§ 23. Точные решения уравнений движения вязкой жидкости

Если нелинейные члены в уравнениях движения вязкой жид­кости не исчезают тождественно, решение этих уравнений пред­ставляет большие трудности, и точные решения могут быть полу­чены лишь в очень небольшом числе случаев. Такие решения представляют существенный интерес — если не всегда физиче­ский (ввиду фактического возникновения турбулентности при достаточно больших значениях числа Рейнольдса), то, во вся­ком случае, методический.

Ниже приводятся примеры точных решений уравнений дви­жения вязкой жидкости.

') В потоке суспензии с нешарообразными частицами наличие градиентов скорости оказывает ориентирующее действие на частицы. Под влиянием одно­временного воздействия ориентирующих гидродинамических сил и дезориен­тирующего вращательного броуновского движения устанавливается анизо­тропное распределение частиц по их ориентации в пространстве. Этот эффект, однако, не должен учитываться при вычислении поправки к вязкости г\: ани­зотропия ориентационного распределения сама зависит от градиентов скоро­сти (в первом приближении — линейно) и ее учет привел бы к появлению в тензоре напряжений нелинейных по градиентам членов.

Увлечение жидкости вращающимся диском

Бесконечный плоский диск, погруженный в вязкую жидкость, равномерно вращается вокруг своей оси. Требуется определить движение жидкости, приводимой в движение диском (7". Kdrmdn, 1921). Выбираем плоскость диска в качестве плоскости 2 = 0 цилиндрических координат. Диск вращается вокруг оси г с уг­ловой скоростью й. Рассматриваем неограниченную жидкость с той стороны диска, где z > 0. Предельные условия имеют вид:

о_г=0, и_ф = Ог, v_z — Q при 2 = 0, IV = 0, у_ф = 0 при 2= со.

Аксиальная скорость v_z не исчезает при z~>oo, а стремится к постоянному отрицательному пределу, определяющемуся из самих уравнений движения. Дело в том, что, поскольку жидкость движется радиально по направлению от оси вращения, в особен­ности вблизи диска, для обеспечения непрерывности в жидкости должен существовать постоянный вертикальный поток по на­правлению из бесконечности к диску. Решение уравнений дви­жения ищем в виде

v^rQFiZi); v₉ = rQG{z_ly, v_z = д/vQ Н fa);

Гй (²³>¹)

р = — pvQP (zi), где zi=a/— z.

В этом распределении радиальная и круговая скорости про­порциональны расстоянию от оси вращения диска, а вертикаль­ная скорость v_z постоянна вдоль каждой горизонтальной пло­скости.

Подстановка в уравнения Навье — Стокса и уравнение непре­рывности приводит к следующим уравнениям для функций F, G, Н, Р:

F² - G² + F'H = F", 2FG + G'H = G",

НН' = Р' + Н", 2F + Н' = 0 ^(23,2)

(штрих означает дифференцирование по z\) с предельными усло­виями:

F = 0, G=l, Я = 0 при 2, = 0,

F = 0, G = 0 при 2, = оо. ^(23,3)

Мы свели, таким образом, решение задачи к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной переменной, которое может быть произведено численным обра­зом. На рис. 7 изображены полученные таким способом графики функций F, G, —Н. Предельное значение функции Н при zi->oo равно —0,886; другими словами, скорость потока жидкости, те­кущего из бесконечности к диску, равна

v_t (оо) = — 0,886 У vQ.

Сила трения, действующая на единицу поверхности диска по направлению, перпендикулярному к его радиусу, есть 0_Zq> =

Пренебре­гая эффектами от краев диска, можно написать для диска большого, но конечного радиуса R мо­мент действующих на не­го сил трения в виде

=--Г)

W

0,8 0,6 0,4 0,2

dz

О

2-0

^{= 2 U 2яг20}_2ф ^{dr ~}

М

= я/?⁴Р V^³G'(0)

							<

3,0

1,0

Рис. 7

(множитель 2 перед ин­тегралом учитывает нали­чие у диска двух сторон,

омываемых жидкостью). Численное вычисление функции G при­водит к формуле

М = — 1,94-/?⁴р Vv&³.

(23,4)

Течения в диффузоре и конфузоре

Требуется определить стационарное движение жидкости между двумя плоскими стенками, наклоненными друг к другу под углом (на рис. 8 изображен попереч­ный разрез обеих плоскостей); истечение происходит вдоль линии пересечения пло­скостей (G. Hamel, 1917),.

