§17. Течение по трубе

Рассмотрим несколько простейших случаев движения вязкой несжимаемой жидкости.

Пусть жидкость заключена между двумя параллельными плоскостями, движущимися друг относительно друга с постоян-

') Мы рассматриваем движение жидкости в системе координат, в кото­рой жидкость на бесконечности покоится.

Здесь и в аналогичных других местах мы для определенности говорим о бесконечном объеме жидкости, что отнюдь не означает какого-либо огра­ничения общности. Так, для жидкости, заключенной в ограниченном твердыми стенками объеме, интеграл по поверхности этого объема все равно обратился бы в нуль в силу условия равенства нулю скорости на стенке.

ной скоростью и. Плоскость х, г выберем в одной из них, при­чем ось х направим по направлению скорости и. Все величины зависят, очевидно, только от координаты у, а скорость жидкости направлена везде по оси х. Из (15,7) имеем для стационарного движения

dy ^и' dy²

(Уравнение же непрерывности удовлетворяется тождественно.) Отсюда р = const, v = ay -f b. При у — 0 и при у = h (h — рас­стояние между плоскостями) должно быть соответственно v = 0 и v = и. Отсюда находим:

v=±u. (17,1)

Таким образом, распределение скоростей в жидкости линейно. Средняя скорость жидкости

h

e = -L$₀dj, = -H-. (17,2)

о

Из (15,14) находим, что нормальная компонента действующей на плоскости силы равна, как и должно было быть, просто р, а тангенциальная сила трения (на плоскости у — 0) равна

do ци .._ „,

а,, ==11^ = -^ (17,3)

(на плоскости у = h она имеет обратный знак).

Далее, рассмотрим стационарное течение жидкости между двумя неподвижными параллельными плоскостями при наличии градиента давления. Координаты выбираем, как в предыдущем случае; ось х направлена по направлению движения жидкости. Уравнения Навье — Стокса дают (скорость за^хит, очевидно, только от координаты у):

d²v 1 dp dp q

ду² т) дх ' ду

Второе из этих уравнений показывает, что давление не зависит от у, т. е. постоянно вдоль толщины слоя жидкости между пло­скостями. Тогда в первом уравнении справа стоит функция только от х, а слева — только от у; такое уравнение может вы­полняться, только если его левая и правая части являются по­стоянными величинами. Таким образом,

-^-== const,

т. е. давление является линейной функцией координаты х вдоль направления потока жидкости. Для скорости же получаем теперь

1 dp ., , ,.

Постоянные а и Ь определяются из граничных условий v = О при у = 0 я у = h. В результате получаем:

Таким образом, скорость меняется вдоль толщины слоя жидко­сти по параболическому закону, достигая наибольшей величины посредине слоя. Для среднего по толщине слоя жидкости зна­чения ее скорости вычисление дает

Л² dp ,,_

Сила трения, действующая на неподвижную стенку:

Л dp

2 dx

dv

(17,6)

Наконец, рассмотрим стационарное течение жидкости по трубе произвольного сечения (одинакового вдоль всей длины трубы). Ось трубы выберем в качестве оси х. Очевидно, что ско­рость v жидкости направлена везде по оси х и является функ­цией только от у и г. Уравнение непрерывности удовлетворяется тождественно, а у- и г-компоненты уравнения Навье — Стокса дают опять др/ду = др/dz — 0, т. е. давление постоянно вдоль сечения трубы, х-компонента уравнения (15,7) дает

ду^{2 т} dz* т) dx ' У¹¹'¹)

Отсюда опять заключаем, что = const; градиент давления

можно поэтому написать в виде Ар//, где Ар — разность давле­ний на концах трубы, а / — ее длина.

Таким образом, распределение скоростей в потоке жидкости в трубе определяется двухмерным уравнением типа Ду = const. Это уравнение должно быть решено при граничном условии v = 0 на контуре сечения трубы. Решим это уравнение для трубы кругового сечения. Выбирая начало координат в центре кругового сечения и вводя полярные координаты, имеем в силу симметрии v = v(r). Воспользовавшись выражением для опера­тора Лапласа в полярных координатах, имеем:

1 d / dv \ _ _ Ар г dr \ dr J i\l

Интегрируя, находим:

^{° = -^г2 + а1пг + й- <17'8>}

Постоянную а надо положить равной нулю, поскольку скорость должна оставаться конечной во. всем сечении трубы, включая его

центр. Постояннную b определяем из требования v = 0 при г = R (R — радиус трубы) и получаем:

Таким образом, скорость распределена по сечению трубы по параболическому закону.

Легко определить количество (массу) жидкости Q, протекаю­щей в 1 сек. через поперечное сечение трубы (или, как говорят, расход жидкости в трубе). Через кольцевой элемент 2лгdr площади сечения трубы проходит в 1 с количество жидкости p-2nrv dr. Поэтому

R

^{Q — 2np ^ rv dr.}

о

С помощью (17,9) получаем:

<Э = ^Я⁴. (17,10)

Количество протекающей жидкости пропорционально четвертой степени радиуса трубы').

Задачи

1. Определить течение жидкости по трубе с кольцевым сечением (вну­тренний и внешний радиусы трубы R_t и Ri).

Решение. Определяя постоянные а и 6 в общем решении (17,8) из. условий v = 0 при г = Ri и г = R₂, находим:

Количество протекающей жидкости равно

2. То же для трубы эллиптического сечения.

