§ 141. Распространение звука в сверхтекучей жидкости

Применим уравнения гидродинамики гелия II к распростра­нению звука в этой жидкости. Как обычно, в звуковой волне скорости движения предполагаются малыми, а плотность, дав­ление, энтропия — почти равными своим постоянным равновес­ным значениям. Тогда систему гидродинамических уравнений можно линеаризовать — в (139,12—14) пренебрегаем квадра-

тичными по скорости членами, а в уравнении (139,5) можно вы­нести в члене div(psv„) энтропию ps из-под знака div (поскольку этот член уже содержит малую величину v„). Таким образом, система гидродинамических уравнений приобретает вид

i£- + divj = 0, (141,1)

-^- + psdivv_ra = 0, (141,2)

|f + Vp = 0, (141,3)

^ + _V(i=-0. (141,4)

Дифференцируя (141,1) по времени и подставляя (141,3), по­лучаем:

= Ар. (141,5)

Согласно термодинамическому соотношению dp. = —s dT -f- dp/p имеем:

Vp = psVr + pVu. Подставляя сюда Vp из (141,3) и Vp из (141,4), получим: P«-|-(v„-v,) + psvT = 0.

Применяем к этому уравнению операцию div, а для div(v» — v_n) подставляем выражение

р ds p_ss dt

следующее из равенства

ds 1 d{ps) sdp ,. I Si. m sps .. , 4

~dT⁼⁼~p~~~di -р-5Г = —sdiv v„-f--divj = —div(v_s —v„).

В результате получаем уравнение

-ё-^пйг^- ^(l4li6)

Уравнения (141,5) и (141,6) определяют распространение звука в сверхтекучей жидкости. Уже из того факта, что этих уравнений — два, видно, что существуют две скорости распро­странения звука.

Напишем s, р, р, Т в виде s — so + s', р — р₀ -f- р' и т. д., где буквы со штрихом представляют собой малые изменения со­ответствующих величин в звуковой волне, а величины с индек­сом нуль (который мы ниже для краткости опускаем)— их постоянные равновесные значения. Тогда можно написать:

и уравнения (141,5) и (141,6) принимают вид

др д²р' _Лп,, dp &Г___n ds д*_Р'_дз_д*Г Pss² _Ат,__п dp dt^{2 ар} ~г дТ df ~~^и' др ~ж ~г дТ dt² р7"^лу —^и-

Ищем решение этих уравнений в виде плоской волны, в ко­торой р' и V пропорциональны множителю е-«ю«-*/и) (скорость звука обозначаем здесь посредством и). В качестве условия со­вместности обоих уравнений получаем уравнение

д(7\ р) V 6Т ¹ р_п др ) ¹ р„

(где d(s, р)/д(Т,р) обозначает якобиан преобразования от s, р к Т, р). Путем простого преобразования с использованием тер­модинамических соотношений этому уравнению можно придать вид

l V dp J_s р„с₀ J ¹ р„с„ \др /_т ^у '

(c_v— теплоемкость единицы массы). Это квадратное (по и²) уравнение определяет две скорости распространения звука в ге­лии II. При p_s = 0 один из корней этого уравнения обращается в нуль, и мы получаем, как и должно было быть, всего одну обычную скорость звука и² = (др/др) _s.

Фактически теплоемкости с_р и c_v гелия II при температурах, не слишком близких к Я-точке, близки друг к другу (ввиду ма­лости коэффициента теплового расширения). Согласно извест­ной термодинамической формуле в этих условиях близки друг к другу также и изотермическая и адиабатическая сжимаемости:

( др\ ₌ /др_\ ^ (др\ \ др )т V dp ), с_р ~ V др ),'

Обозначив общее значение с_р и c_v посредством с, а общее зна­чение (др/др) т и (др/др) _s просто как др/др, получим из урав­нения (141,7) следующие выражения для скоростей звука:

^{»i-V1F- *-V?F- (14,'8)}

Одна из них, mi, почти постоянна, а другая, и₂, сильно зависит от температуры, обращаясь вместе с p_s в нуль в А,-точке').

') О распространении звука в смесях жидкого 'Не с ⁸Не — см. главу XIII указанной на стр. 719 книги И. М. Халатникова.

Вблизи л-точки, однако, коэффициент теплового расширения не мал и пренебрегать разницей между с_р и c_v нельзя. Чтобы получить формулу для U2 в этом случае, следует опустить вто­рой член в квадратной скобке в (141,7) (содержащий p_s) и член и⁴, который в этом случае мал (так как и₂ стремится к нулю). Кроме того, можно положить р„ да р. В результате получим:

Для скорости же и\ получается формула (141,8), где под др/др следует понимать (dp/dp)_s, т. е. обычная формула для скорости звука.

По поводу формулы (141,9) следует заметить, что она при­менима лишь при достаточно низких частотах —тем более низ­ких, чем ближе жидкость находится к Х-точке. Дело в том, что (как было уже упомянуто в примечании на стр. 717) вблизи лоточки неограниченно возрастает время релаксации т параметра порядка; формула (141,9), не учитывающая дисперсии и погло­щения звука, справедлива лишь при условии on <С 1. Что ка­сается скорости Ui, то вблизи Я-точки появляется дополнитель­ное затухание, связанное с релаксацией параметра порядка — в соответствии с общими утверждениями в § 81.

При самых низких температурах, когда почти все элементар­ные возбуждения в жидкости являются фононами, величины р„, с, s связаны друг с другом соотношениями ^])

c = 3s, Р„ = —тР.

Эй,

a p_s « р. Подставив эти выражения в формулу (141,8) для u_2t, найдем:

ы₂ = ы,/л/3.

Таким образом, при стремлении температуры к нулю скорости и\ и и? стремятся к постоянным пределам, причем так, что их отно­шение стремится к л/Ъ ■

Для лучшего выяснения физической природы обоих видов звуковых волн в гелии II рассмотрим плоскую звуковую волну (Е. М. Лифшиц, 1944). В такой волне скорости v_s, v_n и перемен­ные части 7', р' температуры и давления пропорциональны друг-другу. Введем коэффициенты пропорциональности согласно

v„ = av_s, p' = bvs, T' = cv_s. (141,10)

') Их легко получить из формул для термодинамических величин ге­лия II, приведенных в IX §§ 22, 23.

Простое вычисление с помощью уравнений (141,1—6), произве­денное с должной степенью точности, дает

Рр "?«2 , Р7и?

^ = 1-^ — — ь_х=ри_ь с_х = -

(141,11)

Ps* ("i — ч) ^с\^и\ — ч)

9s РР »1»2 . _ PP"f»2 «2_

Т 12 2\ » 2 /2 2\ ' ^с2

Р„ «Рл («l-"2) ^S(«l-«2) ^s

^{здесь В = — — температурный коэффициент расширения;}

ввиду его малости величины, содержащие В, малы по сравнению с соответствующими величинами, не содержащими В.

