
- •§ 1. Уравнение непрерывности
- •§ Pvrff,
- •§ 2. Уравнение Эйлера
- •§ 3. Гидростатика
- •§ 4. Условие отсутствия конвекции
- •§ 5. Уравнение Бернулли
- •§ 6. Поток энергии
- •§ 7. Поток импульса
- •§ 8. Сохранение циркуляции скорости
- •§ 9. Потенциальное движение
- •§ 10. Несжимаемая жидкость
- •§ 12. Гравитационные волны
- •§ 13. Внутренние волны в несжимаемой жидкости
- •§ 14. Волны во вращающейся жидкости
- •Глава II
- •§ 15. Уравнения движения вязкой жидкости
- •§ 16. Диссипация энергии в несжимаемой жидкости
- •§17. Течение по трубе
- •§ 18. Движение жидкости между вращающимися цилиндрами
- •§ 19. Закон подобия
- •§ 20. Течение при малых числах Рейнольдса
- •§ 21. Ламинарный след
- •§ 22. Вязкость суспензий
- •§ 23. Точные решения уравнений движения вязкой жидкости
- •§ 24. Колебательное движение в вязкой жидкости
- •§ 25. Затухание гравитационных волн
- •Глава III
- •§ 26. Устойчивость стационарного движения жидкости
- •§ 27. Устойчивость вращательного движения жидкости
- •§ 29. Неустойчивость тангенциальных разрывов
- •§ 30. Квазипериодическое движение и синхронизация частот3)
- •§ 31. Странный аттрактор
- •§ 32. Переход к турбулентности путем удвоения периодов
- •§ 33. Развитая турбулентность
- •§ 34. Корреляционные функции скоростей
- •§ 35. Турбулентная область и явление отрыва
- •§ 36. Турбулентная струя
- •§ 37. Турбулентный след
- •§ 38. Теорема Жуковского
- •Глава IV
- •§ 39. Ламинарный пограничный слой
- •1. Определить толщину пограничного слоя вблизи критической точки (см. § 10) на обтекаемом жидкостью теле.
- •2. Определить движение в пограничном слое при конфузорном (см. § 23) течении между двумя пересекающимися плоскостями (к.. Pohlhausen, 1921).
- •§ 41. Устойчивость движения в ламинарном пограничном слое
- •2) Эта аналогия указана а в. Тимофеевым (1979) и а а Андроновым и а л. Фабрикантом (1979); ниже мы следуем изложению а. В. Тимофеева.
- •8) При V"(y) шг 0 уравнение (41,2) вообще не имеет решений, удовлетворяющих необходимым граничным условиям.
- •§ 42. Логарифмический профиль скоростей
- •§ 43. Турбулентное течение в трубах
- •§ 44. Турбулентный пограничный слой
- •§ 45. Кризис сопротивления
- •§ 46. Хорошо обтекаемые тела
- •§ 47. Индуктивное сопротивление
- •§ 48. Подъёмная сила тонкого крыла
- •S2(£)-Citt) 6-«
- •Глава V
- •§ 49. Общее уравнение переноса тепла
- •§ 50. Теплопроводность в несжимаемой жидкости
- •§ 51. Теплопроводность в неограниченной среде
- •§ 52. Теплопроводность в ограниченной среде
- •§ 53. Закон подобия для теплопередачи
- •§ 54. Теплопередача в пограничном слое
- •ВгТт « - у«р-
- •§ 55. Нагревание тела в движущейся жидкости
- •§ 56. Свободная конвекция
- •§ 57. Конвективная неустойчивость неподвижной жидкости
- •§ 58. Уравнения гидродинамики для жидкой смеси
- •§ 59. Коэффициенты диффузии и термодиффузии
- •§ 60. Диффузия взвешенных в жидкости частиц
- •Глава VII
- •§ 61. Формула Лапласа
- •§ 62. Капиллярные волны
- •§ 63. Влияние адсорбированных пленок на движение жидкости
- •Глава VIII
- •§ 64. Звуковые волны
- •§ 66. Энергия и импульс звуковых волн
- •§ 66. Отражение и преломление звуковых волн
- •§ 67. Геометрическая акустика
- •§ 68. Распространение звука в движущейся среде
- •§ 69. Собственные колебания
- •§ 70. Сферические волны
- •§71. Цилиндрические волны
- •§ 72. Общее решение волнового уравнения
- •Ctjc42-(X-q2- (*/-г,)2'
- •§ 73. Боковая волна
- •§ 74. Излучение звука
- •§ 75. Возбуждение звука турбулентностью
- •V 1г' 4я j дхидх1к
- •§ 76. Принцип взаимности
- •§ 77. Распространение звука по трубке
- •§ 78. Рассеяние звука
- •§ 79. Поглощение звука
- •4. Определить дополнительное поглощение звука, распространяющегося в смеси двух веществ, связанное с диффузией (и. Г. Шапошников и 3. А Гольдберг, 1952).
