§ 34. Корреляционные функции скоростей

Уже формула (33,6) качественно определяет корреляцию ско­ростей в локальной турбулентности, т. е. связь между скоро­стями в двух близких точках потока. Введем теперь функции, которые могут служить количественной характеристикой этой корреляции²).

Первой из таких характеристик является корреляционный тензор второго ранга

B_ik = ((v₂i — vu) (v₂k — vik)}, (34,1)

') Эти результаты можно применить к взвешенным в жидкости части­цам суспензии, пассивно переносимым вместе с движущейся жидкостью.

²) Корреляционные функции были введены в гидродинамику турбулент» ности Л. В. Келлером и А. А. Фридманом (1924).

где Vi и v₂ — скорости жидкости в двух близких точках, а угло­вые скобки означают усреднение по времени. Радиус-вектор между точками / и 2 (направленный от / к 2) обозначим через г = г₂ — г и Рассматривая локальную турбулентность, мы счи­таем расстояние малым по сравнению с основным масштабом /, но не обязательно большим по сравнению с внутренним мас­штабом турбулентности Хо-

Изменение скорости на малых расстояниях обусловлено мел­комасштабными пульсациями. С другой стороны, свойства ло­кальной турбулентности не зависят от усредненного движения. Поэтому можно упростить изучение корреляционных функций локальной турбулентности, рассматривая вместо этого идеали­зированный случай турбулентного движения, в котором изотро­пия и однородность имеют место не только на малых (как в локальной турбулентности), но и на всех вообще масштабах; усредненная скорость при этом равна нулю. Такую полностью изотропную и однородную турбулентность¹) можно представить себе как движение в жидкости, подвергнутой сильному «взбал­тыванию» и затем оставленной в покое. Такое движение, разу­меется, непременно затухает со временем, так что функциями времени становятся и компоненты корреляционного тензора²). Выведенные ниже соотношения между различными корреляцион­ными функциями относятся к однородной и изотропной турбу­лентности на всех ее масштабах, а к локальной турбулентно­сти — на расстояниях г <С /.

В силу изотропии, тензор Bik не может зависеть ни от какого избранного направления в пространстве. Единственным векто­ром, который может входить в выражение для Bik, является ра­диус-вектор г. Общий вид такого симметричного тензора вто­рого ранга есть

В_ш=А(г)Ь_1к + В(г)тпи, (34,2)

где п — единичный вектор в направлении г.

Для выяснения смысла функций А и В выберем координат­ные оси так, чтобы одна из них совпала с направлением п. Ком­поненту скорости вдоль этой оси обозначим как v_r, а перпенди­кулярную п составляющую скорости будем отличать индексом t. Компонента корреляционного тензора В_гг есть тогда среднее значение квадрата относительной скорости двух частиц жидкости в их движении навстречу друг другу. Компонента же В_п есть средний квадрат скорости вращательного движения одной ча­стицы относительно другой. Поскольку n_r—\, tit = 0, то из (34,2) имеем

') Это понятие было введено Тэйлором (G. I. Taylor, 1935].

²) Под усреднением в определении (34,1) надо при этом, строго говоря, понимать не усреднение по времени, а усреднение по всем возможным поло­жениям точек / и 2 (при заданном расстоянии между ними) в один и тот же момент времени.

В„ = А+В, Btt=A, B_tr = 0.

Выражение (34,2) можно теперь представить в виде

В,_к = В_п (г) (6_lk - n_tn_k) + В„ (г) щп_к. (34,3)

Раскрыв скобки в определении (34,1), пишем

B_ik = (v_Hv_lk) + (v_2iv_2k) — (v_uv_2k) — (v_lkv_2l).

Ввиду однородности, средние значения произведения ViVh в точ­ках 1 и 2 одинаковы, а ввиду изотропии среднее значение <Упу₂*> не меняется при перестановке точек / и 2 (т. е. при изменении знака разности г — г₂ — Г\) \ таким образом,

(vuVik) = (v_2iv_2k) = 4 <t>²> 6_ik, (v_Hv_2k) = (v_2iv_ik).

3

Поэтому

B_ik = - (v²) 6_ik - 2b_lk, b_lk = (v_Hv_2k). (34,4)

Вспомогательный симметричный тензор bik обращается в нуль при г->оо; действительно, скорости турбулентного движения в бесконечно удаленных точках можно считать статистически не­зависимыми, так что среднее значение их произведения сводится к произведению средних значений каждого множителя в отдель­ности, равных нулю по условию.

