§ 21. Ламинарный след

При стационарном обтекании твердого тела вязкой жид­костью движение жидкости на больших расстояниях позади тела обладает своеобразным характером, который может быть иссле­дован в общем виде вне зависимости от формы тела.

Обозначим через U постоянную скорость натекающего на тело потока жидкости (направление U выберем в качестве оси х <; началом где-либо внутри обтекаемого тела). Истинную же «корость жидкости в каждой точке будем писать в виде U -f- v; на бесконечности v обращается в нуль.

*) В отличие от турбулентного следа — см. § 37.

²) На неправомерность утверждения о сохранении равенства rot v = 0 вдоль линии тока, проходящей вдоль твердой поверхности, указывалось уже а § 9.

Оказывается, что на больших расстояниях позади тела ско­рость v заметно отлична от нуля лишь в сравнительно узкой области вокруг оси х. В эту область, называемую ламинарным следом¹), попадают частицы жидкости, движущиеся вдоль ли­ний тока, проходящих мимо обтекаемого тела на сравнительно небольших расстояниях от него. Поэтому движение жидкости в следе существенно завихрено. Дело в том, что источником за­вихренности при обтекании твердого тела вязкой жидкостью является именно его поверхность²). Это легко понять, вспом­нив, что в картине потенциального обтекания, отвечающей иде­альной жидкости, на поверхности тела обращается в нуль только нормальная, но не тангенциальная скорость жидкости v*. Между тем граничное условие прилипания для реальной жидкости тре­бует обращения в нуль также и v/. При сохранении картины потенциального обтекания это привело бы к конечному скачку v/ — возникновению поверхностного ротора скорости. Под влия­нием вязкости скачек размывается и завихренность проникает в глубь жидкости, откуда и переносится конвективным образом в область следа.

На линиях же тока, проходящих достаточно далеко от тела, влияние вязкости незначительно на всем их протяжении, и по­тому ротор скорости на них (равный нулю в натекающем из бес­конечности потоке) остается практически равным нулю, как это было бы в идеальной жидкости. Таким образом, на больших рас-стояних от тела движение жидкости можно считать потенциаль­ным везде, за исключением лишь области следа.

Выведем формулы, связывающие свойства движения жидко­сти в следе с действующими на обтекаемое тело силами.

Полный поток импульса, переносимого жидкостью через ка­кую-нибудь замкнутую поверхность, охватывающую собой об­текаемое тело, равен взятому по этой поверхности интегралу от тензора потока импульса:

§ П« df_k.

Компоненты тензора П« равны:

П_г6 = pb_lk + р (fj_t + v_t) (U_h + v_k).

Напишем давление в виде р = р₀ + р', где ро — давление на бес­конечности. Интегрирование постоянного члена pooik + pUtUir даст в результате нуль, поскольку для замкнутой поверхности

векторный интеграл (^>df=0. Обращается в нуль также и ин*

теграл ^pfftd/ft: поскольку полное количество жидкости в рас­сматриваемом объеме остается неизменным, полный поток жид­кости через охватывающую его поверхность должен исчезать. Наконец, вдали от тела скорость v мала по сравнению с U. По­этому если рассматриваемая поверхность расположена доста­точно далеко от тела, то на ней можно пренебречь в П,_й членом pviVk по сравнению с pUkVi. Таким образом, полный поток им­пульса будет равен интегралу

Выберем теперь в качестве рассматриваемого объема жидко­сти объем между двумя бесконечными плоскостями х = const, из которых одна взята достаточно далеко впереди, а другая — сюзади тела. При определении полного потока импульса инте­грал по бесконечно удаленной «боковой» поверхности исчезает (так как на бесконечности р' = 0, v = 0), и поэтому достаточно интегрировать только по обеим поперечным плоскостям. Полу­чающийся таким образом поток импульса представляет собой, очевидно, разность между полным потоком импульса, втекаю­щим через переднее, и потоком, вытекающим через заднее се­чение. Но эта разность является в то же время количеством импульса, передаваемым в единицу времени от жидкости к телу, т. е. силой F, действующей на обтекаемое тело.

Таким образом, компоненты силы F равны разностям

где интегрирование производится по бесконечным плоскостям X = х\ (значительно позади) и х = х₂ (значительно впереди "тела). Рассмотрим сначала первую из этих величин.

Вне следа движение потенциально, и потому справедливо уравнение Бернулли

Р + \ (U 4- v)² = const _{в Ро} + -§- U\

или, пренебрегая членом ру²/2 по сравнению с pUv,

р' = — pUv_x.

