§ 135. Ударные волны в релятивистской гидродинамике

Теория ударных волн в релятивистской гидродинамике строится аналогично нерелятивистской теории (А. Н. Taub, 1948).

Как и в § 85, рассматриваем поверхность разрыва в системе координат, в которой она покоится, а газ движется перпендику­лярно ей (вдоль оси х^х == х) со стороны / на сторону 2. Условия непрерывности плотностей потока частиц, потока импульса и потока энергии гласят:

[п^х] = [пи^х] = 0, [Т^хх] = [а> (и^х)⁴⁴ + р] = 0,

с [Т^0х] = с [wu°u^x] = О,

или, после подстановки значений компонент 4-скорости:

fiYi/V^tW^^/. (135,1)

да,и⁴⁵у⁴⁶ + р, ш₂и⁴⁷у⁴⁸ + р₂, (135,2)

o»₁»iYi = a'2⁰2Y2 (135,3)

где у, = ( 1 - vyc⁴⁹)'¹'⁵⁰, Y₂ = ( 1 - vyc⁵¹)-¹'⁵², а К, = 1/д, и V-2—l/n₂— объемы, отнесенные к одной частице '). Из (135,1) и (135,2) находим

/⁵³ = (P2-Pi)c⁵⁴/UiKi-_№l/2). (135,4)

Далее, переписываем условие (135,3) с учетом (135,1) в виде

wtV⁵⁵y⁵⁶ = w⁵⁷V⁵⁸y⁵⁹.

Путем простых алгебраических преобразований (из (135,1) вы­ражаем у⁶⁰ и у⁶¹ через j⁶², а затем подставляем /⁶³ из (135,4)), получим следующее релятивистское уравнение ударной адиа­баты (адиабата Тауба):

w\V\ - w⁶⁴V⁶⁵ + (р₂ - р,) (w_{V⁶⁶ + w₂V⁶⁷) = 0. (135,5)

Приведем также выражения для скоростей газа по обе сто­роны поверхности разрыва, которые можно получить путем эле­ментарных преобразований из условий (135,2—З)⁶⁸):

О, r(P2-Pl)(e2+Pl)T'⁶⁹ Р2 Г (Р2 - Pl) (б1 + р₂) I'/⁷⁰ ПОССЧ

') В нерелятивистском пределе определенный согласно (135,1) поток числа частиц отличается множителем 1/т от плотности потока массы, обо­значавшейся через / в § 85. Множителем m отличаются также определенные здесь и в § 85 объемы V.

~7~ L (e«-ei)(ei +Р₂) J ' ^с L(e»-*,)(<>* + /»,) J * ^U '^;

Относительная же скорость газов по обе стороны разрыва со­гласно релятивистскому правилу сложения скоростей равна

₀,_{2 = i}^-^P2_/2 =c\^{_l>^H7^PlU^e2I^e>lT- (135,7)

¹² 1 — viv₂/c² I (е, + pi) (е₂ + Pi) J ^v '

В нерелятивистском пределе, если положить е « mc²n = mc²[V и пренебречь р по сравнению с е, формулы (135,4), (135,6—7) переходят в формулы (85,4), (85,6—7) (с учетом указанной в примечании разницы в определениях / и V здесь и в § 85)¹). Для ультрарелятивистского же уравнения состояния р = е/3 из (135,6) имеем

Oi_ _ Г 3e₂ + ei -11/2 Oj_ _ Г Зе, + ^2 У'² «

с L3 (Зе, + е₂) J ' с b('ie₂ + e_t)}

(отметим, что Dit>2 = с²/3). При увеличении интенсивности удар­ной волны (e2->-oo)rJi стремится к скорости света, a v₂— к с/3.

Подобно тому, как в гл. IX мы изображали ударную адиа­бату графиком в плоскости V, р, так естественными перемен­ными для изображения релятивистской ударной адиабаты яв­ляются wV², рс²; в этих координатах /² определяет наклон хорды, проведенной из начальной точки адиабаты / в произвольную точку 2.

Релятивистские ударные волны слабой интенсивности могут быть рассмотрены вполне аналогично тому, как это было сде­лано в § 86 в нерелятивистском случае (Я. М. Халатников, 1954). Не повторяя заново всех вычислений, приведем резуль­тат для скачка энтропии, который снова оказывается малой ве­личиной третьего порядка по сравнению со скачком давления:

Поскольку должно быть а₂ > а\, то мы видим, что ударная волна является волной сжатия, если

№)»>•■ <'»■'<»

Это условие представляет собой релятивистское обобщение условия (86,2) нерелятивистской гидродинамики²). При р₂> р\

') Для предельного перехода от уравнения адиабаты (135,5) к нереля-тивисткому уравнению (85,10) такое приближение недостаточно; надо поло­жить w = птс^г + птг + р (в — нерелятивистская внутренняя энергия, отне­сенная к единице массы) и, разделив уравнение (135,5) на с², перейти к пре­делу с -*- оо.

²) Используя термодинамическое соотношение для тепловой функции, отнесенной к одной частице, d(wV) = Vdp (при = const), найдем, что условие (135,10) эквивалентно неравенству

(МЛ _>±\(W\ I V др¹ ;_ая «"IV др Лд I

В нерелятивистском пределе правая сторона заменяется нулем.

из (135,4) и (135,5) следует, что

w₂V\<w_xV², w₂V₂>w_lV₁;

отсюда, в свою очередь, следует, что во всяком случае Vz < Vi,— объем V должен уменьшиться даже сильнее, чем wV возрастает. Скорости v\ и t>2 ударной волны слабой интенсивности в первом приближении совпадают, естественно, со скоростью звука: по­скольку изменение энтропии — величина третьего порядка, то выражения (135,6) при р₂-+Ръ e₂-*-ei переходят в производ­ную (134,14)'). Рассуждения, вполне аналогичные произведен­ным в § 86, показывают, что в следующем приближении v\ > и\,

V2 <U₂.

Таким образом, направление изменения величин в реляти­вистской ударной волне слабой интенсивности подчиняется (при условии (135,10)) тем же неравенствам, что и в нерелятивист­ском случае. Обобщение этого результата на ударные волны произвольной интенсивности оказывается возможным произвести способом, вполне аналогичным примененному в § 87 ²).

Подчеркнем в то же время, что неравенства v_x > щ и v₂ < «г справедливы для релятивистских (как и для нерелятивистских) ударных волн вне зависимости от каких бы то ни было термоди­намических условий — как следствие требования эволюцион-ности. Напомним, что при выводе этих условий (§ 88) был суще­ствен только знак скоростей и ± v распространения звуковых возмущений в движущейся жидкости по отношению к неподвиж­ной поверхности разрыва. Согласно релятивистскому правилу сложения скоростей эти скорости даются выражениями (и ± v)/(l ± vu/c²), знак которых определяется только их чис­лителями, так что все проведенные в § 88 рассуждения остаются в силе.