Мы видим, что в звуковой волне первого типа v„ да v_s, т. е. в такой волне в каждом элементе объема жидкость колеблется в первом приближении как целое; нормальная и сверхтекучая массы движутся вместе. Естественно, что эти волны соответ­ствуют обычным звуковым волнам в обычных жидкостях.

В волне же второго типа имеем v„ *»—~v_s, т. е. полная

Рга

плотность потока вещества

j = PsVs + PnVn » 0.

Таким образом, в волне второго звука сверхтекучая и нормаль­ная массы жидкости колеблются навстречу друг другу, так что в первом приближении их центр инерции в каждом элементе объема остается неподвижным и суммарный поток вещества от­сутствует. Ясно, что этот вид волн специфичен для сверхтекучей жидкости.

Между обоими видами волн имеется и другое существенное отличие, видное из формул (141,11). В звуковой волне обычного звука амплитуда колебаний давления относительно велика, а амплитуда колебаний температуры мала. Напротив, в волне второго звука относительная амплитуда колебаний температуры велика по сравнению с относительной амплитудой колебаний давления. В этом смысле можно сказать, что волны второго зву­ка представляют собой своеобразные незатухающие температур­ные волны').

В приближении, в котором тепловым расширением пренебре-гается вовсе, волны второго звука представляют собой чисто температурные колебания (с j = 0), а волны первого звука — ко­лебания давления (с v_s —v_n). Соответственно их уравнения дви­жения полностью разделяются: в уравнении (141,6) пишем s' = сТ'/Т и получаем:

^1 = 4\Г, (141,12)

') Они не имеют, разумеется, ничего общего с затухающими «темпера­турными волнами» в обычной теплопроводящей среде (§ 52), а в уравнении (141,5) полагаем р' = ^р' и получаем:

!£ = «?ЛР'. (141,13)

С описанными свойствами звуковых волн в гелии II тесно свя­зан и вопрос о различных способах их возбуждения (Е. М. Лиф-шиц, 1944). Обычные механические способы возбуждения звука (колеблющимися твердыми телами) крайне невыгодны для по­лучения второго звука в том смысле, что интенсивность излу­чаемого второго звука ничтожно мала по сравнению с интен­сивностью одновременно излучаемого обычного звука. В гелии II возможны, однако, и другие, специфические для него способы возбуждения звука. Таково излучение твердыми поверхностями с периодически меняющейся температурой; интенсивность излу­чаемого второго звука оказывается здесь большой по сравне­нию с интенсивностью первого звука, что естественно ввиду ука­занного выше различия в характере колебаний температуры в этих волнах (см. задачи 1 и 2).

При распространении волны второго звука большой ампли­туды его профиль постепенно деформируется в результате эф­фектов нелинейности, и это приводит в конце концов к возник­новению разрывов — как и для обычного звука в обычной гид­родинамике (bp. §§ 101,102). Рассмотрим эти явления для одно­мерной бегущей волны второго звука (И. М. Халатников, 1952).

В одномерной бегущей волне все величины (р, р, Т, v_s, v_n) мо­гут быть выражены в виде функций от одного параметра, в ка­честве которого может быть выбрана,например, одна из самих этих величин (§ 101). Скорость U перемещения точки профиля волны равна производной dx/dt, взятой при определенном значе­нии этого параметра. Производные по координате и времени от каждой величины связаны друг с другом соотношением d/dt = = —Уд/дх.

Вместо скоростей v_s и v_n будет удобнее пользоваться вели- чинами v = //р и w — Vn — v_s\ выбираем такую систему коорди- нат, в которой скорость и в данной точке профиля волны равна нулю. Гидродинамические уравнения (139,3—6) (с П, р, р, s из формул (139,12—15)) приводят к следующей системе урав- нений: ,, др , ,, о д р_п i , / п „,, ,,, ~^U~dJ^p —-ЪТ -у" ^ww +Р^{и ==0}' (141,14)

_p' _{+ 2}£^ww'-Upv' = 0, (141,15)

Р

[- pU -ffr 4- w -jj (p_ss)] r + 8w2§f-p' + [p_ss - Uw-p-] w' = 0,

(141,16}

[- ps + Uw -f^] Г + [l + Uwp-t ±f\p' + [p_nU - i^iw]w' -

~[Up + wp_n]v' = Q. (141,17}

Здесь опущены все члены выше второго порядка малости, а также все члены, содержащие коэффициент теплового расшире­ния; штрих означает везде дифференцирование по параметру¹).

В волне второго звука относительная амплитуда колебаний р и v мала по сравнению с амплитудами Т и ш; поэтому можно опустить также и члены, содержащие wp', wv'. Для определения U достаточно рассмотреть уравнение (141,16) и разность урав­нений (141,15) и (141,17). Условие совместности получающихся таким образом двух линейных уравнений для Т и w' приводит к квадратному уравнению

откуда

ⁱ VP р«с дТ )

Здесь и₂ — местное значение скорости второго звука, меняющееся от точки к точке профиля волны вместе с отклонением 67 темпе­ратуры от ее равновесного значения. Разлагая и₂ по степеням 67, получим

"₂ = "го + 17-67 = u₂₀ + -gf-^^r а».

где «го — равновесное значение и₂. Окончательно получим

(/ = ы₂₀ + ш-^_ж1п^-. (141,18)

При достаточно сильном искажении профиля волны в ней возникают разрывы (ср. § 102) — в данном случае температурные разрывы. Скорость распространения разрыва равна полусумме скоростей U с обеих сторон разрыва, т. е. равна

_Wl + w₂ p_ssT д и\_йс с₂о-\ 2 рТ"дТ^{п^Г~' (141,19)

где w\, w₂ — значения w на обеих сторонах разрыва.

Коэффициент при w в выражении (141,18) может быть как положительным, так и отрицательным. В зависимости от этого точки с большими значениями w либо опережают, либо отстают от точек с меньшими значениями w, а разрыв соответственно возникает либо на переднем, либо на заднем фронте волны (в противоположность обычному звуку, где ударная волна воз­никает всегда на переднем фронте).

') А не переменную часть колеблющихся величин, как эТо было выше .в этом параграфе!

Задачи

1. Определить отношение интенсивностей излучения первого и второго звуков плоскостью, совершающей колебания в перпендикулярном к себе на- правлении.

Решение. Ищем скорости v_s (направленные по нормальной к плоскости оси х) в первой и второй излучаемых волнах соответственно в виде

u_9l = А_} cos » (/ — */«,), v_s2 — А₂ cos и (t — лг/и₂1.