- •§ 80. Акустическое течение
- •§ 81. Вторая вязкость
- •Глава IX
- •§ 82. Распространение возмущений в потоке сжимаемого газа
- •2) Во избежание недоразумений оговорим, что если перед обтекаемым телом возникает ударная волна, то эта область несколько увеличивается (см. § 122).
- •§ 83. Стационарный поток сжимаемого газа
- •§ 84. Поверхности разрыва
- •§ 85. Ударная адиабата
- •2) Такой выбор системы координат будет подразумеваться везде в этой главе, за исключением § 92.
- •§ 86. Ударные волны слабой интенсивности
- •§ 87] Направление изменения величин в ударной волне 463
- •§ 87. Направление изменения величин в ударной волне
- •§ 88. Эволюционность ударных волн
- •§ 89. Ударные волны в политропном газе
- •1. Получить формулу
- •§ 90. Гофрировочная неустойчивость ударных волн
- •2) Сравните с аналогичной ситуацией для тангенциальных разрывов — задача 2 § 84.
- •1) Эта неустойчивость тоже была указана с. П. Дьяковым (1954); правильное значение нижней границы в (90,17) найдено в. М. Конторовичем (1957).
- •§ 91. Распространение ударной волны по трубе
- •§ 92. Косая ударная волна
- •§ 93. Ширина ударных волн
- •§ 94. Ударные волны в релаксирующей среде
- •§ 96. Слабые разрывы
- •Глава X
- •§ 97. Истечение газа через сопло
- •§ 98. Вязкое движение сжимаемого газа по трубе
- •§ 99. Одномерное автомодельное движение
- •5. Определить движение в изотермической автомодельной волне разрежения.
- •§ 100. Разрывы в начальных условиях
- •§ 101. Одномерные бегущие волны
- •§ 102. Образование разрывов в звуковой волне
- •§ 103. Характеристики
- •§ 104. Инварианты Римана
- •§ 105. Произвольное одномерное движение сжимаемого газа
- •§ 106. Задача о сильном взрыве
- •§ 107. Сходящаяся сферическая ударная волна
- •2) Эта задача была рассмотрена независимо Гудерлеем (о. Guderleu, 1942) и л. Д. Ландау и к. П. Станюковичем (1944, опубликовано в 1955).
- •§ 108. Теория «мелкой воды»
- •Глава XI
- •§ 109. Волна разрежения
- •§ 111. Пересечение ударных волн с твердой поверхностью
- •§ 112. Сверхзвуковое обтекание угла
- •§ 113. Обтекание конического острия
- •Глава XII
- •§ 114. Потенциальное движение сжимаемого газа
- •§ 115. Стационарные простые волны
- •§ 116. Уравнение Чаплыгина (общая задача
- •§ 117. Характеристики плоского стационарного течения
- •§ 118. Уравнение Эйлера — Трикоми. Переход через звуковую скорость
- •§1191 Решение уравнения эйлера —трикоми 619
- •§ 119. Решения уравнения Эйлера — Трикоми вблизи неособых точек звуковой поверхности
- •§ 120. Обтекание со звуковой скоростью
- •§ 121. Отражение слабого разрыва от звуковой линии
- •Глава XIII
- •§ 122. Образование ударных воли при сверхзвуковом обтекании тел
- •§ 123. Сверхзвуковое обтекание заостренного тела
- •§ 124. Дозвуковое обтекание тонкого крыла
- •§ 125. Сверхзвуковое обтекание крыла
- •§ 126. Околозвуковой закон подобия
- •§ 127. Гиперзвуковой закон подобия
- •Глава XIV
- •§ 128. Медленное горение
- •§ 129. Детонация
- •§ 130. Распространение детонационной волны
- •§ 131. Соотношение между различными режимами горения
- •§ 132. Конденсационные скачки
- •Глава XV
- •§ 133. Тензор энергии-импульса жидкости
- •§ 134. Релятивистские гидродинамические уравнения
- •§ 135. Ударные волны в релятивистской гидродинамике
- •§ 136. Релятивистские уравнения движения вязкой и теплопроводной среды
- •§ 137. Основные свойства сверхтекучей жидкости
- •§ 138. Термомеханический эффект
- •§ 139. Уравнения гидродинамики сверхтекучей жидкости
- •§ 140. Диссипативные процессы в сверхтекучей жидкости
- •§ 141. Распространение звука в сверхтекучей жидкости
Глава V