Выбираем цилиндрические координа­ты г, z, ф с осью г вдоль линин пересече­ния плоскостей (точка О на рис. 8) и углом ф, отсчитываемым указанным на рис. 8 образом. Движение однородно вдоль оси z, и естественно предположить, что оно будет чисто радиальным, т. е. v<$ Уравнения (15,18) дают

дг р Зг ^т Ч Зг^{2 т} г² 6V ~ г дг г² )' У-*⁶'°>

рг ду ^ г² d<p ^и» ^⁶>°)

д (rv) _п дг ~^и>

114

вязкая жидкость

[ГЛ. If

Из последнего уравнения видно, что rv есть функция только от ф. Введя функцию

и(ф) = ^-го, (23,7)

получаем из (23,6): откуда

1 dp _ 12v² du р дер ~~ г² dep '

f = -^-«(ф)+/(г).

Подставляя это выражение в (23,5), получаем уравнение

откуда видно, что как левая, так и правая части, зависящие со­ответственно только от ф и только от г, являются, каждая в от­дельности, постоянной величиной, которую мы обозначим как 2С\. Таким образом:

/'(/■)= ^С,-^,

откуда

/ (r) = ^ + const,

и окончательно имеем для давления

^- = ^(2_U-C,) + const. (23,8)

Для ы(ф) имеем уравнение

и" + 4ы + 6и² = 2С_и

которое после умножения на и' и первого интегрирования дает?

^- + 2и² + 2«³ - 2С,и - 2С₂ = 0. Отсюда получаем:

_{2v = ±}\-— f +С₃, (23,9)

чем и определяется искомая зависимость скорости от ф; функция ы(ф) может быть выражена отсюда посредством эллиптических функций. Три постоянные С-, С%, С₃ определяются из граничных условий на стенках

и (±-|) = 0 (²³'¹⁰)

и из условия, что через любое сечение г = const проходит (в 1 сек.) одинаковое количество жидкости Q:

+а/2 +а/2

■ Q = р vrdy = Qvp tidy. (23,11)

-а/2 -а/2

Q может быть как положительным, так и отрицательным. Если Q > О, то линия пересечения плоскостей является источником, т. е. жидкость вытекает из вершины угла (о таком течении говорят как о течении в диффузоре). Если Q < 0, то эта линия является стоком, и мы имеем дело со сходящимся к вершине угла течением (или, как говорят, с течением в конфузоре). От­ношение |Q|/pv является безразмерным и играет роль числа Рейнольдса для рассматриваемого движения.

Рассмотрим сначала конфузорное движение (Q<0). Для исследования решения (23,9—11) сделаем оправдывающееся в дальнейшем предположение, что движение симметрично отно­сительно плоскости ср = 0 (т. е. и(ф)=ы(—ф)), причем функ­ция и(ф) везде отрицательна (скорость направлена везде к вер­шине угла) и монотонно меняется от значения 0 при ф = ±а/2 до значения —ио(и₀ > 0) при ф = 0, так что «о есть максимум |н|. Тогда при и — —и₀ должно быть du/dq> — 0, откуда за­ключаем, что и = —«о есть корень кубического многочлена, стоящего под корнем в подынтегральном выражении в (23,9), так что можно написать:

—ы³ — «² + Ciu'+ С₂ = (и + «о) [—и² — (1 — ы₀) и +' q],

где q— новая постоянная. Таким образом, имеем:

du

2_Ф=± \

V(« + "о) [— "² — (1 — "о) u + q\

причем постоянные и₀ и q определяются из условий

о

du

У(" + и_а) [— и² — (1 — н₀) и + q] '

Ид 0

и du

(23,12)

(23,13)

-Uo

V(" + "о) [— и² — (1 — в„) u + q]

(где R=|Q|/vp); постоянная q должна быть положительна, в противном случае эти интегралы сделались бы комплексными. Эти два уравнения имеют, как можно показать, решения для uq и q при любых R и а < п. Другими словами, сходящееся (кон­фузорное) симметрическое течение (рис. 9) возможно при любом угле раствора а < я и любом числе Рейнольдса. Рассматрим подробнее движение при очень больших R. Большим R соответ­ствуют также и большие значения Uq. Написав (23,12) (для

Ф > 0) в виде

о

^{V2 V J V(« + "о) I— «2 - (1 - "о) « + ч] '}

мы видим, что во всей области интегрирования подынтегральное выражение теперь мало, если только |и| не близко к и₀. Это значит, что |ы| может быть заметно отличным от и₀ только при Ф, близких ±<х/2, т. е. в непосредственной близости от'стенок¹). Другими словами, почти во всем интервале углов ф получается и да const =—ио, причем, как показывают равенства (23,13), должно быть «о = R/ба. Самая скорость v равна v = \Q\/par, что соответствует потенциальному невязкому течению со ско­ростью, не зависящей от угла и падающей по величине обратно

Рис. 9 Рис. Ю

пропорционально г. Таким образом, при больших числах Рей­нольдса течение в конфузоре очень мало отличается от потен­циального течения идеальной жидкости. Влияние вязкости про­является только в очень узком слое вблизи стенок, где проис­ходит быстрое падение скорости от значения, соответствующего потенциальному потоку, до нуля (рис. 10).