Продифференцируем выражение (34,4) по координатам точки 2:

дВ_{1к 9} dbjk ₉/ di>2_k\

дх_гк— ^z dx_2k — ^Z\^Vii дх,кГ

Но в силу уравнения непрерывности имеем ду_2к/дх_2к = 0, так что

dBjk _ ₀ дх₂к

Поскольку Bik являются функциями только от разности г = = г₂ — п, то дифференцирование по х_2к эквивалентно дифферен­цированию по х_к- Подставив для В/* выражение (34,3), получим после простого вычисления:

£;_r + f(s„-s„) = o

(' означает дифференцирование по г). Таким образом, продоль­ная и поперечная корреляционные функции связаны друг с дру­гом соотношением

^В"-Ц^^Вгг)- (34,5)

Согласно (33,6) разность скоростей на расстоянии г в инер­ционной области пропорциональна г^1/3. Поэтому корреляцион­ные функции В_гг и Вц в этой области пропорциональны г²/³. При этом из (34,5) получается следующее простое соотношение:

B_lt = jB_rr (А,₀ <r</). (34,6)

Для расстояний же г <С А₀ разность скоростей пропорцио­нальна г и, следовательно, В_гг и Вц пропорциональны г². Фор­мула (34,5) приводит теперь к соотношению

B_tt = 2Brr (г<Ьо). (34,7)

Для этих расстояний Btt и В_гг могут еще быть выражены через среднюю диссипацию энергии е. Пишем B_rr = аг² (где а — по­стоянная) и, комбинируя (34,3—4) и (34,7) находим:

b_ik = j (v²) b_ik — ar²6_lk + j XiX_k. Дифференцируя это соотношение, получаем:

\дхц дхц/ \дхц dxul

Поскольку эти равенства справедливы при сколь угодно малых г, можно положить в них ri=r₂, после чего они дают:

<&)">-*. ®£>-о.

С другой стороны, согласно (16,3) имеем для средней диссипа­ции энергии

откуда a = e/15v'). В результате находим окончательно сле­дующие формулы, определяющие корреляционные функции че­рез диссипацию энергии:

⁶« = ll'²' B_rr = -^r² (34,8)

(Л. Я. Колмогоров, 1941).

Далее, введем корреляционный тензор третьего ранга

B_iki = ((v₂i — vu) (v₂k — vik) (v₂i — v_u)y (34,9)

и вспомогательный тензор

bik, i = <.VuVikV₂i> = —<.v₂iV₂kVu>. (34,10)

') Отметим, что для изотропной турбулентности средняя диссипация свя­зана со средним квадратом завихренности простым соотношением:

/ ( ^dvi ^dvk V\

Последний симметричен по первой паре индексов (второе ра­венство в определении (34,10) связано с тем, что перестановка точек 1 и 2 эквивалентна изменению знака г, т. е. инверсии ко­ординат и потому меняет знак тензора третьего ранга). При г — 0, т. е. при совпадении точек 1 к 2, тензор bik, t (0) = 0 — среднее значение от произведения нечетного числа компонент пульсирующей скорости обращается в нуль. Раскрыв скобки в определении (34,9), выразим тензор Вш через bi_k,i:

В_ш = 2 (b_lk, _t + b_it, _k + bi_k, t). (34,11);

При r->-oo тензор bik, i, а с ним и Вш, стремятся к нулю.

В силу изотропии, тензор bi_k, t должен выражаться через единичный тензор Ь_1к и компоненты единичного вектора п. Об­щий вид такого тензора, симметричного по первой паре индек­сов, есть

b,_k, i=C(r)6,_кщ + D(r)(6_tln_k + Ь_к1щ) + F(г)_nin_kn_t. (34,12)

Дифференцируя его по координатам точки 2, получим в силу уравнения непрерывности

Подстановка же сюда выражения (34,12) приводит, после про­стого вычисления, к двум уравнениям

[r²(3C + 2D+^)]' = 0, C' + ₇(C + D) = 0.

Интегрирование первого 'дает

ЗС + 2D + F = ~±-.