На поверхности колеблющейся плоскости скорости v_s и v„ должны быть рав­ными скорости ее колебаний (которую обозначим посредством ч₀ cos иг). Это дает уравнения

А, + A₂ = v₀, a,A, + a₂A₂ = v₀

(коэффиценты at, a₂ — из (141,11)). Средняя (по времени) плотность энергии в звуковой волне в гелии II равна

Ps^vl + Pn^vl ■= 4" ^{А% (р}* + ^pn^fl2);

поток энергии (интенсивность) получается последующим умножением на со­ответствующую скорость звука и. Для отношения интенсивностей излучае­мых волн второго и первого звуков получаем:

Л ^А\(P_s + Pn^al)"l ^си\

(здесь предположено, что и₂ < Hi, что справедливо вплоть до очень низких температур). Это отношение весьма мало.

2. То же для излучения звука от поверхности с периодически меняющей- ся температурой.

Решение. Достаточно написать граничное условие / == 0, которое долж­но иметь место на неподвижной поверхности. Оно дает

Р.)д1 + Ps £_

p_s (А, + А₂) + р„ (а,/4, + а,А_г) = О,

откуда

А

Для отношения интенсивностей находим:

h ._ с

/, ПУи.и, ^-

Это отношение весьма велико.

3. Определить скорость звука, распространяющегося вдоль капилляра,, диаметр которого мал по сравнению с глубиной вязкого проникновения t> ~ (п/р«<о)^1/2 (К. R. Atkins, 1959) »)•

Решение. В указанных условиях можно считать, что нормальное дви­жение в капилляре полностью задерживается трением о стенки (v„ = 0)-

') Эти волны принято называть четвертым звуком. Третьим звуком на­вивают волны, распространяющиеся по пленке гелия II на твердой поверх­ности; существенную роль в них играют силы вандерваальсового взаимо­действия жидкости в пленке с твердым телом.

Система линеаризованных уравнений (141,1—2), (141,4) принимает вид¹) р' + p_s div v_s = 0, v_s + Vn' = v_s - sVT' + -i- Vp' = 0. (sp)- = ps' + sp' = 0

{штрих означает переменную часть величин в волне). Снова пренебрегая теп­ловым расширением жидкости, находим из третьего уравнения

p's/«² = — Трс/Т.

Исключив теперь v_s из первых двух уравнений, получим волновое уравнение р' — и²Ар' = 0, в котором скорость распространения и дается формулой

„2 _ Р« „2 . Р« „2

U = U. -\ Un.

р ¹ ^ р ¹

4. Найти коэффициенты поглощения первого и второго звуков в гелии II.

Решение. Вычисление осуществляется аналогично тому, как это было сделано в § 79 для звука в обычных жидкостях; при этом вместо (79,1) используется выражение (140,10). В пренебрежении всеми членами, содер­жащими температурный коэффициент расширения $ (в том числе в (141,to­ll)), получим для коэффициентов поглощения:

2р«? V 3 ) 2рр„«? I, 3 p_sc )

') Уравнение же сохранения импульса (141,3) следует опустить: оно не имеет места в рассматриваемых условиях, когда к капилляру должна при­лагаться внешняя сила, чтобы удерживать его покоящимся.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ¹)

Автомодельность 213, 510, 659

Адиабата Гюгонио 457

• Пуассона 448

• Тауба 700

559, 564, Звуковая аналогия 643, 658 — точка ударной адиабаты

465

Бародиффузия 326

— в идеальном газе 329*

Излучение звука из трубки 416* Изэнтропическое течение 18 Инерционный интервал турбулентно­сти 191 Интеграл Лойцянского 200 — ошибок 287

Векторное поле системы 163 Влажный пар, звук в нем 355* Волновая зона при излучении звука 396

Волновое сопротивление 52, 643, 654 Волновой пакет звуковой 359, 367 — цуг звуковой 359, 367

Гидравлическое приближение 414, 569

Годографа преобразование 607 Головная ударная волна 638

Давление звука при отражении 364* Дефлаграция 662

Диск, вращающийся в жидкости 112, 128*

Диффузорное течение 113 Длина пути перемешивания 214

Капиллярная постоянная 336 Капля, движение в другой жидкости 99*

Комплексная амплитуда 354 Комплексный потенциал 40 Конвекция в трубе 317* Контактный разрыв 453 Конфузорное течение 113, 230* Коэффициент вязкости 72

• поверхностного натяжения 333

• подъемной силы 260

• сопротивления 228, 250, 255

• теплопроводности 271 Краевой угол 339*

Критическая скорость сжимаемого газа 447

— точка при обтекании 38, 44*, 230*

Линии тока 24, 35 Ляпуновские показатели 168

Завихренность 31

— за ударной волной 598

Закон Колмогорова — Обухова 189

Малые колебания в идеальной жид­кости 34, 54*

') Этот указатель дополняет оглавление книги, не повторяя его. В указа­тель включены термины, понятия и задачи, непосредственно не отраженные в оглавлении. Звездочкой отмечены страницы, относящиеся к задачам.

Маховское отражение ударной волны 588

Местная сверхзвуковая зона 641 Мультипликатор периодического дви­жения 156

Напряжения Рейнольдсовы 247 Неизэнтропическое течение 31* Нейтральной устойчивости кривая 149, 239

Нестационарная волна разрежения 513

Неустойчивость абсолютная 148

• глобальная 152

• конвективная 148

Обертоны в звуковой волне 535, 542* Обтекание угла идеальной жидкостью 45*

турбулентное 210

• цилиндра вязкой жидкостью 94 идеальной жидкостью 43*

• шара вязкой жидкостью 89

идеальной жидкостью 42*

Опрокидывание профиля волны 529 Отображение Пуанкаре 170 Отражение волны разрежения от

стенки 556*

— звука от тангенциального разрыва 454*

от ударной волны 478*

Перемежаемость турбулентности 183, 210

Переменные Лагранжа 19* Пленка жидкости 338*, 340* Плотность потока массы 16 энтропии 18

Поглощение звука в жидкой смеси 429*

малым шариком 429*

при отражении 427*

Подвижность 330

Подслой вязкий 246

Подъемная сила 51, 220, 260, 650,

653, 659, 660* Показатель адиабаты 448 Политропный газ 447 Постоянная Кармана 244

• Ландау 140 Поршневая аналогия 659 Предельная точка 155

• линия 609

• характеристика 625

Предельный цикл 155 Принцип Онсагера 324 Присоединенная масса 51 Простая волна 528, 603

— — релятивистская 699*

центрированная 543, 603

Прыжок воды 570

Самовозбуждение жесткое, мягкое 141

Седловые траектории 165 Сечение рассеяния 419 Скачок уплотнения 456 Скорость групповая 369

— фазовая 369

Смена устойчивостей 145 Соотношение Эйнштейна 332 Сопло Лаваля 504 Спиновая детонация 684 Струя вязкой жидкости, затопленная 118

