§ 18. Движение жидкости между вращающимися цилиндрами

Рассмотрим движение жидкости, заключенной между двумя коаксиальными бесконечными цилиндрами, вращающимися во­круг своей оси с угловыми скоростями Qi и Q₂; радиусы цилинд­ров пусть будут Ri и /?₂, причем /?₂ > Ri ')• Выберем цилиндриче­ские координаты г, z, ф с осью z по оси цилиндров. Из симмет­рии очевидно, что

v_z-=Vr = 0, и_ф = у(г); р = р(г).

Уравнение Навье — Стокса в цилиндрических координатах дает в рассматриваемом случае два уравнения:

Второе из этих уравнений имеет решения типа г"; подстановка решения в таком виде дает п — ±1, так что

v = ar + —.

Постоянные а и Ъ находятся из предельных условий, согласно которым скорость жидкости на внутренней и внешней цилиндри­ческих поверхностях должна быть равна скорости соответствую­щего цилиндра: v = R\Qi при г — R\, v = R2Q2 при г = R%. В результате получаем распределение скоростей в виде

Q₂/?2— Ц/?? (Q, — Й₂) ^?^2 ¹ /,оо\

^V = п2 „2 Н Г2—£2 — • (¹⁸>³>

Распределение давления получается отсюда согласно (18,1) про­стым интегрированием.

При Qi = Q₂ = Q получается просто v = fir, т. е. жидкость вращается как целое вместе с цилиндрами. При отсутствии внешнего цилиндра Ш₂ = 0; R2 = °°) получается

') В литературе движение между вращающимися цилиндрами часто на зывают течением Куэтта (М. Couette, 1890). В пределе Ri^-Ri оно переходит в течение (17,1) между движущимися параллельными плоскостями; о нем го­ворят как о плоском течении Куэтта.

Определим еще момент действующих на цилиндры сил тре­ния. На единицу поверхности внутреннего цилиндра действует сила трения, направленная по касательной к поверхности и рав­ная согласно (15,14) компоненте а' тензора напряжений.

С помощью формул (15,17) находим:

Момент этой силы получается отсюда умножением на R_u а пол­ный момент .Mi, действующий на единицу длины цилиндра — умножением еще на 2nRi. Таким образом, находим:

4яг, (Q,-Q₂)/?²j?|

М,= гг-^ • (18,4)

к₂ — «1

Момент сил, действующих на внешний цилиндр, Л1г = —М\. При 4^2 = 0 и малом зазоре между цилиндрами (S s= R₂— Ri <С /?г) формула (18,4) принимает вид

M₂ = r\RSu/d, (18,5)

где S « 2я/? — площадь поверхности единицы длины цилиндра, а и = Q\R — ее окружная скорость ').

По поводу полученных в этом и предыдущем параграфах решений уравнений движения вязкой жидкости можно сделать следующее общее замечание. Во всех этих случаях нелинейный член (vV)v тождественно исчезает из уравнений, определяющих распределение скоростей, так что фактически приходится решать линейные уравнения, что крайне облегчает задачу. По этой же причине все эти решения тождественно удовлетворяют также и уравнениям движения идеальной несжимаемой жидкости, на­писанным, например, в виде (10,2—3). С этим связано то обстоя­тельство, что формулы (17,1) и (18,3) не содержат вовсе коэф­фициента вязкости жидкости. Коэффициент вязкости содержится только в таких формулах, как (17,9), которые связывают ско­рость с градиентом давления в жидкости, поскольку самое нали­чие градиента давления связано с вязкостью жидкости; идеаль­ная жидкость могла бы течь по трубе и при отсутствии гра­диента давления.