Но при г = 0 функции С, D, F должны обращаться в нуль, по­этому надо положить const = 0, так что ЗС + 2D + F = 0. Из обоих полученных таким образом уравнений находим:

£> = -С -\rC, F = rC-С. (34,13)

Подстановка (34,13) в (34,12) и затем в (34,11) приводит к выражению

В_ш = -2 (гС' + С) (6_ikn_t + Ь_пп_к + 6_ktn_t) + 6 (гС - С) щл*»,.

Направив снова одну из координатных осей по направлению вектора п, получим для компонент тензора Вш\

В_пг=-\2С, В_ш = -2(С + гС), В„, = В_ш = 0. (34,14)

Отсюда видно, что между отличными от нуля корреляционными функциями Brtt и В,гг имеется соотношение

^{Brtt^i-$?№„,). (34,15)}

Ниже нам понадобится также и выражение тензора bik,i че­рез компоненты тензора Вм- С помощью (34,12—14) находим

Ъш, i = —~ й _ГД_Л + ± (rB'_rrr + 2B_rrr) (6_Hn_k + б_ып_{) -

--^(гВ'_ггг-В_ггг)п_М. (34,16)

Соотношения (34,5) и (34,15) — следствия одного лишь урав­нения непрерывности. Привлечение же динамического уравне­ния движения — уравнения Навье — Стокса — позволяет устано­вить уравнение, связывающее друг с другом корреляционные тензоры Bi_k и Biki (77г. Karman, L. Howarth, 1938; A. H. Колмо­горов, 1941).

Для этого вычисляем производную dbik/dt (напомним, что полностью однородное и изотропное турбулентное движение не­пременно затухает со временем). Выразив производные dvn/dt и dvik/dt с помощью уравнения Навье — Стокса, получим

jf(v_nv_2k) = — -g^j- (v_nv_uv_2k) — -щ- {v_nv_2kv₂i) —

— ~-^{piV_2k)^— 7-0^7<P2»u>.+ ^vAi<0u»2*> + vA₂(y_uu_2ft). (34,17)

Корреляционная функция давления и скорости равна нулю:

<piv₂> = 0. (34,18)

Действительно, в силу изотропии эта функция должна была бы иметь вид f{r)n. С другой стороны, в силу уравнения непре­рывности

div₂ <piv₂> = <pi div₂ v₂> = 0.

Но единственным вектором вида /(r)n и с равной нулю дивер­генцией является вектор constп/r²; такой вектор не удовлетво­ряет условию конечности при г = 0 и потому должно быть const = 0.

Заменив теперь в (34,17) производные по хц и x_2i производ­ными по —Xi и Xi, получим уравнение

Ж ^Ь<ь ⁼ -ЬЩ * + <> + ^{2v Ab}*- <³⁴'¹⁹)

Сюда надо подставить bik и bik,t из (34,4) и (34,16). Производ­ная по времени от кинетической энергии единицы массы жидкости, <f 2>/2, есть не что иное, как диссипация энергии —б. Поэтому

^д <^о2>, ₌ _ 1 _е

dt з 3

Простое, но довольно длинное вычисление приводит к следую­щему уравнению'):

2 1 дВ, ~¥^е_ 2

Величина В_гг как функция времени существенно меняется лишь за время, отвечающее основному масштабу турбулент­ности (~1/и). По отношению к локальной турбулентности основ­ное движение может рассматриваться как стационарное (как это было уже отмечено в § 33). Это значит, что в применении к ло­кальной турбулентности в левой стороне уравнения (34,20) можно с достаточной точностью пренебречь производной dB_rr/dt по сравнению с е. Умножив остающееся уравнение на г⁴ и про­интегрировав его по г (с учетом обращения корреляционных функций в нуль при г = 0), получим следующее соотношение между В_Гг и В

B„_r=-|-er + 6v-^- (34,21)

(А. Н. Колмогоров, 1941). Это соотношение справедливо при г как больших, так и меньших чем Xq. При г >• %_й член, содержа­щий вязкость, мал и мы имеем просто

/J_ffr=--±er. ₍₃₄₍22)

Если же подставить в (34,21) при г «С %_а выражение (34,8) для В_Гг, то получится нуль; это связано с тем, что в этом случае должно быть B_rrr °° г³, так что члены первого порядка должны сократиться.