Пусть теперь Q > 0, т. е. мы имеем дело с диффузорным те­чением. Сделаем сначала опять предположение, что движение симметрично относительно плоскости ф = 0 и что и(ф) (теперь и > 0) монотонно меняется от нуля при ф — ±а/2 до и — = «о > 0 при ф = 0. Вместо (23,13) пишем теперь: '

"о

du

₀ У("о — и) [и² + (1 + "о) и + ?] Ио

^{R Г и du}

6 J У («о — и) [и² + (1 + «о) " + <?]

(23,14)

•) Может возникнуть вопрос о том, каким образом этот интеграл может сделаться не малым даже при и « —щ. В действительности при очень боль­ших и₀ один из корней трехчлена —а²—(1—щ)и'-\-q оказывается тоже близким к —-ио, так что все подкоренное выражение имеет два почти совпа­дающих корня и потому весь интеграл «почти расходится» при и = — и_а.

Если рассматривать ы₀ как заданное, то а монотонно возрастает с уменьшением q и имеет наибольшее возможное значение при 4 = 0:

) (И + «о+ 1)

"max \ /—: —

J л/и (и₀ — и) (и

С другой стороны, как легко убедиться, при заданном q а есть монотонно убывающая функция от ы₀- Отсюда следует, что uq как функция от q при заданном а есть монотонно убывающая функция, так что ее наибольшее значение соответствует q = 0 и определяется написанным равенством. Наибольшему ы₀ соот­ветствует также и наибольшее R = Rmax. С помощью подста­новки

1 + 2и„ '

и — U_(] COS X

можно представить зависимость R_max от а в параметрическом виде:

л/2

dx

л/\ — k² sin² х

^{а = 2 Vl — 2/г2 J}

1 — k² sin² xdx.

R_n

. = — 6а Н

1 - 2fe² V'

"/2

— 2ft² J

(23,15)

Таким образом, симметричное, везде расходящееся течение в диффузоре (рис. 11, а) возможно для данного угла раствора

только при числах Рейнольдса, не превышающих определенного предела. При а->-я (чему соответствует k-+0) R_max стремится к нулю. При а->0 (чему соответствует &->l/y2)R_max стре­мится к бесконечности по закону R_max = 18,8/а.

При R > Rmax предположение о симметричном, везде рас­ходящемся течении в диффузоре незаконно, так как усло­вия (23,14) не могут быть выполнены. В интервале углов

—а/2 ^ ф а/2 функция u(q>) должна иметь несколько мак­симумов или минимумов. Соответствующие этим экстремумам значения ы(ф) должны по-прежнему быть корнями стоящего под корнем многочлена. Поэтому ясно, что трехчлен и² -f-(l -f- uo)u -f^ '+ q (с «о > 0, q > 0) должен иметь в этой области два веще­ственных отрицательных корня, так что стоящее под корнем вы­ражение может быть написано в виде

(«₀ — и) (и + Hj) (и + и"),

где и_л > 0, и'_й > 0, и" > 0; пусть u_Q<u'^. Функция ы(ф) мо­жет, очевидно, изменяться в интервале и ~^и~^—и'₀, причем и = и₀ соответствует положительному максимуму w(q>), а ы = = — и'₀ — отрицательному минимуму. Не останавливаясь под­робнее на исследовании получающихся таким образом решений, укажем, что при R > R_max возникает сначала решение, при кото­ром скорость имеет один максимум и один минимум, причем движение асимметрично относительно плоскости ф = 0 (рис. 11,6). При дальнейшем увеличении R возникает симмет­ричное решение с одним максимумом и двумя минимумами скорости (рис. 11, в) и т. д. Во всех этих решениях имеются, следовательно, наряду с областями вытекающей жидкости также и области втекающих потоков (но, конечно, так, что полный рас­ход жидкости Q>0). При R->-oo число чередующихся мини­мумов и максимумов неограниченно возрастает, так что ника­кого определенного предельного решения не существует. Под­черкнем, что при диффузорном течении решение не стремится, таким образом, при R->-oo к решению уравнений Эйлера, как это имеет место при кокфузорном движении. Наконец, отметим, что при увеличении R стационарное диффузорное движение опи­санного типа вскоре после достижения R = Rmax делается не­устойчивым и возникает турбулентность.