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ в жидкости
§ 49. Общее уравнение переноса тепла
В конце § 2 было указано, что полная система гидродинамических уравнений должна содержать пять уравнений. Для жидкости, в которой имеют место процессы теплопроводности и внутреннего трения, одним из этих уравнений является по-прежнему уравнение непрерывности; уравнения Эйлера заменяются уравнениями Навье — Стокса. Что же касается пятого уравнения, то для идеальной жидкости им является уравнение сохранения энтропии (2,6). В вязкой жидкости это уравнение, разумеется, не имеет места, поскольку в ней происходят необратимые процессы диссипации энергии.
В идеальной жидкости закон сохранения энергии выражается уравнением (6,1):
Слева стоит скорость изменения энергии единицы объема жидкости, а справа — дивергенция плотности потока энергии. В вязкой жидкости закон сохранения энергии, конечно, тоже имеет место: изменение полной энергии жидкости в некотором объеме (в 1 сек.) должно быть по-прежнему равно полному потоку энергии через границы этого объема. Однако .плотность потока энергии выглядит теперь иным образом. Прежде всего помимо потока pv (о2/2 + ш), связанного с простым переносом массы жидкости при ее движении, имеется еще поток, связанный с процессами внутреннего трения. Этот второй поток выражается вектором— (vo') с компонентами vta'ik (см. § 16). Этим, однако, не
исчерпываются все дополнительные члены в потоке энергии.
Если температура жидкости не постоянна вдоль ее объема, то наряду с обоими указанными механизмами переноса энергии будет происходить перенос тепла также и посредством так называемой теплопроводности. Под этим подразумевается непосредственный молекулярный перенос энергии из мест с более высокой в места с более низкой температурой. Ок не связан с макроскопическим движением и происходит также и в неподвижной жидкости.
Обозначим через q плотность потока тепла, переносимого посредством теплопроводности. Поток q связан некоторым образом с изменением температуры вдоль жидкости. Эту зависимость можно написать сразу в тех случаях, когда градиент температуры в жидкости не слишком велик; практически в явлениях теплопроводности мы почти всегда имеем дело именно с такими случаями. Мы можем тогда разложить q в ряд по степеням градиента температуры, ограничившись первыми членами разложения. Постоянный член в этом разложении, очевидно, исчезает, поскольку q должно обращаться в нуль вместе с V7\ Таким образом, получаем:
q = —yST. (49,1)
Постоянная х называется теплопроводностью. Она всегда положительна,— это видно уже из того, что поток энергии должен быть направлен из мест с более высокой в места с более низкой температурой, т. е. q и V7" должны иметь противоположные направления. Коэффициент х является, вообще говоря, функцией температуры и давления.
Таким образом, полная плотность потока энергии в жидкости при наличии вязкости и теплопроводности равна сумме
pv (-|- + a>)-(vo-')-*vr.
Соответственно этому общий закон сохранения энергии выражается уравнением
■ж (гг+ div [pv (4 + ш) - (vo'>_ х vr] • <49'2>
Это уравнение можно было бы выбрать в качестве последнего из полной системы гидродинамических уравнений вязкой жидкости. Удобно, однако, придать ему другой вид, преобразовав его с помощью уравнений движения. Для этого вычислим производную по времени от энергии единицы объема жидкости, исходя из уравнений движения. Имеем:
д ( pv2 , \ v2 др . dv , де , др
Ж\—+Рг)=1Г-д7+уР-дГ + <>-дТ + гТГ-
Подставляя сюда dp/dt из уравнения непрерывности и dv/dt из уравнения Навье — Стокса, получим:
-щ- \ГГ + peJ = ~ Т dlv pv ~ Р <v V> Т ~ vv + v' ~дхТ +
+ p-^--edlvpv.