— идеальной жидкости, плоская 46* Субстанциональная производная 17

Тангенциальный разрыв в поле тяже­сти, устойчивость 345*

• — на мелкой воде 571*

• слабый разрыв 502 Температуропроводность 277 Тензор напряжений 71

■ вязкий 71

Тепловой взрыв 279 Тепловые волны 290 Теплопроводность 271

• нелинейная 283

• при обтекании шара 280*, 305*

течении по трубе 295*, 304*

Термодиффузия 326

Течение Куэтта 85

• между вращающимися шарами 98

• Пуазейля 82 Толщина вытеснения 228 Точка Чепмена — Жуге 673 Турбулентная вязкость 187

• струя нагретая 309*, 310*

• теплопроводность 296 Турбулентности масштаб внешний 185

• внутренний 190

Турбулентные пульсации температу­ры 299, 301* Тэйлоровские вихри 145

Угол атаки 259

• Маха 442

• скольжения 654 Ударная поляра 485

Уравнение адиабатичности течения 18

Уравнение Бюргерса 492, 495*

• Осеена 94

• Прандтля 224 Условие Чаплыгина 261 Устойчивость пламени 668*

— тангенциальных разрывов в сжи­маемом газе 453*

Формула Лапласа 334 — Стокса 92

Фрактальная размерность 167 Функция тока 39, 95

Число Грассхофа 308

• Маха 442

• Нуссельта 294

• Пекле 293

• Рейнольдса 87

• — критическое 138

— , энергетическая оценка 142*

• Рэлея 308

• Струхала 89

• Фейгенбаума 175

Шероховатые поверхности 248, 251 Ширина слабого разрыва 502, 517*

Характеристическая поверхность 443 Химический потенциал смеси 321

Эйконал 365 Эффект Доплера 371

Строка

Напечатано

Должно Сыть

59 60

132

133

155 156

163 186 199

237 269

323

338 357

452 466

467 475

480 481

491

8-я сверху

2-я сверху

7-я сверху

ф-ла (41,11)

ф-ла (41,14)

ф-ла (2) 11-я

сверху

16-я сверху 8-я снизу

8-я

сверху

9-я сверху

7-я сверху

14-яснизу

10-я снизу 9-я сверху

3-я снизу ф-ла (2)

ф-ла (4)

12-я сверху

6-я сверху 17-я снизу

3-я снизу

cos % ' Ym (в, <р) ■

1'

л-системе

ц-системе

cos V = —

_{••• V 2(1 +ту ••'}

_V

^к 2т + (<Г, -_m)sin²e, Ylm (е. Ф)

Л/2

Q^{i\

4л (/ + m)\

Л/2

совпадает с направлением

2*1,2 =

противоположен направлению

2cp elf

64 ^: 9л² ' "

2b,fc₂ = /£₂, t_g2q> =

.., 2М₂ = /Я£₂, tg 2ф = 2ср

g + l, ...

D_p +

У² +

еН '

A = g-/, ... y² sec² о + ...

у² sec² a -f ■. ■

In-

64 9я²

У*+ ...

/* = (1-е²)²

Указанный в решении задачи способ исключения ускорений из функции Лагранжа неверен, правильный способ дан в статье: Barker В. М., O'Connell R. F. — Canad. J. Phys., 1980, v. 58, p. 1659.

= ... ft„

Вз\ = ...

... b₂

c_a = ... = ... с , c^a = ... = ... c_T

■ .. Bl2 = • • •, B\₃ '--

T^a = ...

ft i ...

^{.......(. + £-).}

г²

...и_в = _т...

'²1.

"a=- -g"⁶--"^-

" ...|-(--я)-|

Л = — p. = const

Я + p = 2Ci ds² = ... -

X — p. = const

4 '

*²"W

6C,

^2p'rfy²-

X + p = 2Ci, .. ds²= ...

Стр. | Строка I

Напечатано

Должно быть

а (Рх)

68	5-я снизу
99	15-я сверху
182	17-я сверху
203	ф-ла (47,4)
216	7-я сверху
	14-я сверху
464	ф-ла (101,8)
695	14-я снизу
637	ф-ла (134,10)
706	ф-ла (148,4)
737	11-я сверху
747	ф-ла (е, 9)

ОО

Ф(|)= ... ^ cos (Jj-+ «l) du о

Ф(х). Ф(х)<

т | F₀ | (х — a)

}

2 V2m I F₀ Х«Р -_T\V2

■ X

X

w = 0,65 • Z" ip(*) =

exp|-^V2mf₀

... X ь

_{■\f2mF0 С}

■^2mF_Q

2Vn~

f(g, В, у. г) = ... + ... z^a~v

tv(G) = g

(случай притяжения) 6,-6?»+ ... da_n=. ..£/...

Ф (x) « -

Хехр V2m/\, (х - b) dx +

00

о

-2

^{Ф (I) = ... ^ cos (-j- + Bg) du}

Ф(х) =

^{w =0.65- Z}

2 (2m I F_a | )^l/4 "' Xex_Pf-|-$(2m|Fol)^1/4 <*-«)^1/2d* exp|-i-(2mFo)^l/4 ... J

(2mF_a)

^{j J (2wF}₀^{)1/4 (x - t)1/2 dx +}

_Xo(G) = (-l) (случай отталкивания) Л,-вУ>- ...

*>»- ■••/!•••

F(a. 6. v. 2)= ... -f ... z

P-v

ИСПРАВЛЕНИЯ К ТОМУ V «СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА», ЧАСТЬ I, 1976 г.

F = Nz0+ ... F = Ne0 — ... £ = JVe0 + ... F = Nto — ... E = NeQ+ ... a|/|> О. U	Строка
218	17-я
	сверху
	ф-ла
	(65,1)
	ф-ла
	(65,3)
	ф-ла
	(65,4)
219	ф-ла
	(65,6)
	ф-ла
	(65,7)
524	16-я
	снизу
525	ф-ла (2)

Напечатано

^Tb _Z ⁱⁿ _T7T7T

"■0

•t.v

32 ..

Должно быть

» In (h®_a/T) — haJ2T F=Ne'₀+ где

F = Ne₀-

■■Ne₀-

E=*Ne_Q+ ... Q — Q„ =

_{= -}^r_{< Z} ^,n _тггт

In

о

ИСПРАВЛЕНИЯ К ТОМУ VIII «ЭЛЕКТРОДИНАМИКА СПЛОШНЫХ СРЕД», 1982 г.

о. и	Строка	Напечатано
149	15-я снизу	Тензоры а-1, х, а...
235	3-я сверху	по степенному закону — в противоположность корреля­ции флуктуации величины М, убывающей экспоненциально.
272	ф-ла (56,7)	... = ... (я|2 — Н2СХ).
514	ф-ла (108,9)	ie>i f 16я J - *" 1"<02 f 16я 3

Должно быть

Тензоры a-'.x, a + 6/Г...

по медленному степенному закону — как 1/г (корреляция же флуктуации величины М убывает более быстро).

... - ...(и1-н1_х).