*) Выражаемая этой формулой зависимость Q от Ар и R была установ­лена эмпирически Гагеном (G. Hagen, 1839) и Пуазейлем (J. L. М. Poiseuille, 1840) и объяснена теоретически Стоксом (G. G. Stokes, 1845).

В литературе параллельные течения вязкой жидкости между неподвиж­ными стенками часто называют просто пуаэейлееыми; в случа« (17,4) говорят о плоском пуазейлевом течении.

Решение. Ищем решение уравнения (17,7) в виде v =» Ау^г + Вг^г + С. Постоянные А, В, С определяем из требования, чтобы это выражение удовле­творяло уравнению и граничному условию v = 0 на контуре сечения (т. е-уравнение Ау² + Вг^г + С = 0 должно совпадать с уравнением контура у^г\а² + г^г1Ь^г = 1, где а, Ь — полуоси эллипса). В результате получаем Др а-Ь^г ' »⁸

2r\t а² + Ь²

Для количества протекающей жидкости получаем:

п — ^{п а3}^³

^{У -} ~М~ а² + Ь²'

3. То же для трубы с сечением в виде равностороннего треугольника ^сторона треугольника о).

Решение. Обращающееся в нуль на треугольном контуре решение уравнения (17,7) есть

» = ——-=—AiA₂A₃, ! V3ati

где hi, Нг, hi — длины трех высот, опущенных из данной точки треугольника иа три его стороны. Действительно, каждое из выражений Afti, ДЛ₂, ДА₃ (где Д = д^г/ду^г + д^г1дг^г) равно нулю; это видно хотя бы из того, что каждую из высот hi, h%, h₃ можно выбрать в качестве одной из координат у или г, а при применении оператора Лапласа к координате получается нуль. Поэтому имеем:

ДА,А₂А.ч = 2 (A_t 7А, VA, + А₂ VA, VA₃ + А_а VAi 7А₂).

Но VAi=ni, VA₂ = n₂, VA₃ = пз, где гц, n₂, nj — единичные векторы вдоль направлении высот hi, A₂, A_s. Каждые два из rw, n₂, nj образуют друг с дру­гом угол 2я/3, так что

_п, _п. 2я 1

VA, VA₂ = n,n₂ = cos-j- = — —,

и т. д., и мы получаем соотношение _

ДА, А₂Аз = — (А, + А₂ + А₃) = — ^Ф-.

Q.

с помощью которого убеждаемся в выполнении уравнения (17,7). Количество протекающей жидкости равно

л/За* Др

320 V/

4. Цилиндр радиуса Ri движется со скоростью и внутри коаксиального с ним цилиндра радиуса /?₂ параллельно своей оси; определить движение жидкости, заполняющей пространство между цилиндрами.

Решение. Выбираем цилиндрические координаты с осью z по оси ци­линдра. Скорость направлена везде вдоль оси z и зависит (как и давление) только от г.

Vz — V(r).

Для v получаем уравнение

. 1 d ( dv \ _п

(член (vV)v = vdv/dz исчезает тождественно). Используя граничные условия V == и при г = Ri и v = 0 при г = R₂, получаем:

In (r/R₂)

In

Сила трения, действующая на единицу длины каждого из цилиндров, равна 2nr|u/ln(/?2//?_l).

5. Слой жидкости (толщины h) ограничен сверху свободной поверх­ностью, а снизу неподвижной плоскостью, наклоненной под углом а к гори­зонту. Определить движение жидкости, возникающее под влиянием поля тя­жести.

Решение Выбираем неподвижную нижнюю плоскость*в качестве пло- скости х, у, ось х направлена по направлению течения жидкости, а ось г — перпендикулярно к плоскости х, у (рис. 6). Ищем ре- уз шение, зависящее только от координаты г. Уравне- / ния Навье — Стокса с v_x = v(z) при наличии поля ' тяжести гласят:

d²v . . _п dp . ..

п . „ + pg sin а = 0. —— -f- pg cos a = 0.

dz' dz

На свободной поверхности (г = h) должны выпол­няться условия

Рис. 6 а_гг = — р = — р_а, о_хг = ⁼ 0

(ро — атмосферное давление). При z — 0 должно быть v = 0. Удовлетворяю­щее этим условиям решение есть

• Рй sin a

р = р₀ + pg cos a • (h — г). v — -— z (2Л — г).

Количество жидкости, протекающее в единицу времени через поперечное сечение слоя (отнесенное к единице длины вдоль оси у):

h

С . p#ft³sina _{Q = p}^_{od2 =} _PK_

о

в. Определить закон падения давления вдоль трубки кругового сечения, по которой происходит изотермическое течение вязкого идеального газа (иметь в виду, что динамическая вязкость ц идеального газа не зависит от его давления).

Решение. В каждом небольшом участке трубки газ можно считать несжимаемым (если только градиент давления не слишком велик) и соответ­ственно этому можно применить формулу (17,10), согласно которой

dp 8туС? dx ~ яр/?⁴

На больших расстояниях, однако, р будет меняться, и давление не будет линейной функцией от х. Согласно уравнению Клапейрона плотность газа р = тр/Т (т— масса молекулы), так что

( 8r\QT Л 1 V nmR⁴ ) р

dp__ (_&r\QT_ dx

(расход газа Q через все сечение трубки должен быть, очевидно, одинаковым вне зависимости от того, является ли газ нес>;;:шаемым или нет). Отсюда получаем:

о „2 16Т)<ЭГ

(Рг, Pi — давления на концах участка трубки длины /).