Глава XV

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА

§ 133. Тензор энергии-импульса жидкости

Необходимость в учете релятивистских эффектов в гидроди­намике может быть связана не только с большой (сравнимой со скоростью света) скоростью макроскопического движения жидкости. Гидродинамические уравнения существенно меняются и в том случае, когда эта скорость не велика, но велики скорости микроскопического движения составляющих жидкость частиц.

Для вывода релятивистских уравнений гидродинамики необ­ходимо прежде всего установить вид 4-тензора энергии-им­пульса движущейся жидкости T^ikl). Напомним, что Т⁰⁰ = Т_оа есть плотность энергии, Т^0а/с ——Т_оа/с — плотность компонент импульса, величины Г^аР = Т_а$ составляют тензор плотности по­тока импульса, плотность же потока энергии сТ^0а отличается от плотности импульса лишь множителем с²⁹.

') Содержание этого параграфа в значительной степени повторяет содер­жание II § 35 й приводится здесь для связности изложения.

Принятые в этой главе обозначения соответствуют обозначениям в II. Латинские индексы i, k, I, ... пробегают значения 0, 1, 2, 3, причем х° — ct— временная координата (в этой главе с — скорость света). Первые буквы гре­ческого алфавита а, В, .. в индексах пробегают значения 1, 2, 3, отвечающие пространственным координатам. Галилеевой метрике (специальная теория от­носительности) отвечает метрический тензор с компонентами goo = 1, gu =

= gS2 — 833 = 1-

Поток импульса через элемент di поверхности тела³⁰) есть не что иное, как действующая на этот элемент сила. Поэтому T^a$df$ есть а-я компонента силы, действующей на элемент по­верхности. Рассмотрим некоторый элемент объема жидкости и воспользуемся системой отсчета, в которой он покоится (локаль­ная собственная система отсчета, или локальная система покоя; значения величин в ней называют собственными). В такой си­стеме отсчета справедлив закон Паскаля, т. е. давление, ока­зываемое данным участком жидкости одинаково по всем на­правлениям и везде перпендикулярно к площадке, на которую оно производится. Поэтому можно написать T^aVdf$ = pdf_a, от­куда

Что касается компонент Т^0а, представляющих плотность им­пульса, то в локальной собственной системе отсчета они равны нулю. Компонента же Г⁰⁰ равна собственной плотности внутрен­ней энергии жидкости, которую мы будем обозначать в этой гла­ве посредством е.

Таким образом, в локальной системе покоя тензор энергии-импульса имеет вид

(е 0 0 0\ 2 S Г. (133.1)

О 0 0 р)

Легко найти теперь выражение Т^ш в любой системе отсчета. Для этого введем 4-скорость и¹ движения жидкости. В локаль­ной системе покоя ее компоненты: ы°==1, и^а — 0. Выражение для 7"'³¹, обращающееся в (133,1) при этих значениях и', есть

Р^к = -ши¹и³² — pg^tk, (133,2)

где w = е + Р — тепловая функция единицы объема. Это и есть искомое выражение тензора энергии-импульса ').

Компоненты Т⁷³³, написанные в трехмерном виде, равны

„а WV.,Va

¹ ~ с²(\ — v²/c²) ^ ^ ^аР'

, (133,3)

cd—v'fc²)' l—v²/c^{2 H} \-v²/c² '

Нерелятивистскому случаю соответствуют малые скорости v <С с и малые скорости внутреннего (микроскопического) дви­жения частиц в жидкости. При совершении предельного пере­хода следует иметь в виду, что релятивистская внутренняя энер­гия е содержит в себе также и энергию покоя time² составляю­щих жидкость частиц (т —масса покоя отдельной частицы). Кроме того, надо учесть, что плотность числа частиц п отнесена к единице собственного объема; в нерелятивистских же выра­жениях плотность энергии относится к единице объема в «лабо­раторной» системе отсчета, в который данный элемент жидкости движется. Поэтому при предельном переходе надо заменить

ро²

где р—обычная нерелятивистская плотность массы. По сравне­нию с рс² мала как нерелятивистская плотность энергии (обо­значим ее ре), так и давление.

Имея все это в виду, найдем, что предельное значение

Гоо = PC² 4-ре 4-—

т. е. совпадает, за вычетом рс², с нерелятивистской плотностью энергии. Соответствующее предельное значение тензора T_af.

Т_ч = Р V_p + рб_ар,

т. е. совпадает, как и следовало, с обычным выражением для плотности потока импульса, который мы обозначали в § 7 по­средством П_ар.

Простая связь между плотностью импульса и плотностью потока энергии (отличие в множителе с²) теряется в нереляти­вистском пределе благодаря тому, что в нерелятивистскую энер­гию не включается энергия покоя. Действительно, компоненты Т^0а/с образуют трехмерный вектор, приближенно равный

pv+4rv(p_e + p + -^).

Отсюда видно, что предельное значение плотности импульса есть, как и следовало, просто pv; для плотности же потока энергии находим, опустив член pc²v, выражение v(pe + Р + рс²/2), совпадающее с найденным в § 6.