§ 27. Устойчивость вращательного движения жидкости

Для исследования устойчивости стационарного движения жидкости в пространстве между двумя вращающимися цилинд­рами (§ 18) в предельном случае сколь угодно больших чисел Рейнольдса можно применить простой способ, аналогичный при­мененному в § 4 при выводе условия механической устойчивости неподвижной жидкости в поле тяжести (Rayleigh, 1916). Идея метода состоит в том, что рассматривается какой-нибудь произ­вольный малый участок жидкости и предполагается, что этот участок смещается с той траектории, по которой он движется в рассматриваемом течении. При таком смещении появляются силы, действующие на смещенный участок жидкости. Для устой­чивости основного движения необходимо, чтобы эти силы стре­мились вернуть смещенный элемент в исходное положение.

Каждый элемент жидкости в невозмущенном течении дви­жется по окружности г — const вокруг оси цилиндров. Пусть ц(г) = mr²q> есть момент импульса элемента с массой т (q>— уг­ловая скорость). Действующая на него центробежная сила равна p-Vmr³; эта сила уравновешивается соответствующим радиаль­ным градиентом давления, возникающим во вращающейся жид­кости. Предположим теперь, что элемент жидкости, находящийся на расстоянии го от оси, подвергается малому смещению со своей траектории, так что попадает на расстояние г > Го от оси. Со­храняющийся момент импульса элемента остается при этом рав­ным своему первоначальному значению цо=>ц(г₀). Соответ­ственно в его новом положении на него будет действовать цент­робежная сила, равная у-Цтг³. Для того чтобы элемент стре­мился возвратиться в исходное положение, эта центробежная сила должна быть меньше, чем ее равновесное значение p²/mr³, уравновешивающееся имеющимся на расстоянии г градиентом давления. Таким образом, необходимое условие устойчивости гласит: р,² — д.² > 0; разлагая р.(г) по степеням положительной разности г — го, напишем это условие в виде

ц^>0. (27,1)

Согласно формуле (18,3) угловая скорость ф частиц движу­щейся жидкости равна

^2^2 — — ^2) ^1^2 1

^Ф== Rl^R^{2 +} R\ — R\ 7'

Вычисляя ц как тг²ф и опуская все заведомо положительные множители, пишем условие (27,1) в виде

(Q₂R²₂-Q_lR²)q>>0. (27,2)

Угловая скорость ф монотонно меняется с г от значения Qi на внутреннем до значения Q₂ на внешнем цилиндре. Если оба цилиндра вращаются в противоположных направлениях, т. е. Qi и Q₂ имеют различные знаки, то функция ф меняет знак в про­странстве между цилиндрами и ее произведение на постоянное число Q₂Rl — Q_{Rf не может быть везде положительным. Таким образом, в этом случае (27,2) не выполняется во всем объеме жидкости, и движение неустойчиво.

Пусть теперь оба цилиндра вращаются в одну сторону; выби­рая этр направление вращения в качестве положительного, имеем Qi > О, Q₂ > 0. Тогда ф везде положительно, и для выполнения условия (27,2) необходимо, чтобы было

Q₂Rl > 0,Д?. (27,3)

Если же Q₂Rl меньше, чем Ц/??, то движение неустойчиво. Так, если внешний цилиндр покоится (Q₂ = 0), а вращается только внутренний, то движение неустойчиво. Напротив, если по­коится внутренний цилиндр (Qi = 0), то движение устойчиво.

Подчеркнем, что в изложенных рассуждениях совершенно не учитывалось влияние вязких сил трения при смещении элемента жидкости. Поэтому использованный метод применим лишь при достаточно малой вязкости, т. е. достаточно больших числах Рейнольдса.

Исследование устойчивости движения при произвольных R должно производиться общим методом, основанным на уравне­ниях (26,4); для движения между вращающимися цилиндрами это было сделано впервые Тэйлором (G. /. Taylor, 1924).