Воспользуемся теперь термодинамическим соотношением
dz = Tds - pdV = Tds + -4 dp,
откуда
dt 1 dt + p2 dt 1 dt p2 a,v^Pv>-
Подставляя это и вводя тепловую функцию w — е + р/р, находим:
(■^-
+ ре) = —(» + 4)
div
(pv) -
р (W)
—
vVp
+
17
6s 6a'
dt 1 "« *
Далее, из термодинамического соотношения dw = Т ds-\-dp/p имеем:
Vp == pVffi> — pTVs.
Последний же член в правой стороне равенства можно написать в виде
da'ik д . , v , dv( , dv(
Подставляя эти выражения, прибавляя и вычитая div(xVT'), получим:
ьт irr +ре)= ~div [pv (т- + w) - <У0'> - « vr] +
+ РТ (■§ + v Vs) - a'ift |Hi - div (x VT). (49,3)
Сравнив это выражение для производной от энергии единицы объема с выражением (49,2), получим следующее уравнение:
9T(% + vVs) = a'lk^-+div(xm (49,4)
Мы будем называть это уравнение общим уравнением переноса тепла. При отсутствии вязкости и теплопроводности его правая сторона обращается в нуль и получается уравнение сохранения энтропии (2,6) идеальной жидкости.
Нужно обратить внимание на следующее истолкование уравнения (49,4). Стоящее слева выражение есть не что иное, как умноженная на рТ полная производная от энтропии по времени ds/dt. Последняя определяет изменение энтропии данной передвигающейся в пространстве единицы массы жидкости; Tds/dt есть, следовательно, количество тепла, получаемого этой единицей массы в единицу времени, а pTds/dt — количество тепла, отнесенное к единице объема. Из (49,4) мы видим поэтому, что количество тепла, получаемого единицей объема жидкости, есть
к
Первый член здесь представляет собой энергию, диссипируемую в виде тепла благодаря вязкости, а второй есть тепло, приносимое в рассматриваемый объем посредством теплопроводности.
Раскроем первый член в правой стороне уравнения (49,4), подставив в него выражение (15,3) для а\к. Имеем:
, до( dv{ / dvf dvk 2 dvl \ dvt dv(
Легко проверить, что первый член может быть написан в виде
Ч (д°{ , dvk 2 . jM2 2 \dxk "i" d*, 3 °ik дх() '
а во втором имеем:
dv. да, dv. dv. ,,. vo ^6'^ = ?4^7-S(d.vv)-.
Таким образом, уравнение (49,4) приобретает вид
(ds \ ti / dv. dv. 2 dv,\2
РТ {w + v у.) - div (к VD + -J + -g± - j blk ^) +
+ Udivv)2. (49,5)
В результате необратимых процессов теплопроводности и внутреннего трения энтропия жидкости возрастает. Речь идет при этом, конечно, не об энтропии каждого элемента объема жидкости в отдельности, а о полной энтропии всей жидкости,
равной интегралу ^ ps dV. Изменение энтропии в единицу времени определяется производной
С помощью уравнения непрерывности и уравнения (49,5) имеем: njr=р|г + 8 %=~ s div pv - ру ?s + -гdiv <* vr> +
ri /dv, dv. 2 dv.\2 I
Первые два члена дают в сумме — div(psv). Интеграл по объему от этого члена преобразуется в интеграл от потока энтропии psv по поверхности. Рассматривая неограниченный объем жидкости, покоящейся на бесконечности, мы можем стремить граничную поверхность на бесконечность; тогда подынтегральное выражение в поверхностном интеграле обращается в нуль и интеграл исчезает. Интеграл от третьего члена преобразуется следующим образом:
1 г / xVT \ С х(7Т)2
Tdiv(xvr)dy
=
J
div{-y-)dV
+
) T2
dV-
Считая, что температура жидкости на бесконечности достаточно быстро стремится к постоянному пределу, преобразуем первый интеграл в интеграл по бесконечно удаленной поверхности, на которой VT = 0, так что интеграл тоже исчезает.