Одно уравнение (34,20) связывает две независимые функции В_гг и В_Ггг и потому, само по себе, не дает возможности найти эти функции. Появление в нем корреляционных функций сразу двух порядков связано с нелинейностью уравнения Навье— Стокса. По этой же причине вычисление производной по вре­мени от корреляционного тензора третьего ранга привело бы к уравнению, содержащему также и корреляционную функцию четвертого порядка, и т. д. Таким образом, возникает бесконеч­ная цепочка уравнений. Получить таким способом замкнутую

') В результате вычисления это уравнение получается умноженным с обоих сторон на оператор (1 + Чггд/дг). Но поскольку единственное решение уравнения f -f- ^l/₂rdfldr = 0, конечное при г = 0, есть f = 0, то этот опера-агор можно опустить.

систему конечного числа уравнений без каких-либо дополнитель­ных предположений невозможно.

Сделаем еще следующее общее замечание¹). Можно было бы думать, что существует принципиальная возможность получить универсальную (применимую к любому турбулентному движе­нию) формулу, определяющую величины В_гг, Ви для всех рас­стояний г, малых по сравнению с /. В действительности, однако, такой формулы вообще не может существовать, как это явствует из следующих соображений. Мгновенное значение величины (t>2t — V\i)(v2k — v\k) можно было бы, в принципе, выразить универсальным образом через диссипацию энергии е в тот же момент времени. Однако, при усреднении этих выражений будет существенным закон изменения е в течение периодов крупно­масштабных (масштабы ~/) движений, различный для различ­ных конкретных случаев движения. Поэтому и результат усред­нения не может быть универсальным²).

Интеграл Лойцянского

Перепишем уравнение (34,20), введя в него вместо функций Brr, В„г функции b_rr, b_n, _Г:

T=^it²-⁴^ + '⁴M- <³⁴-²³>

Умножив это уравнение на г⁴, проинтегрируем его по г от 0 до со. Выражение в квадратных скобках равно нулю при г = 0. По­лагая, что оно обращается в нуль также и при г—>-оо, найдем, что

Л => J r%_r dr = const (34,24)

о

(Л. Г. Лоицянский, 1939). Этот интеграл сходится, если функция brr убывает на бесконечности быстрее, чем г~⁵, а чтобы он дей­ствительно сохранялся, функция b_rr,_r должна убывать быстрее, чем г^-4.

') Оно было высказано Л. Д. Ландау (1944).

²) Вопрос о том, должны ли флуктуации е отразиться даже на виде корреляционных функций в инерционной области, вряд ли может быть на­дежно решен до построения последовательной теории турбулентности [этот вопрос был поставлен Колмогоровым А. Н. — J. Fluid Mech., 1962, v. 13, p. 77) и Обуховым А. М. (там же, р. 82)]. Существующие попытки ввести связанные с этим фактором поправки в закон Колмогорова — Обухова основаны на ги­потезах о статистических свойствах диссипации, степень правдоподобности которых трудно оценить.

Функции brr и Ьн связаны друг с другом таким же соотно­шением (34,5), как и В_Гг и Вн. Поэтому имеем (при тех же условиях)

оо оо

^{5 b}_tt^{r*dr = -\\ Ь„гЧг.}

о о

Поскольку brr + 2btt = <viv₂>, то интеграл (34,24) можно пред­ставить в виде

A = -±\r²(v_lv₂)dV (34,25)

(где dV = d³(xi — х₂)). Этот интеграл тесно связан с моментом импульса жидкости, находящейся в состоянии однородной и изо­тропной турбулентности. Можно показать (на чем мы останав­ливаться не будем), что квадрат полного момента импульса М жидкости, заключенной в некотором большом объеме V (выде­ленном в неограниченной жидкости) есть М² = 4лр²ЛУ; тот факт, что М растет пропорционально V^[/2, а не V, связан с тем, что М является суммой большого числа статистически незави­симых слагаемых (моментов импульса отдельных небольших участков жидкости) с равными нулю средними значениями.

Значение М² в заданном объеме V может меняться за счет взаимодействия с окружающими областями жидкости. Если бы это взаимодействие достаточно быстро убывало с расстоянием, то оно представляло бы собой для рассматриваемой части жид­кости поверхностный эффект. Тогда времена, в течение которых М² могло бы претерпеть значительное изменение, росли бы вместе с размерами объема V; эти времена и размеры должны рассматриваться как сколь угодно большие, и в этом смысле М² сохранялось бы.