В данном случае невозмущенное распределение скоростей vo зависит только от цилиндрической координаты г и не зависит ни от угла ф, ни от координаты z вдоль оси цилиндров. Полную систему независимых решений уравнений (26,4) можно поэтому искать в виде

vi (г, ф, г) = е'СФ+*г-а>0| (_г) (27,4)

с произвольно направленным вектором f(r). Волновое число k, пробегающее непрерывный ряд значений, определяет периодич­ность возмущения вдоль оси z. Число же п пробегает лишь целые значения 0, 1, 2, как это следует из условия одно­значности функции по переменной ф; значению п — 0 отвечают осесимметричные возмущения. Допустимые значения частоты « получаются в результате решения уравнений с надлежащими гра­ничными условиями в плоскости z = const (скорость Vi = 0 при г = R\ и г = /?₂). Поставленная таким образом задача опре­деляет при заданных значениях п и к, вообще говоря, дискрет­ный ряд собственных частот со = ш^» (к), где индекс /' нумерует различные ветви функции (o_n(k); эти частоты, вообще говоря, комплексны.

Роль числа Рейнольдса в данном случае может играть вели­чина Q^f/v или Q₂Rl/v — при заданных значениях отношений

R1/R2 и Й1/Й2, определяющих «тип движения». Будем следить за изменением какой-либо из собственных частот со = со</> (к) при

постепенном увеличении числа Рейнольдса. Момент возникнове­ния неустойчивости (по отношению к данному виду возмущений) определяется тем значением R, при котором функция у (к) — = Imco впервые обращается в нуль при каком-либо значении k. При R < R_KP функция y{k) везде отрицательна, а при R > R_KP она положительна в некотором интервале значений k. Пусть k_Kp — то значение k, для которого (при R = R_KP) функция y(k) обращается в нуль. Соответствующая функция (27,4) опреде­ляет характер того (накладывающегося на основное) движения, которое возникает в жидкости в момент потери устойчивости; оно периодично вдоль оси цилиндров с периодом 2n/k_KP. При этом, конечно, фактическая граница устойчивости определяется тем видом возмущений (т. е. той функцией toJ/^As)), которая дает наименьшее значение R_Kp; именно эти «наиболее опасные» возмущения интересуют нас здесь. Как правило (см. ниже), ими являются осесимметричные возмущения. Ввиду большой слож­ности, достаточно полное исследование этих возмущений было произведено лишь для случая узкого зазора между цилиндрами (h = R₂ — Ri <С R = {Ri + #2)/2). Оно приводит к следующим результатам').

') Подробное изложение можно найти в книгах: Кочин Н. Е., Ка­бель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. — М.: Физматгиз, 1963, ч. 2; Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. — Oxford, 1961; Drazin P. (?., Reid W. H. Hydrodynamic stability. — Cambridge, 1981.

²) В таких случаях говорят о смене устойчивостей. Экспериментальные данные, а также числовые результаты для ряда частных случаев, дают осно­вание считать, что это свойство имеет для рассматриваемого движения об­щий характер и не связано с малостью к.

Оказывается, что решению, приводящему к наименьшему зна­чению R_KP, отвечает чисто мнимая функция (o(k). Поэтому при к = й_кр не только Imco = 0, но и вообще со = 0. Это значит, что первая потеря устойчивости стационарным вращением жидкости приводит к возникновению другого, тоже стационарного тече­ния²). Оно представляет собой тороидальные вихри (их назы­вают тэйлоровскими), регулярно расположенные вдоль длины цилиндров. Для случая вращения обоих цилиндров в одну сто­рону, на рис. 14 схематически изображены проекции линий тока этих вихрей на плоскость меридионального сечения цилиндров

(скорость v\ имеет в действительности также и азимутальную компоненту). На длине 2зт./&_кр каждого периода расположены два вихря с противоположными направлениями вращения.

При R, несколько превышающем R_Kp, имеется уже не одно, а целый интервал значений k, для которых 1т<о>0. Не сле­дует, однако, думать, что возникающее при этом движение будет

представлять собой одновременное нало­жение движений с различными периодич-ностями. В действительности при каж­дом R возникает движение с вполне определенной периодичностью, стабили­зирующее все течение в целом. Определе­ние этой периодичности, однако, уже не­возможно с помощью линеаризованного уравнения (26,4).