<a>i С

••■ " 16я 3 "'

₌ _ ^i<0i [

16я 3 '"'

1Для осесимметричного обтекания тела вращения формула (123,3) справедлива для всех вообще г вплоть до самой поверхности тела. Из нее можно, в частности, получить снова формулу (113,6) для обтекания тонкого конуса.

С другой стороны, рассмотрев это полученное в линейном приближении решение вдали от обтекаемого тела, можно ввести в него эффект нелинейного искажения профиля подобно тому, как это было сделано в § 102 для цилин­дрической звуковой волны. Этим путем можно определить интенсивность ударной волны на больших расстояниях от тонкого заостренного тела враще­ния (в том числе ее зависимость от Mi), т.е. коэффициент в законе затуха­ния (сог~^3/4),о котором шла речь в предыдущем параграфе. См. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977, § 9.3 [Whitham G. В. Linear and npnlinear waves. — Wiley, 1974).

2') Что касается подъемной силы (для неосесимметрического тела или при наличии угла атаки), то в рассматриваемом здесь приближении таковая во­обще отсутствует.

3) Оно имеет место и в изложенной в § 125 теории волнового сопротив­

4) Оно имеет место и в изложенной в § 125 теории волнового сопротив­

5) Оно имеет место и в изложенной в § 125 теории волнового сопротив­

6) Оно имеет место и в изложенной в § 125 теории волнового сопротив­

7) Оно имеет место и в изложенной в § 125 теории волнового сопротив­

8) Оно имеет место и в изложенной в § 125 теории волнового сопротив­

9) Оно имеет место и в изложенной в § 125 теории волнового сопротив­

10) Оно имеет место и в изложенной в § 125 теории волнового сопротив­

11Мы имеем в виду, конечно, не только уравнения движения газа, но и граничные условия к ним на поверхности тела и условия, которые должны выполняться на ударных волнах. Газ предполагается политропный, так что его газодинамические свойства зависят только от безразмерного параметра у; получаемое ниже правило подобия не определяет, однако, характера зависи­мости течения от этого параметра.

Следует отметить, что при обтекании с М|> 1 газ сильно нагревается, в результате чего могут существенно измениться его термодинамические свой­ства. Поэтому количественный смысл формул для политропного газа (т. е. в предположении постоянства его теплоемкости) для гиперзвуковых скоростей фактически ограничен.

12') Если не предполагать М] большим, то получилось бы правило подобия с параметром /С^=,9д/м^—1. Оно, однако, не представляет интереса, по­скольку при небольших Mi линеаризованная теория в действительности пол­ностью определяет зависимость всех величин от этого параметра.

13) Закон подобия для гиперзвукового обтекания сформулирован Цянь Сюэ-сэнем (Н. S. Tsien, 1946). Его связь со «звуковой аналогией», распро­

14в специальной литературе эту аналогию называют «поршневой».

') Детали доказательства можно найти в книге: Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. — М.: Физматгиз, 1959, гл. I, § 4.

15в специальной литературе эту аналогию называют «поршневой».

') Детали доказательства можно найти в книге: Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. — М.: Физматгиз, 1959, гл. I, § 4.

16') Скорость реакции обычно зависит от температуры по экспоненциаль­ному закону, будучи в основном пропорционально множителю вида ехр (—[//Г), где U — характерная для каждой данной реакции постоянная (энергия активации). Чем больше U, тем сильнее зависимость скорости реак­ции от температуры.

17) Следует иметь в виду, что в смеси, самой по себе способной к горе­нию, в известных условиях самопроизвольное распространение горения может оказаться невозможным. Соответствующие пределы определяются тепловыми потерями, связанными с такими факторами, как отвод тепла через стенки трубы (при горении газа в трубе), потери на излучение и т. п. Поэтому, на­пример, горение оказывается невозможным в трубках слишком малого ра­диуса.

') Во избежание недоразумений отметим, что при сильной зависимости г от температуры в формуле (128,1) должен стоять еще довольно большой коэффициент (если для т брать значение при температуре продуктов горе­ния) Для нас здесь существен в первую очередь тот факт, что о не зави­сит от /.

18) Определенную роль в процессе распространения горения играет также и взаимная диффузия различных компонент горящей смеси; это обстоятельство не меняет порядков величины скорости и ширины пламени. Подчеркнем, од­нако, что здесь везде идет речь о горении предварительно перемешанных горючих газовых смесей, а не о случаях, когда реагирующие вещества про­странственно разделены и горение происходит лишь за счет их взаимной диффузии.

19) Определенную роль в процессе распространения горения играет также и взаимная диффузия различных компонент горящей смеси; это обстоятельство не меняет порядков величины скорости и ширины пламени. Подчеркнем, од­нако, что здесь везде идет речь о горении предварительно перемешанных горючих газовых смесей, а не о случаях, когда реагирующие вещества про­странственно разделены и горение происходит лишь за счет их взаимной диффузии.

20') В обозначениях, введенных в задаче 1, выражение для v_t с учетом этого эффекта надо писать в виде с, =о/'^п(1 — цд²£/<5г/²), где v\³⁾— скорость горения при плоском фронте, а ц — эмпирическая константа (размерности длины), положительная в условиях стабилизации.

21) Подробное изложение этих вопросов дано в книге: Зельдович Я. В., Баренблатт Г. И., Либрович В. В., Махвиладзе Г. М. Математическая теория горения и взрыва. М.: Наука, 1980, гл. 4, 6.

') В реальных условиях фронт горения в трубе обычно выпуклый по отношению к находящейся перед ним исходной газовой смеси. Это приводит к возникновению специфического механизма стабилизации пламени по отно­шению к мелкомасштабным возмущениям. Распространение горения по нор­малям к фронту «растягивает» последний, причем возникающие в каких-либо его точках возмущения сносятся по направлению к стенкам трубы и, достиг­нув стенки, гасятся (стационарность же формы фронта поддерживается при этом движением газа перед фронтом). См. Зельдович #. Б., Истратов А. Г., ^Л"ш ^{Н И}' ^{Либрович В}' ^Б- ^ComDustion Science and Technology, 1980, v. 24,

22) Для полноты рассуждений следует также указать, что скачкообразный переход из состояния с в состояние Ь в еще одной ударной волне тоже не­возможен, так как газ пересекал бы такую волну в направлении от большего давления к меньшему, что невозможно.

23) Напомним, что под скоростями Vt, v₂ везде подразумеваются скорости в нормальном к поверхности разрыва направлении.

') Это утверждение было высказано гипотетически Чепменом (D. L. Chap­man, 1899) и Жуге (£. Jouguet, 1905), а его теоретическое обоснование дано Я- Б. Зельдовичем (1940) и затем независимо Нейманом (J. von Neumann, 1942) и Дерингом {W. Daring, 1943).