Указанное условие тесно связано с условиями достаточно быстрого убывания корреляционных функций, сформулирован­ными при выводе (34,24) из (34,23). Но в рамках теории несжи­маемой жидкости существуют основания сомневаться в их соб­людении. Физическое основание для этого состоит в бесконечной скорости распространения возмущений в несжимаемой жид­кости. Математически это свойство проявляется в интегральном характере зависимости распределения давления в жидкости от распределения скоростей: если рассматривать правую часть уравнения (15,11) как заданную, то решение этого уравнения:

р ( е\ <^r') ^vk (^r') ^dV'

дх\ dx'_h I г — г' I

В результате любое локальное возмущение скорости мгновенно отражается на давлении во Есем пространстве; давление же влияет на ускорение жидкости и тем самым — на дальнейшее изменение скоростей,

Естественная постановка задачи для выяснения этого во­проса состоит в следующем* пусть в начальный момент вре­мени (/ = 0) создано изотропное турбулентное движение, в ко­тором функции bik(r,t) и bik,i(r,t) экспоненциально убывают с расстоянием. Выразив давление через скорости по написан­ной формуле, можно затем с помощью уравнений движения жид­кости пытаться определить характер зависимости производных по времени от корреляционных функций (в момент t = 0) от расстояния при г-*-оо. Тем самым определится и характер за­висимости от г самих корреляционных функций при t ~> О. Та­кое исследование приводит к следующим результатам¹).

Функция brr (г, t) при t > 0 убывает на бесконечности не мед­леннее, чем г-⁶ (а возможно, что и экспоненциально). Поэтому интеграл Лойцянского сходится. Функция же b_rr, г убывает лишь как г^-4. Это значит, что Л не сохраняется. Его производная по времени оказывается некоторой отличной от нуля отрицатель­ной (как результат эмпирического факта отрицательности brr, г) функцией времени. Эта функция целиком связана с инер­ционными силами. Естественно думать, что по мере затухания турбулентности роль этих сил падает, и в заключительной ста­дии ими можно пренебречь по сравнению с вязкими силами. Та­ким образом, Л убывает (момент импульса равномерно «расте­кается» по бесконечному пространству), стремясь к постоянному значению, принимаемому им на заключительной стадии турбу­лентности.

Отсюда возникает возможность определить для этой стадии закон изменения со временем основного масштаба турбулент­ности / и ее характерной скорости v. Оценка интеграла (34,25) дает Л ~ v²l⁵ = const. Еще одно соотношение получим из оценки скорости убывания энергии путем вязкой диссипации. Диссипа­ция е пропорциональна квадрату градиентов скорости; оценив последние как v/l, имеем e~v(a/7)². Приравняв ее производ­ной d(v²)/dt ~ v²/t (t отсчитывается от начала заключительной стадии затухания), получим I ~ (v0^1/2 и затем

v = const ■ Г^5/4 (34,26)

(М. Д. Миллионщиков, 1939).

Спектральное представление корреляционных функций

Наряду с рассмотренным в предыдущем параграфе коорди­натным представлением корреляционных функций, методически и физически интересно также и спектральное (по волновым век-

. ') См. Proudman /., Reid W. Н. — Phil. Trans. Roy. Soc, 1954, v. A247, p. 163; Batchelor G. K., Proudman I., там же, 1956, v. A248, p. 369. Изложе­ние этих работ дано также в книге: Монин А. С., Яглом А. М. Статистиче­ская гидромеханика. — М.: Наука, 1967, т. 2, § 15.5—6.

торам) их представление. Оно получается разложением в про­странственный интеграл Фурье:

B_tk (г) = \B_ik (к) -Ц-, B_lk (к) = \ B_lk (г) е~ d*x

(мы обозначаем спектральную корреляционную функцию Вц,(Щ тем же символом B_ik с другой независимой переменной — волно­вым вектором к). Поскольку в изотропной турбулентности Bik(—T) = B_ik(r), то Bik(k) = B_lk(— к)=*В*_к(к), т. е. спектраль­ные функции Bik (к) вещественны.

