведенных ниже задач).

Задачи

1. Теплоемкость и теплопроводность среды — степенные функции темпе- ратуры, а ее плотность постоянна. Определить закон обращения температуры в нуль вблизи границы области, до которой в данный момент распространя- лось тепло из некоторого произвольного источника; вне этой области темпе- ратура равна нулю.

Решение. Если х и с„ — степенные функции температуры, то то же самое относится к температуропроводности % и к тепловой функции

w =^c_pdT (постоянный член в w опускаем). Поэтому можно написать

X = aW", где посредством W = pw мы обозначили тепловую функцию еди­ницы объема среды. Тогда уравнение теплопроводности

рср-Ц—dlv(xvT)

приобретет вид

^j-=adiv (WⁿW). (1)

В течение небольшого интервала времени малый участок границы можно считать плоским, а скорость его перемещения в пространстве v — постоянной. Соответственно этому ищем решение уравнения (1) в виде W = W(x — vt), где х — координата в перпендикулярном к границе направлении. Имеем:

откуда после двукратного интегрирования находим следующий закон обраще­ния W в нуль:

Wco\x\^Vn, (3)

где \х\ — расстояние от границы нагретой области. В то же время этим под­тверждается вывод о наличии границы нагретой области (вне которой W, а с ней и Т равны нулю), если показатель п > 0. Если п г=: 0, то уравнение (2) не имеет решений, обращающихся в нуль на конечном расстоянии, т. е. тепло распределено в каждый момент по всему пространству.

2. В той же среде в начальный момент времени в плоскости к = 0 скон- центрировано количество тепла, равное (будучи отнесено к единице площа- ди) Q, а в остальном пространстве Т — 0. Определить- распределение темпе- ратуры в последующие моменты времени.

Решение. В одномерном случае уравнение (1) гласит:

Из имеющихся в нашем распоряжении параметров Q и а и переменных х t можно составить лишь одну безразмерную комбинацию:

X

:тственно эрг/см¹ )лжна иметь вид

(Q и а имеют размерность соответственно эрг/см² и см²/сек (см³/эрг)^п). По­этому искомая функция W(x, I) должна иметь вид где безразмерная функция ?(|) умножена на величину, имеющую размер­ность эрг/см³. После этой подстановки уравнение (4) дает

_{«+*£(''3)+«i+'-»}

Это уравнение в полных производных имеет простое решение, удовлетворяю­щее условиям задачи:

где So — постоянная интегрирования.

При п > 0 эга формула дает распределение температуры в области ме­жду границами х = ±х₀, определяющимися равенством £ = ±£о", вне этих границ W = 0. Отсюда следует, что границы нагретой области расширяются со временем по закону

*„ - const f^1/(2+">.

Постоянная go определяется условием постоянства полного количества тепла:

Q= J Wdx = Q J f(l)dl, (8)

-*> -So

откуда получается

(9)

_)I+„₂,_„ r*(_ + _)

,24-11 (2 +Я)'

⁶⁰ пя"^/2 Г»(1/п) '

При п = —V < 0 напишем решение в виде

П1) = [у^(_£? + 1²)]^_1/". (Ю)

Здесь тепло распределено по всему пространству, причем на больших рас­стояниях W убывает по степенному закону: W ~ x~^2,v. Это решение приме­нимо лишь при v < 2; при v :> 2 нормировочный интеграл (8) (который бе­рется теперь в пределах ±оо) расходится, что физически означает мгновен­ный уход тепла на бесконечное расстояние. При v < 2 постоянная |₀ в (10) равна

_rv f'J_ _ 1\ ₂__v 2(2-v)3t^v/2 U 2) _h - - ._rv_(1/v) • ОО

Наконец, при л -*- 0 имеем g₀ -> 2/У« и решение, определяемое форму­лами (5—7), дает

п-*о ( 2 -vW V 4аг/ J 2-vW в согласии с формулой (51,7).