») Если x^l — 2px* + q = 0, то

Два знака перед корнем соответствуют в данном случае тому, что из точки о можно провести две касательные к детонационной адиабате — одну вверх, как это изображено на рисунке, а другую вниз. Интересующая нас верхняя касательная является более крутой и соответственно этому мк выбираем знак плюс перед корнем.

24) Напомним, что под скоростями Vt, v₂ везде подразумеваются скорости в нормальном к поверхности разрыва направлении.

') Это утверждение было высказано гипотетически Чепменом (D. L. Chap­man, 1899) и Жуге (£. Jouguet, 1905), а его теоретическое обоснование дано Я- Б. Зельдовичем (1940) и затем независимо Нейманом (J. von Neumann, 1942) и Дерингом {W. Daring, 1943).

») Если x^l — 2px* + q = 0, то

Два знака перед корнем соответствуют в данном случае тому, что из точки о можно провести две касательные к детонационной адиабате — одну вверх, как это изображено на рисунке, а другую вниз. Интересующая нас верхняя касательная является более крутой и соответственно этому мк выбираем знак плюс перед корнем.

25') Мы везде полностью отвлекаемся от тепловых потерь, которыми может сопровождаться распространение детонационной волны. Как и в случае мед­ленного горения, эти потери могут сделать распространение детонации невоз­можным. При детонации в трубе источником потерь являются в первую оче­редь отвод тепла через стенки трубы и замедление газа благодаря трению.

26) Безразмерную автомодельную переменную в этой задаче можно опре­делить как r/t-^q, где характерный постоянный параметр q — теплота реак­ции на единицу массы.

27') Их теоретическое изучение начато Осватичем (К. Oswatitsch. 1942) и С. 3. Беленьким (1945).

28) Теплота q не совпадает, строго говоря, с обычной скрытой теплотой конденсации, так как совершающийся в зоне конденсации процесс включает в себя не только изотермическую конденсацию пара, но и некоторое общее изменение температуры газа. Однако, если степень пересыщения пара не слишком мала (как это обычно и имеет место), то эта разница несуще­ственна.

') Аналогичные соображения остаюся в силе и в том случае, когда пол­ная скорость v₂ (от которой «2 < Сг есть нормальная к скачку компонента) является сверхзвуковой.

Во избежание недоразумений отметим, что конденсационный скачок с t'i > d, Vi < с₂ может на практике (в определенных условиях влажности и формы обтекаемой поверхности) имитироваться истинным конденсационным скачком с Vi > Ci, vа > с₂ и следующей близко за ним ударной волной, пере­водящей течение в дозвуковое.

29) Для трехмерного вектора di (и вектора скорости v ниже) в декарто­вых координатах нет необходимости различать контра- и ковариантные ком­поненты, и мы пишем их везде с индексами внизу. То же самое относится к трехмерному единичному тензору б_ай.

30) Для трехмерного вектора di (и вектора скорости v ниже) в декарто­вых координатах нет необходимости различать контра- и ковариантные ком­поненты, и мы пишем их везде с индексами внизу. То же самое относится к трехмерному единичному тензору б_ай.

31Во всех формулах в этой главе под термодинамическими величинами понимаются их собственные значения. Такие величины, как е, w (и плотность-энтропии о ниже) отнесены к единице объема в локальной системе покоя.

32Во всех формулах в этой главе под термодинамическими величинами понимаются их собственные значения. Такие величины, как е, w (и плотность-энтропии о ниже) отнесены к единице объема в локальной системе покоя.

33Во всех формулах в этой главе под термодинамическими величинами понимаются их собственные значения. Такие величины, как е, w (и плотность-энтропии о ниже) отнесены к единице объема в локальной системе покоя.

34') При очень высоких температурах в веществе может происходить воз­никновение новых частиц, так что полное число частиц каждого рода ме­няется. В таких случаях под п надо понимать сохраняющуюся макроскопиче­скую величину, характеризующую число частиц. Так, если речь идет об обра­зовании электронных пар, под п можно понимать число электронов, которое осталось бы после аннигиляции всех пар. Удобным определением п может служить плотность числа барионов (число антибарионов — если они име­ются— считается при этом отрицательным). К области применений ультра­релятивистской гидродинамики могут относиться, однако, и задачи, в котооых вообще нельзя ввести какой-либо сохраняющейся макроскопической характе­ристики числа частиц в системе, и последнее само определяется условиями термодинамического равновесия (таковы задачи, связанные с множественным образованием частиц при столкновениях быстрых нуклонов); вывод гидро­динамических уравнений для таких случаев — см. задачу 2.

35') При очень высоких температурах в веществе может происходить воз­никновение новых частиц, так что полное число частиц каждого рода ме­няется. В таких случаях под п надо понимать сохраняющуюся макроскопиче­скую величину, характеризующую число частиц. Так, если речь идет об обра­зовании электронных пар, под п можно понимать число электронов, которое осталось бы после аннигиляции всех пар. Удобным определением п может служить плотность числа барионов (число антибарионов — если они име­ются— считается при этом отрицательным). К области применений ультра­релятивистской гидродинамики могут относиться, однако, и задачи, в котооых вообще нельзя ввести какой-либо сохраняющейся макроскопической характе­ристики числа частиц в системе, и последнее само определяется условиями термодинамического равновесия (таковы задачи, связанные с множественным образованием частиц при столкновениях быстрых нуклонов); вывод гидро­динамических уравнений для таких случаев — см. задачу 2.

36') При очень высоких температурах в веществе может происходить воз­никновение новых частиц, так что полное число частиц каждого рода ме­няется. В таких случаях под п надо понимать сохраняющуюся макроскопиче­скую величину, характеризующую число частиц. Так, если речь идет об обра­зовании электронных пар, под п можно понимать число электронов, которое осталось бы после аннигиляции всех пар. Удобным определением п может служить плотность числа барионов (число антибарионов — если они име­ются— считается при этом отрицательным). К области применений ультра­релятивистской гидродинамики могут относиться, однако, и задачи, в котооых вообще нельзя ввести какой-либо сохраняющейся макроскопической характе­ристики числа частиц в системе, и последнее само определяется условиями термодинамического равновесия (таковы задачи, связанные с множественным образованием частиц при столкновениях быстрых нуклонов); вывод гидро­динамических уравнений для таких случаев — см. задачу 2.

37) Напомним, что такое соотношение должно писаться для определенного количества вещества (а не для определенного объема, в котором может на­ходиться переменное число частиц). В (134,6) оно написано для тепловой функции, отнесенной к одной частице, а 1/л есть объем, приходящийся на одну частицу.

') Для удобства напомним, что компоненты 4-скорости (см. II § 4): = (У, vv/c), и, — (у, —yv/c), где для краткости введено (в этой главе!) обозначение у = (1—v²/c²)~^l/i.