При г->-оо функции Bik (г) стремятся к конечному пределу, даваемому первым членом в (34,4). Соответственно этому, их фурье-компоненты содержат б-функционный член:

B_ik (к) = | (2я)³ б (к) <У> - 2Ь_1к (к). (34,27)

Компоненты же с к=^0 для функций B_ih и —2bi_k совпадают друг с другом.

Дифференцирование по координатам м в координатном пред­ставлении эквивалентно в спектральном представлении умноже­нию на iki. Поэтому уравнение непрерывности dbtki?) /dxi — О сводится в спектральном представлении к условию поперечности тензора bik{k) по отношению к волновому вектору:

kibik(k) = 0. (34,28)

В силу изотропии, тензор bik(k) должен выражаться только через вектор к и единичный тензор б,-*. Общий вид такого сим­метричного тензора, удовлетворяющего условию (34,28), есть

b_lk{k)~FW{k)(b_lk-^), (34,29)

где F(²⁾(k) — вещественная функция от абсолютной величины волнового вектора.

Аналогичным образом определяется спектральное представле­ние корреляционного тензора третьего ранга, причем тензор Вш(к) выражается через bi_k,/(к) формулой (34,11); б-функ-ционного члена эти тензоры не содержат. Уравнение непрерыв­ности dbtk,i(r)/dxi = 0 приводит к условию поперечности спек­трального тензора bik,i(k) по его третьему индексу:

ftj*i_fcj(k) = 0. (34,30)

Общий вид такого тензора:

^Ь_1к^{, г (k) = iF{3)(k) { о„ + 6}_к1^{4 - 2 }. (34,31)}

Поскольку bik,i(—r)=« — bik,i(r), спектральные функции bik,i{k) Мнимы; в (34,31) введен множитель i, так что функция F&(k)-i

вещественная.

Уравнение (34,19) в спектральном представлении записы­вается как

If b_ih (k) = ikt [b_{iU k} (к) + Ъ_ы, _t (к)] - 2vk*b_ik (к).

dt

Подставив сюда (34,29) и (34,31), получим OF^<2> (k, t)

= - 2kF™ (k,t)- 2\k²FW (k, t). (34,32)

Функция Я²'(к) имеет важный физический смысл. Для его выяснения подойдем к определению спектральной корреляцион­ной функции в несколько более ранней стадии¹).

Введем спектральное разложение самой пульсирующей ско­рости v(r) по обычным формулам разложения Фурье:

С d³k С

v(r)= jv_ke'^kr-^p-, v_k = J v(r)e-'^krd³x.

Последний интеграл фактически расходится, поскольку v(r) не стремится к нулю на бесконечности. Это обстоятельство, однако, несущественно для дальнейших формальных выводов, имеющих целью вычисление заведомо конечных средних квадратов.

Корреляционный тензор 6,&(г) выражается через фурье-ком-поненты скорости интегралом

⁶"^{(r) =} \\^^')^ei(M'^tl)£^f-- (34,33)

Для того чтобы этот интеграл был функцией только от разности г = г₂ — ri, подынтегральное выражение в нем должно содер­жать б-функцию от суммы к + к', т. е. должно быть

<v_ikviv) = (2я)³ (vivi\ б (к + к'). (34,34)

Это выражение надо рассматривать как определение величины, обозначенной здесь символически как (vivi)*.. Подставив (34,34) в (34,33) и устранив б-функцию интегрированием по d³k', нахо­дим, что

d³k

(2л)³

bu (r) = \{viVi\e^

') Приведенные ниже рассуждения перефразируют вывод, данный в V, § 122.

т. е. величины (tW/)_K совпадают с фурье-компонентами корре­ляционной функции Ьи{т)\ тем самым они симметричны по ин­дексам i, I и вещественны. В частности, Ьи(к) = (у²)^, причем мы можем теперь утверждать, что эта величина положительна, как это очевидно из ее связи согласно (34,34) с положительной величиной (vkVk-> = (| Vk I²) — средним квадратом модуля фурье-компоненты пульсирующей скорости.