На рис. 15 изображен примерный вид кривой, разделяющей области устой­чивости и неустойчивости (последняя заштрихована) при заданном значении /?]//?₂. Правая ветвь кривой, соответ-

£2,

Рис. 15

ствующая вращению цилиндров в одну сторону, имеет в ка­честве асимптоты прямую Q₂Rj — Q_jR² (это свойство имеет в действительности общий характер и не связано с малостью h). Увеличению числа Рейнольдса для заданного типа движения отвечает перемещение вверх по прямой, выходящей из начала координат и отвечающей данному значению Q1/Q2. На правой части диаграммы все такие прямые, для которых Q^f/Qj/?² > 1^ нигде не пересекают границы области неустойчивости. Напротив, при 0₂/?²/Q_t/?^s < 1 и достаточном увеличении числа Рейнольдса мы всегда попадем в область неустойчивости — в согласии с ус­ловием (27,3). На левой части диаграммы (Qi и Q₂ имеют раз­личные знаки) всякая прямая, проведенная из начала коорди­нат, пересекает границу заштрихованной области, т. е. при до-

статочном увеличении числа Рейнольдса стационарное движение в конце концов теряет устойчивость при любом отношении JQ₂/Qij — снова в согласии с полученными выше результатами. При Q2 = 0 (вращается только внутренний цилиндр) неустойчи­вость наступает при числе Рейнольдса (определенном как R = = hQiRi/v), равном

(27,5)

Отметим, что в рассматриваемом движении вязкость ока­зывает стабилизирующее влияние: движение, устойчивое при л? = 0, остается устойчивым и при учете вязкости; движение же, неустойчивое при v = 0, может оказаться устойчивым для вяз­кой жидкости.

Неосесимметричные возмущения движения между вращаю­щимися цилиндрами не исследованы систематически. Результаты расчетов частных случаев дают основание считать, что на пра­вой стороне диаграммы рис. 15 наиболее опасными всегда остаются осесимметричные возмущения. Напротив, на левой сто­роне диаграммы, при достаточно больших значениях |Q₂/Qi|, учет неосесимметричных возмущений, по-видимому, несколько изменяет форму граничной кривой. При этом вещественная часть частоты возмущения не обращается в нуль, так что возникающее движение нестационарно; это существенно меняет характер не­устойчивости.

Предельным (при Л->-0) случаем движения между вращаю­щимися цилиндрами является движение жидкости между двумя движущимися друг относительно друга параллельными плоско­стями (см. § 17). Это движение устойчиво по отношению к бес­конечно малым возмущениям при любых значениях числа R = hu/v {и — относительная скорость плоскостей),

■§ 28. Устойчивость движения по трубе

Совершенно особым характером потери устойчивости обла­дает стационарное течение жидкости по трубе (рассмотренное

Ǥ17).

Ввиду однородности потока вдоль оси х (вдоль длины трубы) невозмущенное распределение скоростей v₀ не зависит от коор­динаты х. Аналогично изложенному в предыдущем параграфе мы можем поэтому искать решения уравнений (26,4) в виде

(28,1)

И здесь будет существовать такое значение R = R_Kp, при кото­ром Y = Imci) впервые обращается при некотором значении k в нуль. Существенно, однако, что вещественная часть функции <о(&) теперь уже отнюдь не будет равна нулю.