38) В общем случае эти уравнения довольно сложны. Их подробная запись в раскрытом виде (выраженном с помощью трехмерного тензора про­странственной метрики — у _ap из II § 84) дана в статье Nelson R. А. — Gen. Rel Gfav., 1981, v. 13, p. 569. Гидродинамические уравнения в первом после-кыотоновском приближении даны в статье Chandrasekhar S. — Astroph J., 1965, v. 142, p. 1488; они приведены также в книге: Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. — М.: Мир, 1977, § 39, 11 [Misner С. W., Thorne К. S., Wheeler J. A Gravitation. — Freeman, 1973].

39) В общем случае эти уравнения довольно сложны. Их подробная запись в раскрытом виде (выраженном с помощью трехмерного тензора про­странственной метрики — у _ap из II § 84) дана в статье Nelson R. А. — Gen. Rel Gfav., 1981, v. 13, p. 569. Гидродинамические уравнения в первом после-кыотоновском приближении даны в статье Chandrasekhar S. — Astroph J., 1965, v. 142, p. 1488; они приведены также в книге: Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. — М.: Мир, 1977, § 39, 11 [Misner С. W., Thorne К. S., Wheeler J. A Gravitation. — Freeman, 1973].

40) В общем случае эти уравнения довольно сложны. Их подробная запись в раскрытом виде (выраженном с помощью трехмерного тензора про­странственной метрики — у _ap из II § 84) дана в статье Nelson R. А. — Gen. Rel Gfav., 1981, v. 13, p. 569. Гидродинамические уравнения в первом после-кыотоновском приближении даны в статье Chandrasekhar S. — Astroph J., 1965, v. 142, p. 1488; они приведены также в книге: Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. — М.: Мир, 1977, § 39, 11 [Misner С. W., Thorne К. S., Wheeler J. A Gravitation. — Freeman, 1973].

41) В общем случае эти уравнения довольно сложны. Их подробная запись в раскрытом виде (выраженном с помощью трехмерного тензора про­странственной метрики — у _ap из II § 84) дана в статье Nelson R. А. — Gen. Rel Gfav., 1981, v. 13, p. 569. Гидродинамические уравнения в первом после-кыотоновском приближении даны в статье Chandrasekhar S. — Astroph J., 1965, v. 142, p. 1488; они приведены также в книге: Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. — М.: Мир, 1977, § 39, 11 [Misner С. W., Thorne К. S., Wheeler J. A Gravitation. — Freeman, 1973].

42) В общем случае эти уравнения довольно сложны. Их подробная запись в раскрытом виде (выраженном с помощью трехмерного тензора про­странственной метрики — у _ap из II § 84) дана в статье Nelson R. А. — Gen. Rel Gfav., 1981, v. 13, p. 569. Гидродинамические уравнения в первом после-кыотоновском приближении даны в статье Chandrasekhar S. — Astroph J., 1965, v. 142, p. 1488; они приведены также в книге: Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. — М.: Мир, 1977, § 39, 11 [Misner С. W., Thorne К. S., Wheeler J. A Gravitation. — Freeman, 1973].

43) В общем случае эти уравнения довольно сложны. Их подробная запись в раскрытом виде (выраженном с помощью трехмерного тензора про­странственной метрики — у _ap из II § 84) дана в статье Nelson R. А. — Gen. Rel Gfav., 1981, v. 13, p. 569. Гидродинамические уравнения в первом после-кыотоновском приближении даны в статье Chandrasekhar S. — Astroph J., 1965, v. 142, p. 1488; они приведены также в книге: Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. — М.: Мир, 1977, § 39, 11 [Misner С. W., Thorne К. S., Wheeler J. A Gravitation. — Freeman, 1973].

44) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

45) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

46) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

47) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

48) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

49) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

50) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

51) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

52) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

53) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

54) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

55) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

56) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

57) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

58) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

59) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

60) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

61) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

62) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

63) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

64) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

65) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

66) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

67) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

68) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

69) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

70) При преобразованиях удобно сделать подстановку v\с = lh ср, у = ch tp.

71*) Я-точки образуют линию на фазовой диаграмме гелия в плоскости р, Т. Температура 2,19 К отвечает точке пересечения этой линии с линией равно­весия жидкости с паром.

72) Ферми-жидкость изотопа ³Не тоже становится сверхтекучей, но при гораздо более низких температурах ~10^-3 К. Гидродинамика этой сверхте­кучей жидкости более сложна ввиду более сложного характера описываю­щего ее состояние «параметра порядка» (ср. IX § 54),

') Независимо от Ландау, качественная идея о макроскопическом опи­сании гелия II с помощью разделения его плотности на две части и введения двух полей скоростей была высказана Л. Тиссой (L. Tisza, 1940); эта идея позволила ему также предсказать существование двух видов звуковых волн: в гелии II (см. ниже § 141). Однако, ввиду ошибочности исходных микро­скопических представлений последовательная теория сверхтекучести (в том числе ее гидродинамика) в работах Тиссы не была построена.

73') Существование предельной скорости сверхтекучего движения следует уже из микроскопической теории — конкретная форма энергетического спек­тра элементарных возбуждений в гелии 11 приводит к нарушению условия сверхтекучести Ландау при больших скоростях (см IX § 23). Фактически наблюдающиеся критические скорости, однако, гораздо меньше этого предель­ного значения, причем зависят от конкретных условий течения (так, для те­чения по тонким капиллярам или щелям они больше, чем для движений в больших объемах). Физическая природа этих явлений состоит в возникнове­нии квантованных вихревых колец; такого же рода вихревые нити (но пря­молинейные) возникают при вращении жидкого гелия в цилиндрическом со­суде (см. IX § 29). В этой главе эти явления не рассматриваются.

74) Если гелий II содержит примесь постороннего вещества (таковым фактически может являться изотоп ^:Не), то р„ остается отличным от нуля и при абсолютном нуле.

75') Существование предельной скорости сверхтекучего движения следует уже из микроскопической теории — конкретная форма энергетического спек­тра элементарных возбуждений в гелии 11 приводит к нарушению условия сверхтекучести Ландау при больших скоростях (см IX § 23). Фактически наблюдающиеся критические скорости, однако, гораздо меньше этого предель­ного значения, причем зависят от конкретных условий течения (так, для те­чения по тонким капиллярам или щелям они больше, чем для движений в больших объемах). Физическая природа этих явлений состоит в возникнове­нии квантованных вихревых колец; такого же рода вихревые нити (но пря­молинейные) возникают при вращении жидкого гелия в цилиндрическом со­суде (см. IX § 29). В этой главе эти явления не рассматриваются.

76Мы не будем проводить полностью соответствующих рассуждений (вполне аналогичных, например, излагавшимся в § 59). Обратим лишь вни-тдание на то, что Si—коэффициент при div(p_sw) в IT, а в правую часть уравнения (140,4) этот член в ГГ входит умноженным на divv„; наоборот, £₄—коэффициент при divv_B в q>', которое входит в правую часть (140.4) умноженным на dlv(p«w).