Мы видим, что в этом приближении подынтегральное выражение в Fx обращается в нуль во всей области вне следа. Другими словами, интеграл по плоскости х = х₂ (проходящей впереди тела и не пересекающей след вовсе) исчезает полностью, .а в интеграле по задней плоскости х = х\ надо интегрировать лишь по площади сечения следа. Но внутри следа изменение Давления р' — порядка величины ри², т. е. мало по сравнению ч; pUv_x. Таким образом, приходим к окончательному результату, что сила сопротивления, действующая на тело в направлении обтекания, равна

F_x = — pU \ v_xdydz,

(21.D

где интегрирование производится по площади поперечного сече­ния следа вдали от тела. Скорость v_x в следе, разумеется, отри­цательна— жидкость движется здесь медленнее, чем она двига­лась бы при отсутствии тела. Обратим внимание на то, что стоя­щий (21,1) интеграл определяет «дефицит» расхода жидкости

104

вязкая жидкость

[ГЛ. II

через сечение следа по сравнению с расходом при отсутствии тела.

Рассмотрим теперь силу (с компонентами F_y, F_z), стремя­щуюся сдвинуть тело в поперечном направлении. Эта сила назы­вается подъемной. Вне следа, где движение потенциально, можно написать v_y = ду/ду, v_z = dq>/dz; интеграл по проходящей везде вне следа плоскости х = х₂ обращается в нуль:

J v_ydydz= \-~-£-dydz = 0, jjд*г/= О,

поскольку на бесконечности ф = 0. Таким образом, для подъем­ной силы получаем выражение

F_y = — pU ^ v_y dy dz, F_z = — pU^v_zdydz. (21,2)

Интегрирование в этих формулах фактически тоже производится лишь по площади сечения следа. Если обтекаемое тело обладает осью симметрии (не обязательно полной аксиальной симметрии) и обтекание происходит вдоль направления этой оси, то осью симметрии обладает и движение жидкости вокруг тела. В этом случае подъемная сила, очевидно, отсутствует.

Вернемся снова к движению жидкости в следе. Оценка раз­личных членов в уравнении Навье — Стокса показывает, что чле­ном vAv можно, вообще говоря, пренебречь на расстояниях г от тела, удовлетворяющих условию rU/v^> 1 (ср. вывод обратного условия (20,16)); это и есть те расстояния, на которых движение жидкости (вне следа) можно считать потенциальным. Однако такое пренебрежение недопустимо даже на этих расстояниях в области внутри следа, поскольку здесь поперечные производ­ные д²\/ду², d^v/dz² велики по сравнению с продольной произ­водной d²v/dx².

Пусть У— порядок величины ширины следа, т. е. тех рас­стояний от оси х, на которых скорость v заметно падает. Тогда порядки величины членов в уравнении Навье — Стокса:

/ „_ч т, dv Uv . d²v vo

(W)v~c/-^-~ —, vAv~ v-^₂-~_T2--

Сравнив эти величины, найдем:

У = (\x/U)^1/2. (21,3)

Эта величина действительно мала по сравнению с х ввиду пред­положенного условия Ux/v^> 1. Таким образом, ширина лами­нарного следа растет пропорционально корню из расстояния до тела.

Чтобы определить закон убывания скорости в следе, обра­тимся к формуле (21,1). Область интегрирования в ней ~У².

Поэтому оценка интеграла дает F_x ~ pUvY² и, использовав со­отношение (21,3), получим искомый закон:

v ~ F_x/pvx. (21,4)

Выяснив качественные особенности ламинарного движения вдали от обтекаемого тела, обратимся к выводу количественных <рормул, описывающих картину движения в следе и вне его.

Движение внутри следа

В уравнении Навье — Стокса стационарного движения

<vV)v=-V-2- + vAv (21,5)

вдали от тела используем приближение Осеена — заменяем член (vV)v на (UV)v (ср. (20,17)). Кроме того, в области внутри следа можно пренебречь в Av производной по продольной коор­динате к по сравнению с поперечными производными. Таким образом, исходим из уравнения

_{»f+»(S-+S-)- <ад}

Ищем его решение в виде v = vi -f- v₂, где v_t — решение уравнения

Величину же v₂, связанную с членом —V(p/p) в исходном урав­нении (21,6), можно искать в виде градиента УФ от некоторого скаляра '). Поскольку вдали от тела производные по х малы по сравнению с производными по у и г, в рассматриваемом прибли­жении надо пренебречь членом дф/дх, т. е. считать v_x == V\_x. Таким образом, для v_x имеем уравнение

<*■<»

¹) Далее в этом параграфе потенциал скорости обозначаем как Ф, в от­личие от азимутального угла <р сферической системы координат.

Это уравнение формально совпадает с двухмерным уравне­нием теплопроводности, причем роль времени играет х/U, а роль коэффициента температуропроводности — вязкость v. Решение, убывающее с возрастанием у и z (при заданном х), а в пределе лри х->0 приводящее к бесконечно малой ширине следа (в рас­сматриваемом приближении расстояния порядка размеров тела считаются малыми), есть

(ср. § 51). Коэффициент в этой формуле выражен через силу сопротивления с помощью формулы (21,1), в которой, ввиду быстрой сходимости интеграла, можно распространить его по всей плоскости yz. Если ввести вместо декартовых координат сферические г, Э, ф с полярной осью по оси х, то области следа

(VV-f-z² *С х) будут соответствовать значения полярного угла-0 <С 1. Формула (21,9) в этих координатах примет вид

Опущенный нами член с дф/дх (с Ф из получаемой ниже фор­мулы (21,12)) дал бы в v_x член, содержащий дополнительную-малость ~9.