Значение корреляционной функции Ьц(г) при г = 0 опреде­ляет средний квадрат скорости жидкости в какой-либо (любой) точке пространства. Оно выражается через спектральную функ­цию формулой

<v²) = Mr = 0)=$Mk)-||r или, подставив сюда Ьи(к) из (34,29)

оо

^{1 (v2) = \ Я2> (к) = \ Я2> (k) . (34,35)}

о

После всего сказанного выше смысл этой формулы очевиден: по­ложительная величина F⁽²⁾ (k) / (2я)³ представляет собой спек­тральную плотность кинетической энергии жидкости (отнесенной к единице массы) в k-пространстве. Энергия же, заключенная в пульсациях с величиной волнового вектора в интервале dk, есть E(k)dk, где

E{k) = -^F^{k). (34,36)

Первый член в правой стороне уравнения (34,32) возникает как фурье-компонента первого члена в правой стороне уравне­ния (34,19). При /■-*-() последний сводится к производной

и обращается в нуль в силу однородности. В спектральном пред­ставлении это значит, что

J ЛЯ³> (*) d³k = 0, (34,37)

так что функция Fⁱ³⁾(k) знакопеременна.

Уравнение (34,32) имеет простой смысл: оно представляет баланс энергии различных спектральных компонент турбулент­ного движения. Второй член в правой стороне отрицателен; он определяет убыль энергии, связанную с диссипацией. Первый же член (связанный с нелинейным членом в уравнении Навье — Стокса) описывает перераспределение энергии по спектру—ее переход от спектральных компонент с меньшими к компонентам с большими значениями k. Спектральная (по k) плотность энер­гии Е(к) имеет максимум при ^ — 1//; в области вблизи макси­мума (область энергии — см. § 33) сосредоточена большая часть полной энергии турбулентного движения. Плотность же дисси­пируемой энергии 2vk²E(k) максимальна при &~1/а.₀; в об­ласти диссипации сосредоточена большая часть полной диссипа­ции. При очень больших числах Рейнольдса обе эти области раздвинуты далеко друг от друга и между ними находится инер­ционная область.

Проинтегрировав уравнение (34,32) по d³k/(2n)³, мы получим в его левой части производную по времени от полной кинети­ческой энергии жидкости; эта производная совпадает с полной диссипацией энергии —е. Таким образом, находим следующее «условие нормировки» функции E{k):

со

2v Jj k²E (k, t) dk = e. (34,38)

о

В инерционном интервале волновых чисел (1/7 <С k <С 1До)' спектральные функции (как и корреляционные функции в коор­динатном представлении) можно считать независящими от вре­мени. Согласно (33,13) в этой области

£(А:) = С₁е^2/3*-^5/3, (34,39)

где С\ — постоянный коэффициент. Этот коэффициент связан с коэффициентом С в корреляционной функции

B_rr(r) = C(erf<³ (34,40)

равенством Ci=0,76C (см. задачу). Их эмпирические значения! С « 2, Ci « 1,5 При этом отношение

K_r|/^s3f=⁴/⁵c^3/2~o,3.

Задача

Связать друг с другом коэффициента С и Ci в формулах (34,39—40) для корреляционной функции и спектральной плотности энергии в инерционной области.

Решение. Функции

В и (г) = 2B_tt (г) + B_rr {г) = ~ В_гг (г)

(использована связь (34,6)) и

В_и (k) = - 2Ь_1{ (k) = - 4F<²> (k) = —|f E (k) {k ф 0) связаны интегралом Фурье

B_l{(k)=^B_u(r)e-'^krd³x.

Если волновой вектор лежит в инерционной области (1// 1Ао), то на-

личие осциллирующего множителя обрезает интеграл сверху на расстояниях

') Большинство экспериментов относится к атмосферной и океанической турбулентности. Числа Рейнольдса в этих измерениях доходили до 3- 10^s.

т ~ \\k <С I- На малых же расстояниях интеграл сходится, поскольку Вц(г)-*-0 при г-*-0. Поэтому фактически интеграл определяется областью расстояний, лежащих в инерционной области (Хо < г < /), так что можно подставить в него В„(г) из (34,40), распространив в то Же время интегри­рование по всему пространству. В интеграле

производим сначала интегрирование по направлениям г и находим

ОО ОО

/ --*L Im ^ r⁵'V^ft' rfr = -£L J ^/y^.

^{о * о}

Оставшийся интеграл берется путем поворота пути интегрирования в плоско­сти комплексного переменного | с правой вещественной на верхнюю мнимую полуось. В результате получим

j 4я_ Юл

~ к^па 9Г(1/3) ' Собрав полученные выражения, находим окончательно

^C'=-2W73)^C = ⁰'^76C-