') Все сказанное в конце §49 об определении энтропии в термодинами­чески слабо неравновесном состоянии остается в силе и здесь.

') Если отказаться от этого условия, разнообразие допустимых членов в диссипативных потоках существенно возрастет (не говоря уже о том, что и самые кинетические коэффициенты будут, вообще говоря, функциями от w); например, в ф' появятся члены вида wvT и WiWkdv„i/dx/,. Полное число не­зависимых кинетических коэффициентов, описывающих диссипацию в гелии II, оказывется при этом равным 13 (-4. Clark, 1963). См. об этом в книге С. Пут-термана, Гидродинамика сверхтекучей жидкости, Приложение VI, Мир, 1978 [S. 1. Putterman, Superfluid hydrodynamics, North Holland Publishing Co., 1974].

Отметим в этой связи, что в (140,5—6) написаны члены с divp_sw, по­скольку именно эта комбинация производных возникает естественным обра­зом в точном уравнении (140.5—6). С принятой точностью было бы правиль­нее писать в (140,5—6) p_s div w.

77Мы не будем проводить полностью соответствующих рассуждений (вполне аналогичных, например, излагавшимся в § 59). Обратим лишь вни-тдание на то, что Si—коэффициент при div(p_sw) в IT, а в правую часть уравнения (140,4) этот член в ГГ входит умноженным на divv„; наоборот, £₄—коэффициент при divv_B в q>', которое входит в правую часть (140.4) умноженным на dlv(p«w).

') Все сказанное в конце §49 об определении энтропии в термодинами­чески слабо неравновесном состоянии остается в силе и здесь.

') Если отказаться от этого условия, разнообразие допустимых членов в диссипативных потоках существенно возрастет (не говоря уже о том, что и самые кинетические коэффициенты будут, вообще говоря, функциями от w); например, в ф' появятся члены вида wvT и WiWkdv„i/dx/,. Полное число не­зависимых кинетических коэффициентов, описывающих диссипацию в гелии II, оказывется при этом равным 13 (-4. Clark, 1963). См. об этом в книге С. Пут-термана, Гидродинамика сверхтекучей жидкости, Приложение VI, Мир, 1978 [S. 1. Putterman, Superfluid hydrodynamics, North Holland Publishing Co., 1974].

Отметим в этой связи, что в (140,5—6) написаны члены с divp_sw, по­скольку именно эта комбинация производных возникает естественным обра­зом в точном уравнении (140.5—6). С принятой точностью было бы правиль­нее писать в (140,5—6) p_s div w.

78Мы не будем проводить полностью соответствующих рассуждений (вполне аналогичных, например, излагавшимся в § 59). Обратим лишь вни-тдание на то, что Si—коэффициент при div(p_sw) в IT, а в правую часть уравнения (140,4) этот член в ГГ входит умноженным на divv„; наоборот, £₄—коэффициент при divv_B в q>', которое входит в правую часть (140.4) умноженным на dlv(p«w).

') Все сказанное в конце §49 об определении энтропии в термодинами­чески слабо неравновесном состоянии остается в силе и здесь.

') Если отказаться от этого условия, разнообразие допустимых членов в диссипативных потоках существенно возрастет (не говоря уже о том, что и самые кинетические коэффициенты будут, вообще говоря, функциями от w); например, в ф' появятся члены вида wvT и WiWkdv„i/dx/,. Полное число не­зависимых кинетических коэффициентов, описывающих диссипацию в гелии II, оказывется при этом равным 13 (-4. Clark, 1963). См. об этом в книге С. Пут-термана, Гидродинамика сверхтекучей жидкости, Приложение VI, Мир, 1978 [S. 1. Putterman, Superfluid hydrodynamics, North Holland Publishing Co., 1974].

Отметим в этой связи, что в (140,5—6) написаны члены с divp_sw, по­скольку именно эта комбинация производных возникает естественным обра­зом в точном уравнении (140.5—6). С принятой точностью было бы правиль­нее писать в (140,5—6) p_s div w.

79Мы не будем проводить полностью соответствующих рассуждений (вполне аналогичных, например, излагавшимся в § 59). Обратим лишь вни-тдание на то, что Si—коэффициент при div(p_sw) в IT, а в правую часть уравнения (140,4) этот член в ГГ входит умноженным на divv„; наоборот, £₄—коэффициент при divv_B в q>', которое входит в правую часть (140.4) умноженным на dlv(p«w).

') Все сказанное в конце §49 об определении энтропии в термодинами­чески слабо неравновесном состоянии остается в силе и здесь.

') Если отказаться от этого условия, разнообразие допустимых членов в диссипативных потоках существенно возрастет (не говоря уже о том, что и самые кинетические коэффициенты будут, вообще говоря, функциями от w); например, в ф' появятся члены вида wvT и WiWkdv„i/dx/,. Полное число не­зависимых кинетических коэффициентов, описывающих диссипацию в гелии II, оказывется при этом равным 13 (-4. Clark, 1963). См. об этом в книге С. Пут-термана, Гидродинамика сверхтекучей жидкости, Приложение VI, Мир, 1978 [S. 1. Putterman, Superfluid hydrodynamics, North Holland Publishing Co., 1974].

Отметим в этой связи, что в (140,5—6) написаны члены с divp_sw, по­скольку именно эта комбинация производных возникает естественным обра­зом в точном уравнении (140.5—6). С принятой точностью было бы правиль­нее писать в (140,5—6) p_s div w.

80Мы не будем проводить полностью соответствующих рассуждений (вполне аналогичных, например, излагавшимся в § 59). Обратим лишь вни-тдание на то, что Si—коэффициент при div(p_sw) в IT, а в правую часть уравнения (140,4) этот член в ГГ входит умноженным на divv„; наоборот, £₄—коэффициент при divv_B в q>', которое входит в правую часть (140.4) умноженным на dlv(p«w).

') Все сказанное в конце §49 об определении энтропии в термодинами­чески слабо неравновесном состоянии остается в силе и здесь.

') Если отказаться от этого условия, разнообразие допустимых членов в диссипативных потоках существенно возрастет (не говоря уже о том, что и самые кинетические коэффициенты будут, вообще говоря, функциями от w); например, в ф' появятся члены вида wvT и WiWkdv„i/dx/,. Полное число не­зависимых кинетических коэффициентов, описывающих диссипацию в гелии II, оказывется при этом равным 13 (-4. Clark, 1963). См. об этом в книге С. Пут-термана, Гидродинамика сверхтекучей жидкости, Приложение VI, Мир, 1978 [S. 1. Putterman, Superfluid hydrodynamics, North Holland Publishing Co., 1974].

Отметим в этой связи, что в (140,5—6) написаны члены с divp_sw, по­скольку именно эта комбинация производных возникает естественным обра­зом в точном уравнении (140.5—6). С принятой точностью было бы правиль­нее писать в (140,5—6) p_s div w.