Для значений R, лишь немного превышающих R_Kp, интервал значений k, в котором y(k) > 0, мал и расположен вокруг точки, в которой y(k) имеет максимум, т. е. dy/dk = 0 (как это ясно из рис. 16). Пусть в некотором участке потока возникает слабое возмущение; оно представляет собой волновой пакет, получаю­щийся путем наложения ряда компонент вида (28,1). С течением времени будут усиливаться те из этих компонент, для которых

y(k)>0; остальные же компоненты за-

Г,

т ухнут. Возникающий таким образом уси- ливающийся волновой пакет будет в ^fi>fi«p то же время «сноситься» вниз по тече-

нию со скоростью, равной групповой ско-—^к роста пакета dat/dk (§ 67); поскольку речь идет теперь о волнах со значениями /?=д волновых векторов в малом интервале вокруг точки, в которой dy/dk — 0, то

Re га (28,2)

„_<д величина

^КР rfm d_

Рис. 16 dk *** dk

вещественна и потому действительно представляет собой истин­ную скорость распространения пакета.

Этот снос возмущений вниз по течению весьма существен и придает всему явлению потери устойчивости совершенно иной характер по сравнению с тем, который был описан в § 27.

Поскольку положительность Imco сама по себе означает те­перь лишь усиление перемещающегося вниз по течению возму­щения, то открываются две возможности. В одном случае, не­смотря на перемещение волнового пакета, возмущение неограни­ченно возрастает со временем в любой фиксированной в про­странстве точке потока; такую неустойчивость по отношению к сколь угодно малым возмущениям будем называть абсолют­ной. В другом же случае пакет сносится гак быстро, что в каж­дой фиксированной точке пространства возмущение стремится при /-*-оо к нулю; такую неустойчивость будем называть сно-совой, или конвективной'). Для пуазейлевого течения, по-види­мому, имеет место второй случай (см. ниже примечание на с. 150).

Следует сказать, что различие между обоими случаями имеет относительный характер в том смысле, что зависит от выбора системы отсчета, по отношению к которой рассматривается не­устойчивость: конвективная в некоторой системе неустойчивость становится абсолютной в системе, движущейся «вместе с паке­том», а абсолютная неустойчивость становится конвективной

') Общий метод, позволяющий установить характер неустойчивости, опи­сан в другом томе этого курса (см. X, § 62).

в системе, достаточно быстро «уходящей» от пакета. В данном случае, однако, физический смысл этого различия устанавли­вается существованием выделенной системы отсчета, по отноше­нию к которой и следует рассматривать неустойчивость — си­стемы, в которой покоятся стенки трубы. Более того, поскольку реальные трубы имеют хотя и большую, но конечную длину, возникающее где-либо возмущение может, в принципе, оказаться вынесенным из трубы раньше, чем оно приведет к истинному срыву ламинарного течения.

Поскольку возмущения возрастают с координатой х вниз по течению, а не со временем в заданной точке пространства, то при исследовании этого типа неустойчивости разумно поставить вопрос следующим образом. Предположим, что в заданном месте пространства на поток накладывается непрерывно действующее возмущение с определенной частотой ю, и посмотрим, что будет происходить с этим возмущением при его сносе вниз по течению. Обращая функцию to (k), мы найдем, какой волновой вектор к соответствует заданной (вещественной) частоте. Если Im к < О, то множитель е^1кх возрастает с увеличением х, т. е. возмущение усиливается. Кривая в плоскости to, R, определяемая уравнением Im&(co, R)=0 (ее называют кривой нейтральной устойчивости или просто нейтральной кривой) дает границу устойчивости, разделяя для каждого R области значений частоты возмущений, усиливающихся или затухающих вниз по течению.

Фактическое проведение вычислений чрезвычайно сложно-Полное исследование было произведено аналитическими мето­дами лишь для плоского пуазейлевого течения — течения между двумя параллельными плоскостями (С. С. Lin, 1945). Укажем здесь результаты такого исследования¹).