Затопленная струя

Требуется определить движение в струе жидкости, бьющей из конца тонкой трубки и попадающей в неограниченное про­странство, заполненное той же жидкостью, — так называемая затопленная струя (Л. Ландау, 1943).

Выбираем сферические координаты г, 9. ф с полярной осью вдоль направления скорости струи в точке ее выхода, которая выбирается в качестве начала координат. Движение обладает аксиальной симметрией вокруг полярной оси, так что и_ф = 0, а ив, v_r являются функциями только от г, 9. Через всякую замк­нутую поверхность вокруг начала координат (в частности, через бесконечно удаленную) должен протекать одинаковый полный поток импульса («импульс струи»). Для этого скорость должна падать обратно пропорционально расстоянию г от начала коор­динат, так что

v_r = jF(Q), t>_e = y/(8), (23,16)

где F, f — некоторые функции только от в. Уравнение непрерыв­ности гласит:

J^li£!££l ₊ _i ^_(sine._ye) = 0.

г² дг 'г sin 9 59 ^v °'

Отсюда находим, что

F (6) = --^--/ctg9. (23,17)

Компоненты П_г<р₍ Щф тензора потока импульса в струе тож­дественно исчезают, как это явствует уже из соображений сим­метрии. Сделаем предположение, что равны нулю также и ком­поненты Пве и П_ФЧ) (оно оправдывается тем, что в результате мы получим решение, удовлетворяющее всем необходимым усло­виям). С помощью выражений (15,20) для компонент тензора Oik и формул (23,16—17) легко убедиться в том, что между ком­понентами Пее, П<р„ и Ше тензора потока импульса в струе имеется соотношение

^{sin2 0П}_ге ^{= 4 Ж Isin2 6 <nw ~ Пве)1-}

Поэтому из равенства нулю П_ФЧ) и Пее следует, что и П_ге = 0. Таким образом, из всех компонент П,* отлична от нуля только Лгг, зависящая от г как г~². Легко видеть, что при этом уравне­ния движения dYlik/dxk = 0 удовлетворяются автоматически. Далее, пишем:

или

*(т)+

| (П_ее ~ n_w) = 4г (/² + 2v/ ctg 6 - 2v/') = 0, ct_K9 . 1 _n

f ' 2v Решение этого уравнения есть

'—таг- <²ЗД

а из (23,17) получаем теперь для F:

Распределение давления определяем из уравнения ~n_ee = f + ^(/ + 2vctg0) = 0

и получаем:

4pv² A cos 9 — 1 г² (А - cos в)²

(23,20)

(ро —Давление на бесконечности).

Постоянную А можно связать с «импульсом струи», — пол­ным потоком импульса в ней. Он равен интегралу по сфериче­ской поверхности:

п

Р = § П_гг cos 9 df = 2я г²П_гг cos 9 sin 9 dQ.

Величина EU равна

(А² - I)²

{А — cos 9)⁴

' cos в

и вычисление интеграла приводит к результату

4 А

г (А² - 1)

р = 16лл>²рЛ{1 +

(23,21)

Формулы (23,16—21) решают поставленную задачу. При изме­нении постоянной А от 1 до ОО импульс струи Р пробегает все значения от со до 0.

Для скорости получаем в этом случае

8nvp

Р sin 9

f₉ =

4itvp

cos 9

(23,23)

В обратном случае сильной струи (большие Р, чему отве­чает А 1)¹) имеем

6л „ 64nv²p

_{1 + ч =}

з/> ■

Для больших углов (0 да 1) распределение скоростей опреде- ляется формулами

2v , 6 2v _п._ч

f_e = — — ctg-g, v_r = —, (23,24)

а для малых углов (6 да 0о):

^{0в =} ~Т^^' "^{r = 8v}TioW7- ⁽²³'²⁵⁾

Полученное здесь решение является точным для струи, рас­сматриваемой как бьющая из точечного источника. Если учи­тывать конечные размеры отверстия трубки, то это решение представляет собой первый член разложения по степеням отно­шения размеров отверстия к расстоянию г от него. С этим об­стоятельством связан тот факт, что если вычислить по получен­ному решению полный поток жидкости, проходящей через замк­нутую поверхность вокруг начала координат, то он окажется равным нулю. Отличный от нуля поток получился бы при учете следующих членов разложения по указанному отношению²).