В результате получается: д С fx (VT)2 С i\ (dv,. dv. 2 dv, V
-\9sdv = \-Y^dv + \w{-^ + -^i-^biklJ-) dV +
+ ^(divwfdV. (49,6)
Первый член представляет собой увеличение энтропии благодаря теплопроводности, а остальные два — увеличение энтропии, обусловленное внутренним трением.
Энтропия может только возрастать, т. е. сумма (49,6) должна быть положительна. С другой стороны, в каждом из членов этой суммы подынтегральное выражение может быть отлично от нуля даже при равенстве нулю двух других интегралов. Поэтому каждый из этих интегралов должен быть всегда положителен. Отсюда следует наряду с известной уже нам положительностью и и л также и положительность второго коэффициента вязкости £.
При выводе формулы (49,1) молчаливо подразумевалось, что поток тепла зависит только от градиента температуры и не зависит от градиента давления. Это предположение, априори не очевидное, может быть оправдано теперь следующим образом. Если бы в q входил член, пропорциональный Vp, то в выражении (49,6) для изменения энтропии прибавился бы еще член, содержащий под интегралом произведение VpVT. Поскольку это последнее может быть как положительным, так и отрицательным, то и производная от энтропии по времени не была бы существенно положительной, что невозможно.
Наконец, необходимо уточнить изложенные выше рассуждения еще и в следующем отношении. Строго говоря, в термодинамически неравновесной системе, каковой является жидкость при наличии в ней градиентов скорости и температуры, обычные определения термодинамических величин теряют смысл и должны быть уточнены. Подразумевавшиеся нами здесь определения заключаются прежде всего в том, что р, е и v определяются по-прежнему: р и ре есть масса и внутренняя энергия, заключенные в единице объема, a v есть импульс единицы массы жидкости. Остальные же термодинамические величины определяются затем как те функции от р и е, которыми они являются в состоянии теплового равновесия. При этом, однако, энтропия s = s(e, р) уже не будет истинной термодинамической энтропией:
интеграл ^ ps dV не будет, строго говоря, той величиной, которая должна возрастать со временем. Тем не менее, легко видеть, что при малых градиентах скорости и температуры в принятом нами здесь приближении s совпадает с истинной энтропией.
Действительно, при наличии градиентов в энтропии появляются, вообще говоря, связанные с ними дополнительные (по отношению к s(p, е)) члены. На изложенных выше результатах, однако, могли бы сказаться лишь линейные по градиентам члены (например, член, пропорциональный скаляру divv). Такие члены неизбежно могли бы принимать как положительные, так и отрицательные значения. Между тем они должны быть существенно отрицательными, так как равновесное значение s = = s(p, е) является максимальным возможным. Поэтому разложение энтропии по степеням малых градиентов может содержать (помимо нулевого члена) лишь члены начиная со второго порядка.
Аналогичные замечания должны были быть по существу сделаны уже в § 15 (ср. примечание на стр. 66), так как уже наличие градиента скорости является термодинамической неравновесностью. Именно, под давлением р, которое входит в выражение для тензора плотности потока импульса в вязкой жидкости, следует понимать ту функцию р —р(е,р), которой она является в состоянии теплового равновесия. При этом р не будет уже, строго говоря, давлением в обычном смысле слова, т. е. не будет совпадать с нормальной силой, действующей на элемент поверхности. В отличие от того, что было сказано выше об энтропии, здесь различие проявляется уже в величинах первого порядка по малому градиенту: мы видели, что в нормальной компоненте силы появляется наряду с р еще и член, пропорциональный div v (в несжимаемой жидкости этот член отсутствует и там разница появляется лишь в членах более высокого порядка).
Таким образом, три коэффициента п, £, х, фигурирующие в системе уравнений движения вязкой теплопроводящей жидкости, полностью определяют гидродинамические свойства жидкости в рассматриваемом, всегда применяемом приближении (т. е. при пренебрежении производными высших порядков по координатам от скорости, температуры и т. п.). Введение в уравнения каких-либо дополнительных членов (например, введение в плотность потока массы членов, пропорциональных градиентам плотности или температуры) лишено физического смысла и означало бы в лучшем случае лишь изменение определения основных величин; в частности, скорость не совпадала бы с импульсом единицы массы жидкости1).