Течение (невозмущенное) между плоскостями однородно не только вдоль направления своей скорости (ось лс), но и во всей плоскости хг (ось у перпендикулярна плоскостям). Поэтому можно искать решения уравнений (26,4) в виде

v, = в'<***+**"-•*) f до (28,3>

с волновым вектором к в произвольном направлении в плоскости xz. Нас, однако, интересуют лишь те возрастающие возмущения, которые появляются (при увеличении R) первыми; именно они определяют границу устойчивости. Можно показать, что при заданной величине волнового вектора первым становится неза­тухающим возмущение с к вдоль оси х, причем \_г = 0. Таким образом, достаточно рассматривать только двумерные (как в

') См. книгу: Линь Цзя-цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. — М.: ИЛ, 1958 [Lin С. С. The theory of hydrodynamic stability. — Cambridge, 1955]. Изложение этих, а также и более поздних исследований по данному вопросу дано в указанной в примечании на с. 145 книге Дразина и Рейда­основное течение) возмущения в плоскости ху, не зависящие oi координаты г¹).

Нейтральная кривая для течения между плоскостями изобра­жена схематически на рис. 17. Заштрихованная область внутри кривой — область неустойчивости²). Наименьшее значение R,

при котором появляются незатухающие возмущения, оказывается равным R_KP = = 5772 (по более поздним уточненным расчетам, S. A. Orszag, 1971); число Рей­нольдса определено здесь как

R = Uma*h/2v, (28,4)

где tV_max — максимальная скорость тече­ния, а Л/2 — половина расстояния меж­ду плоскостями, т. е. расстояние, на котором скорость возрастает от нуля до максимума³). Значению R = R<_p отвечает волновой вектор возмущения А_Кр = 2,04/Л. При R-»-oo •обе ветви нейтральной кривой асимптотически приближаются к оси абсцисс по законам

соЛ/(7_тзх « R-³'" и coA/tV_max « R-^3/7

соответственно для верхней и нижней ветвей; при этом на обоих ветвях со и k связаны соотношениями вида coft/сУ « (kh)³.

') Доказательство этого утверждения (Н. В. Squire, 1933) состоит в том, что система уравнений (26,4) для возмущений вида (26,4) может быть при­ведена к виду, в котором она отличается от уравнений для двумерных воз­мущений лишь заменой R на Rcoscp, где ф — угол между к и v₀ (в плоско­сти xz)- Поэтому критическое число R_Kp для трехмерных зозмущений (с за­данным к) R_KP = Rkp/cos ф > R_Kp, где R_KP вычислено для двумерных возму­щений.

^г) Нейтральная кривая в плоскости k, R имеет аналогичный вид. По­скольку на нейтральной кривой вещественны как w, так и k, то эти кривые в обоих плоскостях — это одна и та же зависимость, выраженная в различ­ных переменных.

³) В литературе используется также и другое определение R для пло- ского пуазейлевого течения — как отношения^ hO/v, где U — средняя (по сече- нию) скорость жидкости. Ввиду равенства V = 2с7_тах/3, имеем huh = 4R/3, где R определено согласно (28,4).

⁴) Доказательство конвективного характера неустойчивости плоского пуа- зейлевого течения дано в статье: Иорданский С. В., Куликовский А. Г. — ЖЭТФ, 1965, т. 49, с. 1326. Доказательство, однако, относится лишь к обла- сти очень больших значений R. в которой обе ветви нейтральной кривой близки к оси абсцисс, т.е. на обоих ветвях М < 1. Для чисел R, при кото- рых на нейтральной кривой kh ~ 1, вопрос остается открытым!.

Таким образом, для всякой отличной от нуля частоты со, не превышающей определенного максимального значения (~£//7i), существует конечный интервал значений R, в котором возмуще­ния усиливаются⁴). Интересно, что малая, но конечная вяз­кость жидкости оказывает в данном случае в известном смысле дестабилизирующее влияние на устойчивость по сравнению с тем, что имело бы место для строго идеальной жидкости¹). Действительно, при R-*~oo возмущения со всякой частотой за­тухают; при введении же конечной вязкости мы в конце концов попадем в область неустойчивости, пока дальнейшее увеличение вязкости (уменьшение R) не выведет снова из этой области.