Такой же вид, как (21,9) (но с другими коэффициентами),, должны иметь и v\_y, v\_z. Выберем направление подъемной силы в качестве оси у (так что F_z = 0). Согласно (21,2), и замечая,, что на бесконечности Ф = 0, имеем

^v_ydydz^ (_Vll/+™L} dydz = J v_lydydz=--^fj-, v_lz dy dz = 0.

Ясно поэтому, что v\_y отличается от (21,9) заменой F_x на F_Ur. a v\_z — 0. Таким образом, находим:

Для определения функции Ф поступаем следующим образом.. Пишем уравнение непрерывности, пренебрегая в нем продольной, производной dvx/dx:

Продифференцировав это равенство по ^ и воспользовавшись уравнением (21,7) для v_iy, получаем:

³ (^dv'y\- ^v ( ⁹² i ^д* \ ^dv>y

\ ду² дг² J дх ду \ дх J U К ду² дг²) ду '

Отсюда

дФ v dv_Iy

дх U ду

Наконец, подставив выражение для v\_y (первый член в (21,11)} и проинтегрировав по х, находим окончательно:

F_u У f Г U (у² + z²) "i •)

.(постоянная интегрирования выбрана так, чтобы Ф оставааось конечным при y — z = 0). В сферических координатах (с ази­мутом ф, отсчитываемым от плоскости ху):

F„ cos ф f Г UrQ² I ")

^ф=- -яг Н> L- — J ~ Ч ■ <²¹ '¹³>

"Из (21,11—13) видно, что v_y и v_z содержат в отличие от и* на­ряду с членами, экспоненциально убывающими с увеличением 8 (при заданном г), также и члены, значительно менее быстро убывающие при удалении от оси следа (как 1/9²).

Если подъемная сила отсутствует, то движение в следе осе-симметрично и Ф == 0').

Движение вне следа

Вне следа течение жидкости можно считать потенциальным. Интересуясь лишь наименее быстро убывающими на больших расстояниях членами в потенциале Ф, ищем решение уравнения -Лапласа

хги ^{1 д} ( 2 ЭФ\ . 1 д / . _й дФ \ . 1 <Э²Ф _п

в виде суммы двух членов:

ф = ± ₊ ^1ф). (21,14)

Первый член здесь сферически симметричен и связан с силой Fx, а второй — симметричен относительно плоскости ху и связан <" силой Р_у.

Для функции /(G) получаем уравнение

* (₅те^-)--^- = о.

rfO Ч rfO / sin 6

Решение этого уравнения, конечное при 0-*-п, есть

f = 6ctg-§-. (21,15)

Ф =

Коэффициент Ь можно определить из условия сшив.си с реше­нием внутри следа. Дело в том, что формула (21,13) относится к области углов 9 < 1, а решение (21,14)—к области 9 S> >,(v/£/r)^1/2. Эти области перекрываются при (v/Ur)¹?² <С 9 <С 1, .причем (21,13) сводится здесь к

F _и cos <р

') Таков, в частности, след за обтекаемым шаром. Отметим в этой связи, что полученные формулы (как и формула (21,16) ниже) находятся в согла­сии с распределением скоростей (20,24) при обтекании с очень малыми чис­лами Рейнольдса; в этом случае вся описанная картина отодвигается на -Ьчень большие расстояния г > //R (I — размеры тела),

2яр£/ rQ

а второй член в (21,14) — к 2ftcoscp/V0. Сравнив оба выражения,, найдем, что надо положить Ь = F_y/4npU.

Для определения коэффициента а в (21,14) замечаем, что-полный поток жидкости через сферу S большого радиуса г (как и через всякую замкнутую поверхность) должен быть равен нулю. Но через часть So этой сферы, являющуюся площадью сечения следа, втекает количество жидкости

— ^v_xdydz-=~^-.

Поэтому через всю остальную площадь сферы должно вытекать столько же жидкости, т. е. должно быть

В силу малости So по сравнению со всей площадью S, можно-, заменить это условие требованием

^{jjvdf= $ уФаг=-4я.а = -^-, (2.1,16)}

S S

откуда а — —F_x/4npU.

Таким образом, собирая все полученные выражения, нахо­дим следующую формулу для потенциала скорости:

^ф = 1*7777 (~ ^F* + ^F« ^cos ф<*вт) • <²¹' ¹⁷>

Этим и определяется движение во всей области вне следа вдали от тела. Потенциал убывает с расстоянием как 1/г. Соответ­ственно скорость убывает как 1/г². Если подъемная сила отсут­ствует, то движение вне следа осесимметрично.