Для течения в трубе кругового сечения полное теоретическое исследование устойчивости еще отсутствует, но имеющиеся ре­зультаты дают веские основания полагать, что это движение устойчиво по отношению к бесконечно малым возмущениям (как в абсолютном, так и в конвективном смысле) при любых числах Рейнольдса. В силу аксиальной симметрии основного течения, возмущения можно искать в виде

— gl (Пф+ftz—шЛ

(28,5>

(как и в (27,4)). Можно считать доказанным, что осесимметрич-ные (п = 0) возмущения всегда затухают. Среди исследованных неосесимметричных колебаниях (с определенными значениями п в определенных интервалах значений числа Рейнольдса) тоже не оказалось незатухающих. На устойчивость течения в трубе указывает и то обстоятельство, что при очень тщательном устра­нении возмущений у входа в трубу удается поддерживать лами­нарное течение до очень больших значений R (фактически его удавалось наблюдать вплоть до R « 10⁵, где

R-=U_maKd/2v==Udh,

(28,б>

d — диаметр трубы, U_max. — скорость жидкости на оси трубы).

Течение между плоскостями и течение в трубе кругового се­чения можно рассматривать как предельные случаи течения в трубе кольцевого сечения, т. е. между двумя коаксиальными цилиндрическими поверхностями (радиусов R\ и /?₂, /?2>/?i). При R\ — 0 мы возвращаемся к трубе кругового сечения, а пре­делу Ri —>■ R2 отвечает течение между плоскостями. По-видимому, критическое число R_KP существует при всех отличных от нуля значениях отношения Ri/R2< 1, а при Ri/R₂-*-0 оно стремится к бесконечности.

') Это свойство было впервые обнаружено Гейзенбергом (W. Heisenberg,

Для всех этих пуазейлевых течений существует также крити­ческое число R^_p, определяющее границу устойчивости по отно­шению к возмущениям конечной интенсивности. При R < R^ в трубе вообще не может существовать незатухающего нестацио­нарного движения. Если в каком-либо участке возникает турбу­лентность, то при R < R^_p турбулентная область, сносясь вниз по течению, в то же время сужается, пока не исчезнет совсем;

•напротив, при R > R£_p она будет с течением времени расши­ряться, захватывая все больший участок потока. Если возмуще­ния течения непрерывно происходят у входа в трубу, то при R < R^_p они непременно затухнут на некотором расстоянии от входа, сколь бы сильны они не были. Напротив, при R > R' движение станет турбулентным на всем протяжении трубы, при­чем для этого достаточны тем более слабые возмущения, чем больше R. В интервале между R^_p и R_Kp ламинарное течение метастабильно. Для трубы кругового сечения незатухающая турбулентность наблюдалась уже при R « 1800, а для течения между параллельными плоскостями — начиная с R« 1000.

Ввиду «жесткости» срыва ламинарного течения в трубе, он сопровождается скачкообразным изменением силы сопротивле­ния. При течении по трубе при R > R^_p имеется, по существу, два различных закона сопротивления (зависимости силы сопро­тивления от R) — один для ламинарного и другой для турбу­лентного течений (см. ниже § 43). При каком бы значении R ни произошел переход одного в другое, сила сопротивления ис­пытывает скачок.

В заключение этого параграфа сделаем еще следующее за­мечание. Граница устойчивости (нейтральная кривая), получен­ная для течения в неограниченно длинной трубе, имеет еще и другой смысл. Рассмотрим течение в трубе очень большой (по сравнению с ее шириной), но конечной длины. Пусть на каждом из ее концов поставлены определенные граничные условия — за­дан профиль скорости (например, можно представить себе концы трубы закрытыми пористыми стенками, создающими од­нородный профиль); везде, за исключением концевых отрезков трубы, профиль (невозмущенный) скорости можно считать пуа-зейлевским, не зависящим от х. Для определенной таким обра­зом конечной системы можно поставить задачу об устойчивости по отношению к бесконечно малым возмущениям (общий метод установления критерия такой устойчивости, которую называют глобальной, описан в IX, § 65). Можно показать, что упомяну­тая выше нейтральная кривая для бесконечной трубы является в то же время границей глобальной устойчивости в конечной трубе, независимо от конкретных граничных условий на ее концах').